數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位。數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要有一定的技巧。

數(shù)列求和基本方法1、分組法

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.

例如：an=2n+n-1，可看做是2n與n-1的和

Sn=a1+a2+...+an

=2+0+22+1+23+2+...+2n+n-1

=(2+22+...+2n)+(0+1+...+n-1)

=2(2n-1)/(2-1)+(0+n-1)n/2

=2n+1+n(n-1)/2-2

數(shù)列求和基本方法2、數(shù)學(xué)歸納法

一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，有如下步驟：

(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立;

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥n的第一個(gè)值，k為自然數(shù))時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。

例：

求證：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

證明：

當(dāng)n=1時(shí)，有：

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假設(shè)命題在n=k時(shí)成立，于是：

1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

則當(dāng)n=k+1時(shí)有：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

即n=k+1時(shí)原等式仍然成立，歸納得證

數(shù)列求和基本方法3、通項(xiàng)化歸法

先將通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡，再進(jìn)行求和。

如：求數(shù)列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n項(xiàng)和。此時(shí)先將an求出，再利用分組等方法求和。

數(shù)列求和基本方法4、并項(xiàng)求和法

(常采用先試探后求和的方法)

例：1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n

方法一：(并項(xiàng))

求出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和，再相減。

方法二：

(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]

方法三：

構(gòu)造新的數(shù)列，可借用等差數(shù)列與等比數(shù)列的復(fù)合。

an=n(-1)^(n+1)

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