你還在為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而苦惱嗎?別擔(dān)心，看了“高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：集合大小定義的基本要求十”以后你會(huì)有很大的收獲：
高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：集合大小定義的基本要求十
如果沒(méi)有自然數(shù)序結(jié)構(gòu)這個(gè)“背景”，我們就只能夠使用一一對(duì)應(yīng)的方法來(lái)討論集合的基數(shù)，那種“自然數(shù)的個(gè)數(shù)是正偶數(shù)的個(gè)數(shù)的兩倍”的直覺(jué)只是一種錯(cuò)覺(jué)。比如說(shuō)考慮下面平面圖上，所有(2n,n)這樣的點(diǎn)所組成的集合(其中n是自然數(shù))。如果站在x軸的角度來(lái)看，我們發(fā)現(xiàn)每隔一列就有一個(gè)點(diǎn)，而列數(shù)顯然和自然數(shù)一樣多，所以點(diǎn)數(shù)就該和正偶數(shù)一樣多;如果站在y軸的角度來(lái)看，我們發(fā)現(xiàn)每行都有一個(gè)點(diǎn)，而行數(shù)也和自然數(shù)一樣多，所以點(diǎn)數(shù)就該和自然數(shù)一樣多。按照集合基數(shù)的觀點(diǎn)，自然數(shù)和正偶數(shù)一樣多，上面這種情況完全不造成矛盾，但是“直覺(jué)”所給予的一會(huì)兒“一樣多”一會(huì)兒“兩倍”的印象，就沒(méi)有太大的意義了(最多得到“兩倍的無(wú)窮大等于無(wú)窮大”這種我們按照一一對(duì)應(yīng)原則早已熟知，而且解釋得更好的觀點(diǎn))。
除了序結(jié)構(gòu)外，還有其他的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。法國(guó)著名的布爾巴基學(xué)派就認(rèn)為數(shù)學(xué)基于三種母結(jié)構(gòu)：序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以混雜在一起得出不同的數(shù)學(xué)對(duì)象，比如說(shuō)實(shí)數(shù)集上有比較大小的序結(jié)構(gòu)，還有由算術(shù)運(yùn)算(加和乘，減和除是它們的逆運(yùn)算)定義的代數(shù)結(jié)構(gòu)，以及由極限理論(它規(guī)定了某些點(diǎn)必須在另一些點(diǎn)的“附近”)定義的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。布爾巴基學(xué)派試圖用結(jié)構(gòu)主義的觀點(diǎn)來(lái)統(tǒng)一數(shù)學(xué)，出版了著名的《數(shù)學(xué)原理》。結(jié)構(gòu)主義的觀點(diǎn)大致來(lái)說(shuō)，就是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)決定數(shù)學(xué)對(duì)象。兩個(gè)分別定義在兩個(gè)不同集合上的數(shù)學(xué)對(duì)象，如果它們的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同，那么即使集合中的元素很不相同，它們其實(shí)也是同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象。在數(shù)學(xué)中我們有時(shí)會(huì)碰到“同構(gòu)”這個(gè)詞，就是指在某種一一映射下，兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同。
舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。中學(xué)里我們學(xué)過(guò)復(fù)數(shù)和它的幾何表示法，知道每個(gè)復(fù)數(shù)都可以對(duì)應(yīng)到直角坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)，而復(fù)數(shù)的加法和乘法也都有各自的幾何意義。在這里，一個(gè)復(fù)數(shù)是a+bi這樣的一對(duì)數(shù)，還是平面上的一個(gè)點(diǎn)(a,b)并不是關(guān)鍵，盡管一對(duì)數(shù)和一個(gè)點(diǎn)是完全不同的兩樣?xùn)|西，只要在實(shí)數(shù)對(duì)集合和平面點(diǎn)集上面由加法和乘法決定代數(shù)結(jié)構(gòu)是相同的，它們都可稱(chēng)作是復(fù)數(shù)，是同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象。相反地，如果我們?cè)谄矫嫔隙x另一種乘法為(a1, b1)*(a2, b2)=((a1*a2, b1*b2)，那么盡管平面上的點(diǎn)仍舊是那些，但是因?yàn)樵谏厦嫠x的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)變了，于是就完全是兩種不同的數(shù)學(xué)對(duì)象了。
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本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaozhong/166518.html
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