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高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：集合大小定義的基本要求九

所謂的結(jié)構(gòu)，就是在元素間增加聯(lián)系，使得它們不能隨便亂動(dòng)。建筑工地上搭的腳手架就是一種結(jié)構(gòu)，上面的鋼管啊鐵絲啊木板啊都不是隨隨便便堆在一起的，而是按照一定的方式聯(lián)系在一起。修建完了一幢大樓后，工人們會(huì)把它們都拆下來再拿到另一個(gè)工地上去安裝使用，雖然構(gòu)成腳手架的元素——鋼管鐵絲木板還是原來的那些，但是腳手架卻完全是另一個(gè)了，變化了的其實(shí)是結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也一樣。比如說上面我們講的序關(guān)系，就是元素之間的一種聯(lián)系。我們可以很方便地驗(yàn)證自然數(shù)的大小滿足我們前面所說的偏序關(guān)系的三個(gè)條件，而且每兩個(gè)自然數(shù)之間都可以比較大小，所以在自然數(shù)集合上有一個(gè)全序關(guān)系，這個(gè)關(guān)系就給了自然數(shù)集合一個(gè)結(jié)構(gòu)，就叫序結(jié)構(gòu)。你可以把擁有全序結(jié)構(gòu)的自然數(shù)集合仍舊想像成上面那個(gè)裝了球的袋子，只是這時(shí)候那些球已經(jīng)被從小到大串成了一串，不能隨便亂跑了。平時(shí)我們想像自然數(shù)集合，可能會(huì)把它想成數(shù)軸上離原點(diǎn)越來越遠(yuǎn)的一串點(diǎn)，或者1、2、3、……這樣從小到大的一列數(shù)，不知不覺地，我們已經(jīng)把序結(jié)構(gòu)想像進(jìn)去了。當(dāng)我們感到“正偶數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)該是自然數(shù)個(gè)數(shù)的一半，因?yàn)槊扛粢粋�(gè)數(shù)就有一個(gè)是偶數(shù)”，我們是在想像那條串成一串的球，偶數(shù)球得老老實(shí)實(shí)地和奇數(shù)球一個(gè)隔一個(gè)地串在一起，而不是雜亂無章放在袋里，后面這種情況是談不上“每隔一個(gè)”的。

在考慮到自然數(shù)的序結(jié)構(gòu)后，我們就可以給“自然數(shù)的個(gè)數(shù)是正偶數(shù)的個(gè)數(shù)的兩倍”這種直覺一個(gè)合理的解釋了�？紤]小于100的正偶數(shù)，一共有49個(gè)，所以占小于100的自然數(shù)的49/99，接近1/2;如果把“小于100”改成“小于1000”，那么結(jié)果是499/999，更接近1/2了;把上面的100和1000換成越來越大的數(shù)字，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)正偶數(shù)所占的比例會(huì)越來越接近1/2。這就提示我們可以采用這樣一種關(guān)于自然數(shù)的子集的大小的定義：如果A是自然數(shù)的一個(gè)子集，令p(n)為A中小于n的元素的個(gè)數(shù)，我們稱limn→∞p(n)/n(就是當(dāng)n趨向無窮大時(shí)，p(n)/n的極限)為A相對于自然數(shù)集合的大小。在這個(gè)定義下，正偶數(shù)集合相對于自然數(shù)集合的大小就是1/2。按照這樣的定義，素?cái)?shù)集合相對于自然數(shù)集合的大小是0，這也就是所謂的“幾乎所有的自然數(shù)都不是素?cái)?shù)”。用上面這個(gè)方法還可以比較兩個(gè)自然數(shù)集合的子集的相對大小，具體方法就由讀者自己來思考了。

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本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/178616.html

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