“加權(quán)平均數(shù)”是初中統(tǒng)計學(xué)習(xí)的一個核心概念，也是學(xué)生比較難以理解的一個統(tǒng)計概念.在計算“加權(quán)平均數(shù)”的過程中，如何選擇“權(quán)”和“權(quán)重”至關(guān)重要.筆者根據(jù)自己多年的教學(xué)經(jīng)驗，結(jié)合一次初中數(shù)學(xué)觀摩課，參考3個不同版本教材“加權(quán)平均數(shù)”的解釋，對“權(quán)”和“權(quán)重”的概念進(jìn)行解析，在此基礎(chǔ)上提出相關(guān)參考建議.
一、問題的提出
在一次初中數(shù)學(xué)觀摩課上，有一位教師在“數(shù)據(jù)的代表”教學(xué)中，涉及加權(quán)平均數(shù)這一概念，其中用到這樣一道例題：
我班6位同學(xué)在7年級第2學(xué)期的數(shù)學(xué)成績?nèi)绫?，如何總評上述同學(xué)的數(shù)學(xué)成績？
根據(jù)以往的知識，大多數(shù)同學(xué)都采用算數(shù)平均數(shù)的做法得出這道題的結(jié)論：（期中成績+期末成績）/2，這種做法雖然從某種意義上來說，可以反映學(xué)生的總評成績，然而它卻將期中和期末成績同等看待，忽視了期末成績的重要性.而且這樣的計算誤區(qū)不僅出現(xiàn)在單一學(xué)科成績的計算中，也出現(xiàn)在總成績的評定中以及一些日常生活類似數(shù)據(jù)的處理中.出此題的目的就是考查學(xué)生能否將數(shù)據(jù)計算的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行統(tǒng)一，在加權(quán)的基礎(chǔ)上求出平均數(shù)，從而培養(yǎng)學(xué)生的辨析思維能力.在此題的教學(xué)過程中，確實出現(xiàn)了教者所預(yù)料的錯誤，好處是在教者的引導(dǎo)之下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了這樣計算的失誤之處，得出了比較滿意的結(jié)果，從而糾正了一些已有的錯誤與偏差.在評議此課中，出現(xiàn)了兩種不同的聲音：一種意見認(rèn)為此題有亮點、有特色、有意境.而另一種觀點則認(rèn)為此題無新意、不必要、不適宜.就是這樣一道平凡的例題在教學(xué)中引發(fā)了教學(xué)爭鳴，說明它有一定的存在價值.對此問題我們進(jìn)行了一番簡單的分析和思考.
二、“權(quán)”與“權(quán)重”的概念解析
要理解“加權(quán)平均數(shù)”，先得理解“權(quán)”和“權(quán)重”.在古代，“權(quán)”的意思是秤砣，就是在秤上滑動以觀察質(zhì)量的鐵疙瘩.《孟子·梁惠王上》曰：“權(quán)，然后知輕重.”就表達(dá)了這個意思.現(xiàn)代的“權(quán)”在字典里的解釋是：職責(zé)范圍內(nèi)支配和指揮的力量.“權(quán)重”是指每項指標(biāo)在總體中所占的比重數(shù)，描述了每項指標(biāo)在整體評價中的相對重要程度.生活中就有這兩個概念的影子，諸如，人們常說話語權(quán)，就是看他人在人們心目中的“權(quán)重”大小.那么對初中數(shù)學(xué)而言，什么是“權(quán)”和“權(quán)重”？由于數(shù)學(xué)知識具體呈現(xiàn)在教科書上，下面就以最具有代表性的3本教科書中的對“權(quán)”和“權(quán)重”的概念闡述進(jìn)行解析.
1.概念呈現(xiàn)
在想一想的基礎(chǔ)上，通過廣告公司選用人員的測試成績，給出加權(quán)平均數(shù)的概念.即在實際問題中，一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)的“重要程度”未必相同，因而，在計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，往往給每個數(shù)據(jù)一個“權(quán)”.也就是說“權(quán)”是反映這一個數(shù)在一組數(shù)據(jù)中重要程度的一個量.而此時求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是計算加權(quán)平均數(shù).然后再通過打掃衛(wèi)生、增長百分?jǐn)?shù)等案例來剖析和深化對加權(quán)平均數(shù)的解析.也就是說把“權(quán)”在數(shù)據(jù)中的表現(xiàn)形態(tài)通過具體案例的形式予以展現(xiàn).
然后通過錄用人員、演講比賽中評委打分、載客量、燈泡壽命等具體案例來認(rèn)知加權(quán)平均數(shù)的概念.
在華師版中，此概念出現(xiàn)在8年級下冊第21章《數(shù)據(jù)的整理與初步處理》第1節(jié)的“算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)”中，通過計算某居民電話費用的平均數(shù)導(dǎo)出算術(shù)平均數(shù)的概念；接著通過計算和繪制某校初二年級各班人數(shù)平均數(shù)及條形圖，借用計算器來計算算術(shù)平均數(shù)強化對此概念的理解；最后通過計算某學(xué)生一學(xué)期總評成績（平時占40%，考試占60%）以及公司面試成績的確定及錄用、蘋果均價的計算、電梯載重、扇形統(tǒng)計圖的制作、上海世博會的投票等以例說的形式給出加權(quán)平均數(shù)的概念及其涉及的權(quán)重的概念[3].不同的是，華師版注重用圖形語言來表述加權(quán)平均數(shù)中所涉及的概念，而且有一個十分有意義的閱讀材料“均貧富”.
2.分析與比較
比較3種版本的教材可以發(fā)現(xiàn)：都是通過典型的案例說明在計算一組數(shù)據(jù)的代表性元素時，由于組中數(shù)據(jù)的重要程度不同，需要一個量來描述其相對重要程度，這就是“權(quán)”或“權(quán)重”.不同的是在華師版中只出現(xiàn)“權(quán)重”，而在其他兩版本中只出現(xiàn)“權(quán)”.那么“權(quán)”與“權(quán)重”有沒有區(qū)別呢？如何理解“權(quán)”與“權(quán)重”？在講課、評課與議課中發(fā)現(xiàn)教師對此概念的理解并不是十分清晰，出現(xiàn)了模糊認(rèn)識，尤其有些教師指出，在一些練習(xí)題中很難找出權(quán)，那么計算加權(quán)平均數(shù)就有困難.
從3個版本教科書的闡述中可以析理出“權(quán)”與“權(quán)重”概念的聯(lián)系與區(qū)別：
�。�1）人教版中對“權(quán)”有明確的定義，北師版只是以案例的形式給出“權(quán)”，都是以整數(shù)、比例、百分?jǐn)?shù)的形式呈現(xiàn)，并沒有出現(xiàn)“權(quán)重”的概念.
�。�2）華師版只出現(xiàn)“權(quán)重”的描述性定義，沒有出現(xiàn)“權(quán)”的概念，只出現(xiàn)用百分?jǐn)?shù)描述的方式.
從數(shù)學(xué)的角度講，這兩個概念是形異質(zhì)同.也就是說從本質(zhì)上講都是描述一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)相對重要性的一個量，只不過是表現(xiàn)形式不同而已.華師版是把一組數(shù)據(jù)中的“權(quán)重”之和視為1的情形下討論各個數(shù)所占重要性的百分比.如果視為“權(quán)”的話，其“權(quán)”就小于1；而人教版、北師版以3種形式賦“權(quán)”，其實質(zhì)是一樣的.
三、教學(xué)思考
綜上所述，關(guān)于加權(quán)平均數(shù)的理解，關(guān)鍵在于“權(quán)”和“權(quán)重”.為了澄清誤區(qū)，方便教與學(xué)，筆者從教學(xué)設(shè)計和教學(xué)實施角度提出建議：
從教學(xué)設(shè)計的角度講，對上述例題之所以出現(xiàn)不同聲音，是因為“加權(quán)平均數(shù)”的概念講述分兩節(jié)進(jìn)行，而上述例題是在第一課時出現(xiàn)的，所以會產(chǎn)生爭論.有些教師認(rèn)為此處出現(xiàn)比較恰當(dāng)，有些教師則認(rèn)為此處出現(xiàn)淡化了主題，把重點放在了分?jǐn)?shù)的統(tǒng)一上，而沒有放在“權(quán)”的理解上.基于上述的爭論，者認(rèn)為應(yīng)當(dāng)整合人教版的設(shè)計思路，以人均耕地面積的計算為導(dǎo)入點，引出加權(quán)平均數(shù)的概念，然后過渡到上面的例題，既可以減緩難度，又可以強化對概念的理解，然后再以公司招聘為例剖析“權(quán)”在實際生活中的應(yīng)用價值.雖然這樣的例題在3種教科書中都出現(xiàn)，但建議在教學(xué)設(shè)計時應(yīng)用華師版的案例，可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的辨析能力.從教學(xué)實施的角度講，應(yīng)當(dāng)把重心放在學(xué)生的分組討論上，讓學(xué)生通過嘗試、對比、分析、評價去感受權(quán)、體會權(quán)、分析權(quán)，進(jìn)而達(dá)到對新知識的建構(gòu).整個教學(xué)過程中要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性.課堂上要把激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和獲得學(xué)習(xí)能力放在教學(xué)首位，通過運用各種啟發(fā)、激勵的語言，以及組織小組合作學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生形成積極主動的求知態(tài)度，掌握“加權(quán)平均數(shù)”的概念與計算，發(fā)展學(xué)生初步的統(tǒng)計意識和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.留給學(xué)生獨立思考的時間，在學(xué)生獨立思考后，再小組討論交流，使每位學(xué)生都學(xué)會數(shù)學(xué)思考，學(xué)會合作交流.同時，教師應(yīng)對小組討論給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，包括知識和方法的啟發(fā)引導(dǎo)、學(xué)生合作交流中應(yīng)注意的問題、對困難學(xué)生的幫助等，使小組合作學(xué)習(xí)更具實效性.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaozhong/372893.html
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