“加權(quán)平均數(shù)”是初中統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的一個(gè)核心概念，也是學(xué)生比較難以理解的一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念.在計(jì)算“加權(quán)平均數(shù)”的過(guò)程中，如何選擇“權(quán)”和“權(quán)重”至關(guān)重要.筆者根據(jù)自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合一次初中數(shù)學(xué)觀摩課，參考3個(gè)不同版本教材“加權(quán)平均數(shù)”的解釋，對(duì)“權(quán)”和“權(quán)重”的概念進(jìn)行解析，在此基礎(chǔ)上提出相關(guān)參考建議.
一、問(wèn)題的提出
在一次初中數(shù)學(xué)觀摩課上，有一位教師在“數(shù)據(jù)的代表”教學(xué)中，涉及加權(quán)平均數(shù)這一概念，其中用到這樣一道例題：
我班6位同學(xué)在7年級(jí)第2學(xué)期的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)绫?，如何總評(píng)上述同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)？
根據(jù)以往的知識(shí)，大多數(shù)同學(xué)都采用算數(shù)平均數(shù)的做法得出這道題的結(jié)論：（期中成績(jī)+期末成績(jī)）/2，這種做法雖然從某種意義上來(lái)說(shuō)，可以反映學(xué)生的總評(píng)成績(jī)，然而它卻將期中和期末成績(jī)同等看待，忽視了期末成績(jī)的重要性.而且這樣的計(jì)算誤區(qū)不僅出現(xiàn)在單一學(xué)科成績(jī)的計(jì)算中，也出現(xiàn)在總成績(jī)的評(píng)定中以及一些日常生活類似數(shù)據(jù)的處理中.出此題的目的就是考查學(xué)生能否將數(shù)據(jù)計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行統(tǒng)一，在加權(quán)的基礎(chǔ)上求出平均數(shù)，從而培養(yǎng)學(xué)生的辨析思維能力.在此題的教學(xué)過(guò)程中，確實(shí)出現(xiàn)了教者所預(yù)料的錯(cuò)誤，好處是在教者的引導(dǎo)之下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了這樣計(jì)算的失誤之處，得出了比較滿意的結(jié)果，從而糾正了一些已有的錯(cuò)誤與偏差.在評(píng)議此課中，出現(xiàn)了兩種不同的聲音：一種意見認(rèn)為此題有亮點(diǎn)、有特色、有意境.而另一種觀點(diǎn)則認(rèn)為此題無(wú)新意、不必要、不適宜.就是這樣一道平凡的例題在教學(xué)中引發(fā)了教學(xué)爭(zhēng)鳴，說(shuō)明它有一定的存在價(jià)值.對(duì)此問(wèn)題我們進(jìn)行了一番簡(jiǎn)單的分析和思考.
二、“權(quán)”與“權(quán)重”的概念解析
要理解“加權(quán)平均數(shù)”，先得理解“權(quán)”和“權(quán)重”.在古代，“權(quán)”的意思是秤砣，就是在秤上滑動(dòng)以觀察質(zhì)量的鐵疙瘩.《孟子·梁惠王上》曰：“權(quán)，然后知輕重.”就表達(dá)了這個(gè)意思.現(xiàn)代的“權(quán)”在字典里的解釋是：職責(zé)范圍內(nèi)支配和指揮的力量.“權(quán)重”是指每項(xiàng)指標(biāo)在總體中所占的比重?cái)?shù)，描述了每項(xiàng)指標(biāo)在整體評(píng)價(jià)中的相對(duì)重要程度.生活中就有這兩個(gè)概念的影子，諸如，人們常說(shuō)話語(yǔ)權(quán)，就是看他人在人們心目中的“權(quán)重”大小.那么對(duì)初中數(shù)學(xué)而言，什么是“權(quán)”和“權(quán)重”？由于數(shù)學(xué)知識(shí)具體呈現(xiàn)在教科書上，下面就以最具有代表性的3本教科書中的對(duì)“權(quán)”和“權(quán)重”的概念闡述進(jìn)行解析.
1.概念呈現(xiàn)
在想一想的基礎(chǔ)上，通過(guò)廣告公司選用人員的測(cè)試成績(jī)，給出加權(quán)平均數(shù)的概念.即在實(shí)際問(wèn)題中，一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)的“重要程度”未必相同，因而，在計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí)，往往給每個(gè)數(shù)據(jù)一個(gè)“權(quán)”.也就是說(shuō)“權(quán)”是反映這一個(gè)數(shù)在一組數(shù)據(jù)中重要程度的一個(gè)量.而此時(shí)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是計(jì)算加權(quán)平均數(shù).然后再通過(guò)打掃衛(wèi)生、增長(zhǎng)百分?jǐn)?shù)等案例來(lái)剖析和深化對(duì)加權(quán)平均數(shù)的解析.也就是說(shuō)把“權(quán)”在數(shù)據(jù)中的表現(xiàn)形態(tài)通過(guò)具體案例的形式予以展現(xiàn).
然后通過(guò)錄用人員、演講比賽中評(píng)委打分、載客量、燈泡壽命等具體案例來(lái)認(rèn)知加權(quán)平均數(shù)的概念.
在華師版中，此概念出現(xiàn)在8年級(jí)下冊(cè)第21章《數(shù)據(jù)的整理與初步處理》第1節(jié)的“算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)”中，通過(guò)計(jì)算某居民電話費(fèi)用的平均數(shù)導(dǎo)出算術(shù)平均數(shù)的概念；接著通過(guò)計(jì)算和繪制某校初二年級(jí)各班人數(shù)平均數(shù)及條形圖，借用計(jì)算器來(lái)計(jì)算算術(shù)平均數(shù)強(qiáng)化對(duì)此概念的理解；最后通過(guò)計(jì)算某學(xué)生一學(xué)期總評(píng)成績(jī)（平時(shí)占40%，考試占60%）以及公司面試成績(jī)的確定及錄用、蘋果均價(jià)的計(jì)算、電梯載重、扇形統(tǒng)計(jì)圖的制作、上海世博會(huì)的投票等以例說(shuō)的形式給出加權(quán)平均數(shù)的概念及其涉及的權(quán)重的概念[3].不同的是，華師版注重用圖形語(yǔ)言來(lái)表述加權(quán)平均數(shù)中所涉及的概念，而且有一個(gè)十分有意義的閱讀材料“均貧富”.
2.分析與比較
比較3種版本的教材可以發(fā)現(xiàn)：都是通過(guò)典型的案例說(shuō)明在計(jì)算一組數(shù)據(jù)的代表性元素時(shí)，由于組中數(shù)據(jù)的重要程度不同，需要一個(gè)量來(lái)描述其相對(duì)重要程度，這就是“權(quán)”或“權(quán)重”.不同的是在華師版中只出現(xiàn)“權(quán)重”，而在其他兩版本中只出現(xiàn)“權(quán)”.那么“權(quán)”與“權(quán)重”有沒有區(qū)別呢？如何理解“權(quán)”與“權(quán)重”？在講課、評(píng)課與議課中發(fā)現(xiàn)教師對(duì)此概念的理解并不是十分清晰，出現(xiàn)了模糊認(rèn)識(shí)，尤其有些教師指出，在一些練習(xí)題中很難找出權(quán)，那么計(jì)算加權(quán)平均數(shù)就有困難.
從3個(gè)版本教科書的闡述中可以析理出“權(quán)”與“權(quán)重”概念的聯(lián)系與區(qū)別：
�。�1）人教版中對(duì)“權(quán)”有明確的定義，北師版只是以案例的形式給出“權(quán)”，都是以整數(shù)、比例、百分?jǐn)?shù)的形式呈現(xiàn)，并沒有出現(xiàn)“權(quán)重”的概念.
（2）華師版只出現(xiàn)“權(quán)重”的描述性定義，沒有出現(xiàn)“權(quán)”的概念，只出現(xiàn)用百分?jǐn)?shù)描述的方式.
從數(shù)學(xué)的角度講，這兩個(gè)概念是形異質(zhì)同.也就是說(shuō)從本質(zhì)上講都是描述一組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)據(jù)相對(duì)重要性的一個(gè)量，只不過(guò)是表現(xiàn)形式不同而已.華師版是把一組數(shù)據(jù)中的“權(quán)重”之和視為1的情形下討論各個(gè)數(shù)所占重要性的百分比.如果視為“權(quán)”的話，其“權(quán)”就小于1；而人教版、北師版以3種形式賦“權(quán)”，其實(shí)質(zhì)是一樣的.
三、教學(xué)思考
綜上所述，關(guān)于加權(quán)平均數(shù)的理解，關(guān)鍵在于“權(quán)”和“權(quán)重”.為了澄清誤區(qū)，方便教與學(xué)，筆者從教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)施角度提出建議：
從教學(xué)設(shè)計(jì)的角度講，對(duì)上述例題之所以出現(xiàn)不同聲音，是因?yàn)椤凹訖?quán)平均數(shù)”的概念講述分兩節(jié)進(jìn)行，而上述例題是在第一課時(shí)出現(xiàn)的，所以會(huì)產(chǎn)生爭(zhēng)論.有些教師認(rèn)為此處出現(xiàn)比較恰當(dāng)，有些教師則認(rèn)為此處出現(xiàn)淡化了主題，把重點(diǎn)放在了分?jǐn)?shù)的統(tǒng)一上，而沒有放在“權(quán)”的理解上.基于上述的爭(zhēng)論，者認(rèn)為應(yīng)當(dāng)整合人教版的設(shè)計(jì)思路，以人均耕地面積的計(jì)算為導(dǎo)入點(diǎn)，引出加權(quán)平均數(shù)的概念，然后過(guò)渡到上面的例題，既可以減緩難度，又可以強(qiáng)化對(duì)概念的理解，然后再以公司招聘為例剖析“權(quán)”在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值.雖然這樣的例題在3種教科書中都出現(xiàn)，但建議在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)用華師版的案例，可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的辨析能力.從教學(xué)實(shí)施的角度講，應(yīng)當(dāng)把重心放在學(xué)生的分組討論上，讓學(xué)生通過(guò)嘗試、對(duì)比、分析、評(píng)價(jià)去感受權(quán)、體會(huì)權(quán)、分析權(quán)，進(jìn)而達(dá)到對(duì)新知識(shí)的建構(gòu).整個(gè)教學(xué)過(guò)程中要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性.課堂上要把激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和獲得學(xué)習(xí)能力放在教學(xué)首位，通過(guò)運(yùn)用各種啟發(fā)、激勵(lì)的語(yǔ)言，以及組織小組合作學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生形成積極主動(dòng)的求知態(tài)度，掌握“加權(quán)平均數(shù)”的概念與計(jì)算，發(fā)展學(xué)生初步的統(tǒng)計(jì)意識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.留給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間，在學(xué)生獨(dú)立思考后，再小組討論交流，使每位學(xué)生都學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，學(xué)會(huì)合作交流.同時(shí)，教師應(yīng)對(duì)小組討論給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，包括知識(shí)和方法的啟發(fā)引導(dǎo)、學(xué)生合作交流中應(yīng)注意的問(wèn)題、對(duì)困難學(xué)生的幫助等，使小組合作學(xué)習(xí)更具實(shí)效性.
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaozhong/372893.html
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