“加權平均數”是初中統(tǒng)計學習的一個核心概念，也是學生比較難以理解的一個統(tǒng)計概念.在計算“加權平均數”的過程中，如何選擇“權”和“權重”至關重要.筆者根據自己多年的教學經驗，結合一次初中數學觀摩課，參考3個不同版本教材“加權平均數”的解釋，對“權”和“權重”的概念進行解析，在此基礎上提出相關參考建議.
一、問題的提出
在一次初中數學觀摩課上，有一位教師在“數據的代表”教學中，涉及加權平均數這一概念，其中用到這樣一道例題：
我班6位同學在7年級第2學期的數學成績如表1，如何總評上述同學的數學成績？
根據以往的知識，大多數同學都采用算數平均數的做法得出這道題的結論：（期中成績+期末成績）/2，這種做法雖然從某種意義上來說，可以反映學生的總評成績，然而它卻將期中和期末成績同等看待，忽視了期末成績的重要性.而且這樣的計算誤區(qū)不僅出現(xiàn)在單一學科成績的計算中，也出現(xiàn)在總成績的評定中以及一些日常生活類似數據的處理中.出此題的目的就是考查學生能否將數據計算的標準進行統(tǒng)一，在加權的基礎上求出平均數，從而培養(yǎng)學生的辨析思維能力.在此題的教學過程中，確實出現(xiàn)了教者所預料的錯誤，好處是在教者的引導之下，學生發(fā)現(xiàn)了這樣計算的失誤之處，得出了比較滿意的結果，從而糾正了一些已有的錯誤與偏差.在評議此課中，出現(xiàn)了兩種不同的聲音：一種意見認為此題有亮點、有特色、有意境.而另一種觀點則認為此題無新意、不必要、不適宜.就是這樣一道平凡的例題在教學中引發(fā)了教學爭鳴，說明它有一定的存在價值.對此問題我們進行了一番簡單的分析和思考.
二、“權”與“權重”的概念解析
要理解“加權平均數”，先得理解“權”和“權重”.在古代，“權”的意思是秤砣，就是在秤上滑動以觀察質量的鐵疙瘩.《孟子·梁惠王上》曰：“權，然后知輕重.”就表達了這個意思.現(xiàn)代的“權”在字典里的解釋是：職責范圍內支配和指揮的力量.“權重”是指每項指標在總體中所占的比重數，描述了每項指標在整體評價中的相對重要程度.生活中就有這兩個概念的影子，諸如，人們常說話語權，就是看他人在人們心目中的“權重”大小.那么對初中數學而言，什么是“權”和“權重”？由于數學知識具體呈現(xiàn)在教科書上，下面就以最具有代表性的3本教科書中的對“權”和“權重”的概念闡述進行解析.
1.概念呈現(xiàn)
在想一想的基礎上，通過廣告公司選用人員的測試成績，給出加權平均數的概念.即在實際問題中，一組數據中的每個數據的“重要程度”未必相同，因而，在計算這組數據的平均數時，往往給每個數據一個“權”.也就是說“權”是反映這一個數在一組數據中重要程度的一個量.而此時求這組數據的平均數就是計算加權平均數.然后再通過打掃衛(wèi)生、增長百分數等案例來剖析和深化對加權平均數的解析.也就是說把“權”在數據中的表現(xiàn)形態(tài)通過具體案例的形式予以展現(xiàn).
然后通過錄用人員、演講比賽中評委打分、載客量、燈泡壽命等具體案例來認知加權平均數的概念.
在華師版中，此概念出現(xiàn)在8年級下冊第21章《數據的整理與初步處理》第1節(jié)的“算術平均數與加權平均數”中，通過計算某居民電話費用的平均數導出算術平均數的概念；接著通過計算和繪制某校初二年級各班人數平均數及條形圖，借用計算器來計算算術平均數強化對此概念的理解；最后通過計算某學生一學期總評成績（平時占40%，考試占60%）以及公司面試成績的確定及錄用、蘋果均價的計算、電梯載重、扇形統(tǒng)計圖的制作、上海世博會的投票等以例說的形式給出加權平均數的概念及其涉及的權重的概念[3].不同的是，華師版注重用圖形語言來表述加權平均數中所涉及的概念，而且有一個十分有意義的閱讀材料“均貧富”.
2.分析與比較
比較3種版本的教材可以發(fā)現(xiàn)：都是通過典型的案例說明在計算一組數據的代表性元素時，由于組中數據的重要程度不同，需要一個量來描述其相對重要程度，這就是“權”或“權重”.不同的是在華師版中只出現(xiàn)“權重”，而在其他兩版本中只出現(xiàn)“權”.那么“權”與“權重”有沒有區(qū)別呢？如何理解“權”與“權重”？在講課、評課與議課中發(fā)現(xiàn)教師對此概念的理解并不是十分清晰，出現(xiàn)了模糊認識，尤其有些教師指出，在一些練習題中很難找出權，那么計算加權平均數就有困難.
從3個版本教科書的闡述中可以析理出“權”與“權重”概念的聯(lián)系與區(qū)別：
（1）人教版中對“權”有明確的定義，北師版只是以案例的形式給出“權”，都是以整數、比例、百分數的形式呈現(xiàn)，并沒有出現(xiàn)“權重”的概念.
（2）華師版只出現(xiàn)“權重”的描述性定義，沒有出現(xiàn)“權”的概念，只出現(xiàn)用百分數描述的方式.
從數學的角度講，這兩個概念是形異質同.也就是說從本質上講都是描述一組數據中各個數據相對重要性的一個量，只不過是表現(xiàn)形式不同而已.華師版是把一組數據中的“權重”之和視為1的情形下討論各個數所占重要性的百分比.如果視為“權”的話，其“權”就小于1；而人教版、北師版以3種形式賦“權”，其實質是一樣的.
三、教學思考
綜上所述，關于加權平均數的理解，關鍵在于“權”和“權重”.為了澄清誤區(qū)，方便教與學，筆者從教學設計和教學實施角度提出建議：
從教學設計的角度講，對上述例題之所以出現(xiàn)不同聲音，是因為“加權平均數”的概念講述分兩節(jié)進行，而上述例題是在第一課時出現(xiàn)的，所以會產生爭論.有些教師認為此處出現(xiàn)比較恰當，有些教師則認為此處出現(xiàn)淡化了主題，把重點放在了分數的統(tǒng)一上，而沒有放在“權”的理解上.基于上述的爭論，者認為應當整合人教版的設計思路，以人均耕地面積的計算為導入點，引出加權平均數的概念，然后過渡到上面的例題，既可以減緩難度，又可以強化對概念的理解，然后再以公司招聘為例剖析“權”在實際生活中的應用價值.雖然這樣的例題在3種教科書中都出現(xiàn)，但建議在教學設計時應用華師版的案例，可以更好地培養(yǎng)學生的辨析能力.從教學實施的角度講，應當把重心放在學生的分組討論上，讓學生通過嘗試、對比、分析、評價去感受權、體會權、分析權，進而達到對新知識的建構.整個教學過程中要充分發(fā)揮學生的主觀能動性.課堂上要把激發(fā)學生學習熱情和獲得學習能力放在教學首位，通過運用各種啟發(fā)、激勵的語言，以及組織小組合作學習，幫助學生形成積極主動的求知態(tài)度，掌握“加權平均數”的概念與計算，發(fā)展學生初步的統(tǒng)計意識和數學應用能力.留給學生獨立思考的時間，在學生獨立思考后，再小組討論交流，使每位學生都學會數學思考，學會合作交流.同時，教師應對小組討論給予適當的指導，包括知識和方法的啟發(fā)引導、學生合作交流中應注意的問題、對困難學生的幫助等，使小組合作學習更具實效性.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/372893.html
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