2018-2019學(xué)年湖北省宜昌市東部八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（每題3分，共45分）
1．（3分）若二次根式 有意義，則x的取值范圍為（ ）
A．x≥2 B．x≠2 C．x＞2 D．x≥0
2．（3分）下列二次根式中，不能與 合并的是（ �。�
A． B． C． D．
3．（3分）下列各式中屬于最簡二次根式的是（ �。�
A． B． C． D．
4．（3分）若 ，則（ �。�
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
5．（3分）下列各組線段中，能夠組成直角三角形的是（ �。�
A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，5
6．（3分）下列命題的逆命題是正確的是（ �。�
A．若a=b，則a2=b2 B．若a＞0，b＞0，則ab＞0
C．等邊三角形是銳角三角形 D．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等
7．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，則AB=（ �。�
A．4 B． C． D．
8．（3分）一個(gè)四邊形的三個(gè)相鄰內(nèi)角度數(shù)依次如下，那么其中是平行四邊形的是（ �。�
A．88°，108°，88° B．88°，104°，108°
C．88°，92°，92° D．88°，92°，88°
9．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（ �。�
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=OD C．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC
10．（3分）八年級(jí)（3）班同學(xué)要在廣場(chǎng)上布置一個(gè)矩形的花壇，計(jì)劃用紅花擺成兩條對(duì)角線．如果一條對(duì)角線用了49盆紅花，還需要從花房運(yùn)來紅花（ �。�
A．48盆 B．49盆 C．50盆 D．.51盆
11．（3分）若一直角三角形的兩邊為5和12，則它第三邊的長為（ �。�
A．13 B． C．13或 D．13或
12．（3分）平行四邊形ABCD中，AB=1，BC= ，AC=2，則連接四邊形ABCD四邊中點(diǎn)所成的四邊形是（ ）
A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
13．（3分）如圖是我國古代數(shù)學(xué)家在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)給出的“弦圖”，給出“弦圖”這位數(shù)學(xué)家是（ �。�
A．畢達(dá)哥拉斯 B．祖沖之 C．趙爽 D．華羅庚
14．（3分）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B 1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長相等．無論正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積，總等于一個(gè)正方形面積的（ ）
A． B． C． D．
15．（3分）如圖，點(diǎn)P是▱ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設(shè)它們的面積分別是S1、S2、S3、S4，給出如下結(jié)論：
①S1+S3=S2+S4；②如果S4＞S2，則S3＞S1；③若S3=2S1，則S4=2S2；④若S1?S2=S3?S4，則P點(diǎn)一定在對(duì)角線BD上．
其中正確的有（ �。�
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
二、解答題（共9題，共75分）
16．（6分）計(jì)算：
（1）4 + ?
（2） × ÷
17．（6分）計(jì)算：
（1）（3+ ）（3? ）
（2）（?3）?2+ ?|1?2 |?（ ?3）0
18．（7分）先化簡，再求值：（1? ）÷（a? ），其中，a=2+ ．
19．（7分）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與AB、CD分別交于點(diǎn)E、F．求證： OE=OF．
20．（8分）如圖，菱形ABCD的較短對(duì)角線BD為4，∠ADB=60°，E、F分別在AD，CD上，且∠EBF=60°．
（1）求證：△ABE≌△DBF；
（2）判斷△BEF的形狀，并說明理由．
21．（8分）在某校組織的“交通安全宣傳教育月”活動(dòng)中，八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了如下的課外實(shí)踐活動(dòng)．具體內(nèi)容如下：在一段筆直的公路上選取兩點(diǎn)A、B，在公路另一側(cè)的開闊地帶選取一觀測(cè)點(diǎn)C，在C處測(cè)得點(diǎn)A位于C點(diǎn)的南偏西45°方向，且距離為100 米，又測(cè)得點(diǎn)B位于C點(diǎn)的南偏東60°方向．已知該路段為鄉(xiāng)村公路，限速為60千米/時(shí)，興趣小組在觀察中測(cè)得一輛小轎車經(jīng)過該路段用時(shí)13秒，請(qǐng)你幫助他們算一算，這輛小車是否超速？（參考數(shù)據(jù)： ≈1.41， ≈1.73，計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）
22．（10分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作BC的平行線交∠ACB的角平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F
（1）求證：EO=FO；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形CEAF是矩形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
（3）在第（2）問的結(jié)論下，若AE=3，EC=4，AB=12，BC=13，請(qǐng)直接寫出凹四邊形ABCE的面積為 �。�
23．（11分）如圖，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=20cm ，E是AD的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿A?B?C路線以1cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．將△APE以EP為折痕折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為M．
（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上，且點(diǎn)M在邊BC上時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上，且點(diǎn)M也在邊BC上時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（3）直接寫出點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中線段BM長的最小值 �。�
24．（12分）已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合）．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：①BD⊥CF．②CF=BC?CD．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，其它條件不變，請(qǐng)直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上時(shí)，且點(diǎn)A、F分別在直線BC的兩側(cè)，其它條件不變：①請(qǐng)直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系．②若連接正方形對(duì)角線AE、DF，交點(diǎn)為O，連接OC，探究△AOC的形狀，并說明理由．
2018-2019學(xué)年湖北省宜昌市東部八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題3分，共45分）
1．（3分）若二次根式 有意義，則x的取值范圍為（ �。�
A．x≥2 B．x≠2 C．x＞2 D．x≥0
【解答】解：由題意得：x?2≥0，
解得：x≥2，
故選：A．
2．（3分）下列二次根式中，不能與 合并的是（ �。�
A． B． C． D．
【解答】解：A、 ，故A能與 合并；
B、 ，故B能與 合并；
C、 ，故C不能與 合并；
D、 ，故D能與 合并；
故選：C．
3．（3分）下列各式中屬于最簡二次根式的是（ �。�
A． B． C． D．
【解答】解：因?yàn)锽、 = ；
C、 =2 ；
D、 = ；
所以，這三個(gè)選項(xiàng)都不是最簡二次根式．故選A．
4．（3分）若 ，則（ �。�
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
【解答】解：∵ ，
∴3?b≥0，解得b≤3．故選D．
5．（3分）下列各組線段中，能夠組成直角三角形的是（ �。�
A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，5
【解答】解：A、∵62+72=36+49=85；82=64，
∴62+72≠82，
則此選項(xiàng)線段長不能組成直角三角形；
B、∵52+62=25+36=61；72=49，
∴52+62≠72，
則此選項(xiàng)線段長不能組成直角三角形；
C、∵42+52=16+25=41；62=36，
∴42+52≠62，
則此選項(xiàng)線段長不能組成直角三角形；
D、∵32+42=9+16=85；52=25，
∴32+42=52，
則此選項(xiàng)線段長能組成直角三角形；
故選：D．
6．（3分）下列命題的逆命題是正確的是（ �。�
A．若a=b，則a2=b2 B．若a＞0，b＞0，則ab＞0
C．等邊三角形是銳角三角形 D．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等
【解答】解：A、逆命題為若a2=b2，則a=b，此逆命題為假命題；
B、逆命題為ab＞0，則a＞0，b＞0，此逆命題為假命題；
C、逆命題為銳角三角形是等邊三角形，此逆命題為假命題；
D、逆命題為對(duì)應(yīng)邊相等的三角形為全等三角形，此逆命題為真命題．
故選：D．
7．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，則AB=（ �。�
A．4 B． C． D．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，
∴BC= AB
∴AB=2BC=2×2=4，
故選：A．
8．（3分）一個(gè)四邊形的三個(gè)相鄰內(nèi)角度數(shù)依次如下，那么其中是平行四邊形的是（ �。�
A．88°，108°，88° B．88°，104°，108°
C．88°，92°，92° D．88°，92°，88°
【解答】解：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是 平行四邊形，故B不是；
當(dāng)三個(gè)內(nèi)角度數(shù)依次是88°，108°，88°時(shí)，第四個(gè)角是76°，故A不是；
當(dāng)三個(gè)內(nèi)角度數(shù)依次是88°，92°，92°，第四個(gè)角是88°，而C中相等的兩個(gè)角不是對(duì)角故C錯(cuò)，D中滿足兩組對(duì)角分別相等，因而是平行四邊形．
故選：D．
9．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（ �。�
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=OD C．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC
【解答】解：A、根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；
B、根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；
C、不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；
D、根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：C．
10．（3分）八年級(jí)（3）班同學(xué)要在廣場(chǎng)上布置一個(gè)矩形的花壇，計(jì)劃用紅花擺成兩條對(duì)角線．如果一條對(duì)角線用了49盆紅花，還需要從花房運(yùn)來紅花（ ）
A．48盆 B．49盆 C．50盆 D．.51盆
【解答】解：∵矩形的對(duì)角線互相平分且相等，
∴一條對(duì)角線用了49盆紅花，中間一盆為對(duì)角線交點(diǎn)，49?1=48，
∴還需 要從花房運(yùn)來紅花48盆；
故選：A．
11．（3分）若一直角三角形的兩邊為5和12，則它第三邊的長為（ �。�
A．13 B． C．13或 D．13或
【解答】解：由題意得：
當(dāng)所求的邊是斜邊時(shí)，則有 =13；
當(dāng)所求的邊是直角邊時(shí)，則有 = ．
故選：D．
12．（3分）平行四邊形ABCD中，AB=1，BC= ，AC=2，則連接四邊形ABCD四邊中點(diǎn)所成的四邊形是（ �。�
A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【解答】解：∵平行四邊形ABCD中，AB=1，BC= ，AC=2，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD為矩形，
∴連接矩形ABCD的四邊中點(diǎn)所成的四邊形是菱形，
故選：B．
13．（3分）如圖是我國古代數(shù)學(xué)家在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)給出的“弦圖”，給出“弦圖”這位數(shù)學(xué)家是（ �。�
A．畢達(dá)哥拉斯 B．祖沖之 C．趙爽 D．華羅庚
【解答】解：我國古 代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)給出的“弦圖”，它解決的數(shù)學(xué)問題是勾股定理．
故選：C．
14．（3分）如圖， 正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長相等．無論正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部 分的面積，總等于一個(gè)正方形面積的（ �。�
A． B． C． D．
【解答】解：（1）當(dāng)正方形繞點(diǎn)OA1B1C1O繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)到其邊OA1，OC1分別于正方形ABCD的兩條對(duì)角線重合這一特殊位置時(shí)，
顯然S兩個(gè)正方形重疊部分= S正方形ABCD，
（2）當(dāng)正方形繞點(diǎn)OA1B1C1O繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)到如圖位置時(shí)．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠OAB=∠OBF=45°，OA=OB
BO⊥AC，即∠AOE+∠EOB=90°，
又∵四邊形 A′B′C′O為正方形，
∴∠A′OC′=90°，即∠BOF+∠EOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∵S兩個(gè)正方形重疊部分=S△BOE+S△BOF，
又S△AOE=S△BOF，
∴S兩個(gè)正方形重疊部分=S△ABO= S正方形ABCD．
綜上所知，無論正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積，總等于一個(gè)正方形面積的 ．
故選：C．
15．（3分）如圖，點(diǎn)P是▱ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設(shè)它們的面積分別是S1、S2、S3、S4，給出如下結(jié)論：
①S1+S3=S2+S4；②如果S4＞S2，則S3＞S1；③若S3=2S1，則S4=2S2；④若S1?S2=S3?S4，則P點(diǎn)一定在對(duì)角線BD上．
其中正確的有（ �。�
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ AB=CD，AD=BC，
設(shè)點(diǎn)P到AB、BC、CD、DA的距離分別為h1、h2、h3、h4，
則S1= ABh1，S2= BCh2，S3= CDh3，S4= ADh4，
∵ ABh1+ CDh3= AB•hAB，
BCh2+ ADh4= BC•hBC，
又∵S平行四邊形ABCD=AB•hAB=BC•hBC
∴S2+S4=S1+S3，故①正確；
根據(jù)S4＞S2只能判斷h4＞h2，不能判斷h3＞h1，即不能 得出S3＞S1，∴②錯(cuò)誤；
根據(jù)S3=2S1，能得出h3=2h1，不能推出h4=2h2，即不能推出S4=2S2，∴③錯(cuò)誤；
∵S1?S2=S3?S4，
∴S1+S4=22+S3= S平行四邊形ABCD，
如圖所示：
此時(shí)S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC= S平行四邊形ABCD，
即P點(diǎn)一定在對(duì)角線BD上，∴④正確；
故選：D．
二、解答題（共9題，共75分）
16．（6分）計(jì)算：
（1）4 + ?
（2） × ÷
【解答】解：（1）原式=4 +3 ?2
=5 ；
（2）原式=
=15．
17．（6分）計(jì)算：
（1）（3+ ）（3? ）
（2）（?3）?2+ ?|1?2 |?（ ?3）0
【解答】解：（1）原式=9?5
=4；
（2）原式= +2 +1?2 ?1
= ．
18．（7分）先化簡，再求值：（1? ）÷（a? ），其中，a=2+ ．
【解答】解：原式= ÷
= ×
= ，
當(dāng)a=2+ 時(shí)，原式= = ．
19．（7分）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與AB、CD分別交于點(diǎn)E、F．求證：OE=OF．
【解答】證明：
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，OA=OC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF．
20．（8分）如圖，菱形ABCD的較短對(duì)角線BD為4，∠ADB=60°，E、F分別在AD，CD上，且∠EBF=60°．
（1）求證：△ABE≌△DBF；
（2）判斷△BEF的形狀，并說明理由．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∵∠ADB=60°，
∴△ADB是等邊三角形，△BDC是等邊三角形，
∴AB=BD，∠ABD=∠A=∠BDC=60°，
∵∠ABD=∠EBF=60°，
∴∠ABE=∠DBF，
在△ABE和△DBF中，
，
∴△ABE≌△DBF．
（2）解：結(jié)論：△BEF是等邊三角形．
理由：∵△ABE≌△DBF，
∴BE=BF，∵∠EBF=60°，
∴△EBF是等邊三角形．
21．（8分） 在某校組織的“交通安全宣傳教育月”活動(dòng)中，八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了如下的課外實(shí)踐活動(dòng)．具體內(nèi)容如下：在一段筆直的公路上選取兩點(diǎn)A、B，在公路另一側(cè)的開闊地帶選取一觀測(cè)點(diǎn)C，在C處測(cè)得點(diǎn)A位于C點(diǎn)的南偏西45°方向，且距離為100 米，又測(cè)得點(diǎn)B位于C點(diǎn)的南偏東60°方向．已知該路段為鄉(xiāng)村公路，限速為60千米/時(shí)，興趣小組在觀察中測(cè)得一輛小轎車經(jīng)過該路段用時(shí)13秒，請(qǐng)你幫助他們算一算，這輛小車是否超速？（參考數(shù)據(jù)： ≈1.41， ≈1.73，計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）
【解答】解：如圖，作CD⊥AB于點(diǎn)D．
∵在Rt△ADC中，∠ACD=45°，AC=100 ，
∴CD=AC•cos∠ACD= AC=100，
∴AD=CD=100．
∵在Rt△CDB中，∠BCD=60°，
∴∠CBD=30°，
∴BD= CD=100 ．
∴AB=AD+BD=100+100 =100（ +1）≈273．
又∵小轎車經(jīng)過AB路段用時(shí)13秒，
∴小轎車的速度為 =21米/秒．…………（5分）
而該路段限速為60千米/時(shí)≈16.67米/秒，
∵21＞16.67，
∴這輛小轎車超速了．
22．（10分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作BC的平行線交∠ACB的角平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F
（1）求證：EO=FO；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形CEAF是矩形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
（3）在第（2）問的結(jié)論下，若AE=3，EC=4，AB=12，BC=13，請(qǐng)直接寫出凹四邊形ABCE的面積為 24 ．
【解答】（1）證明：∵EF∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠OCE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴EO=CO，
同理：FO=CO，
∴EO=FO；
（2）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CEAF是矩形；理由如下：
由（1）得：EO=FO，
又∵O是AC的中點(diǎn)，
∴AO=CO，
∴四邊形CEAF是平行四邊形，
∵EO=FO=CO，
∴EO=FO=AO=CO，
∴EF=AC，
∴四邊形CEAF是矩形；
（3）解：由（2）得：四邊形CEAF是矩形，
∴∠AEC=90°，
∴AC= = =5，
△ACE的面積= AE×EC= ×3×4=6，
∵122+52=132，
即AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴△ABC的面積= AB•AC= ×12×5=30，
∴凹四邊形ABCE的面積=△ABC的面積?△ACE的面積=30?6=24；
故答案為：24．
23．（11分）如圖，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=20cm，E是AD的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿A?B?C路線以1cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．將△APE以EP為折痕折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為M．
（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上，且點(diǎn)M在邊BC上時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上，且點(diǎn)M也在邊BC上時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（3）直接寫出點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中線段BM長的最小值 2 ?10 ．
【解答】解：（1）如圖1，作EF⊥BC于F，
AP=t，則PB=8?t，PM=t，EF=AB=8，
∵∠B=∠PME=∠EFM=90°，
∴△PBM∽△MFE，
∴ = ，
BM= t，
在Rt△PBM中，PB2+BM2=PM2，
（8?t）2+（ t）2=t2，
解得：t=5；
（2）由題意可知，
∠APE=∠MPE，∠AEP=∠MEP，
∵BC∥AD，
∴∠MPE=∠AEP，
∴四邊形APME為菱形，
∴AP=AE=10，
在Rt△ABP中，AB2+BP2=PA2，
即82+（t?8）2=102，
解得：t1=2（不合題意），t2=14；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在線段BE上時(shí)，BM最小，
∵AB=8，AE=10，
由勾股定理，BE=2 ，
BM=2 ?10．
24．（12分）已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合）．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：①BD⊥CF．②CF=BC?CD．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的 延長線上時(shí)，其它條件不變，請(qǐng)直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上時(shí)，且點(diǎn)A、F分別在直線BC的兩側(cè)，其它條件不變：①請(qǐng)直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系．②若連接正方形對(duì)角線AE、DF，交點(diǎn)為O，連接OC，探究△AOC的形狀，并說明理由．
【解答】（1）證明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=9 0°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中， ，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴BD⊥CF；
②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，
∵BD=BC?CD，
∴CF=BC?CD；
（2）與（1）同理可得BD=CF，
所以，CF=BC+CD；
（3）①與（1）同理可得，BD=CF，
所以，CF=CD?BC；
②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠A CB=45°，
則∠ABD=180°?45°=135°，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，
∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中， ，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=180°?45°=135°，
∴∠FCD=∠ACF?∠ACB=90°，
則△FCD為直角三角形，
∵正方形ADEF中，O為DF中點(diǎn)，
∴OC= DF，
∵在正方形ADEF中，OA= AE，AE=DF，
∴OC=OA，
∴△AOC是等腰三角形．
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