69、（2013•泰州）如圖，AB為⊙O的直徑，AC、DC為弦，∠ACD=60°，P為AB延長線上的點，∠APD=30°．
（1）求證：DP是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3c，求圖中陰影部分的面積．
考點：切線的判定；扇形面積的計算．
分析：（1）連接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）求出OP、DP長，分別求出△DOB和三角形ODP面積，即可求出答案．
解答：（1）證明：連接OD，
∵∠ACD=60°，
∴由圓周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°，
∴∠DOP=180°?120°=60°，
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°?30°?60°=90°，
∴OD⊥DP，
∵OD為半徑，
∴DP是⊙O切線；
（2）解：∵∠P=30°，∠ODP=90°，OD=3c，
∴OP=6c，由勾股定理得：DP=3 c，
∴圖中陰影部分的面積S=S△ODP?S扇形DOB=×3×3 ? =（ ?π）c2
點評：本題考查了扇形面積，三角形面積，切線的判定，圓周角定理等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計算能力．
70、（2013•雅安）如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點，CD=CB，延長CD交BA的延長線于點E．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）
考點：切線的判定與性質(zhì)；扇形面積的計算．
分析：（1）首先連接OD，由BC是⊙O的切線，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易證得∠ODC=∠ABC=90°，即可證得CD為⊙O的切線；
（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的長，∠BOD的度數(shù)，又由S陰影=S扇形OBD?S△BOD，即可求得答案．
解答：（1）證明：連接OD，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠ABC=90°，
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODC=∠ABC=90°，
即OD⊥CD，
∵點D在⊙O上，
∴CD為⊙O的切線；
（2）解：在Rt△OBF中，
∵∠ABD=30°，OF=1，
∴∠BOF=60°，OB=2，BF= ，
∵OF⊥BD，
∴BD=2BF=2 ，∠BOD=2∠BOF=120°，
∴S陰影=S扇形OBD?S△BOD= ?×2 ×1=π? ．
點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)、垂徑定理以及扇形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
71、（2013福省福州20）如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點，弦N∥BC交AB于點E，且E=1，A=2，AE=
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求 的長．
考點：切線的判定；勾股定理的逆定理；弧長的計算；解直角三角形．
分析：（1）欲證明BC是⊙O的切線，只需證明OB⊥BC即可；
（2）首先，在Rt△AE中，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得∠A=30°；
其次，利用圓心角、弧、弦間的關(guān)系、圓周角定理求得∠BON=2∠A=60°，由三角形函數(shù)的定義求得ON= = ；
最后，由弧長公式l= 計算 的長．
解答：（1）證明：如圖，
∵E=1，A=2，AE= ，
∴E2+AE2=A2=4，
∴△AE是直角三角形，且∠AE=90°．
又∵N∥BC，
∴∠ABC=∠AE=90°，即OB⊥BC．
又∵OB是⊙O的半徑，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：如圖，連接ON．
在Rt△AE中，sinA= = ，
∴∠A=30°．
∵AB⊥N，
∴ = ，EN=E=1，
∴∠BON=2∠A=60°．
在Rt△OEN中，sin∠EON= ，
∴ON= = ，
∴ 的長度是： • = ．
點評：本題綜合考查了切線的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理，弧長的計算，解直角三角形等．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．
72、(2013年江西省)如圖1，一輛汽車的背面，有一種特殊形狀的刮雨器，忽略刮雨器的寬度可抽象為一條折線OAB，如圖2所示，量得連桿OA長為10c，雨刮桿AB長為48c，∠OAB=120°．若啟動一次刮雨器，雨刮桿AB正好掃到水平線CD的位置，如圖3所示．
（1）求雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)的最大角度及O、B兩點之間的距離；（結(jié)果精確到0.01）
（2）求雨刮桿AB掃過的最大面積．（結(jié)果保留π的整數(shù)倍）
（參考數(shù)據(jù)：sin60°= ，cos60°= ，tan60°= ， ≈26.851，可使用科學(xué)計算器）
【答案】解：（1）雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)的最大角度為180° ．
連接OB，過O點作AB的垂線交BA的延長線于EH，
∵∠OAB=120°，
∴∠OAE=60°
在Rt△OAE中，
∵∠OAE=60°，OA=10，
∴sin∠OAE= = ，
∴OE=5 ，
∴AE=5.
∴EB=AE+AB=53，
在Rt△OEB中，
∵OE=5 ，EB=53，
∴OB= = =2 ≈53.70；
（2）∵雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)180°得到CD，即△OCD與△OAB關(guān)于點O中心對稱，
∴△BAO≌△OCD，∴S△BAO=S△OCD，
∴雨刮桿AB掃過的最大面積S= π(OB2－OA2)
=1392π.
【考點解剖】 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，以及扇形面積的求法，難點是考生缺乏生活經(jīng)驗，弄不懂題意（提供的實物圖也不夠清晰，人為造成一定的理解困難）．
【解題思路】 將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，（1）AB旋轉(zhuǎn)的最大角度為180°；在△OAB中，已知兩邊及其夾角，可求出另外兩角和一邊，只不過它不是直角三角形，需要轉(zhuǎn)化為直角三角形來求解，由∠OAB=120°想到作AB邊上的高，得到一個含60°角的Rt△OAE和一個非特殊角的Rt△OEB.在Rt△OAE中，已知∠OAE=60°，斜邊OA=10，可求出OE、AE的長，進(jìn)而求得Rt△OEB中EB的長，再由勾股定理求出斜邊OB的長；（2）雨刮桿AB掃過的最大面積就是一個半圓環(huán)的面積（以O(shè)B、OA為半徑的半圓面積之差）.
【方法規(guī)律】 將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形求解.在直角三角形中，已知兩邊或一邊一角都可求出其余的量.
【關(guān)鍵詞】 刮雨器 三角函數(shù) 解直角三角形 中心對稱 扇形的面積
73、(2013年臨沂) 如圖，在△ABC中，∠ACB= ， E為BC上一點，以CE為直徑作⊙O,AB與⊙O相切于點D，連接CD,若BE=OE=2.
（1）求證：∠A=2∠DCB；
（2）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留 和根號）.]
解析： (1)證明：連接OD.
∵AB與⊙O相切于點D , ∴ ，∴ .
∵ ,∴ ,∴
∵OC=OD, ∴ .∴
(2)方法一：在Rt△ODB中，OD=OE,OE=BE
∴
∴ ……6分
∵
∴
方法二：連接DE,在Rt△ODB中，∵BE=OE=2
∴ ,
∵OD=OE, ∴△DOE為等邊三角形，即
74、（2013•新疆）如圖，已知⊙O的半徑為4，CD是⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，B為CD延長線上的一點，∠ABC=30°，且AB=AC．
（1）求證：AB為⊙O的切線；
（2）求弦AC的長；
（3）求圖中陰影部分的面積．
考點：切線的判定；扇形面積的計算．
分析：（1）如圖，連接OA，欲證明AAB為⊙O的切線，只需證明AB⊥OA即可；
（2）如圖，連接AD，構(gòu)建直角△ADC，利用“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”求得AD=4，然后利用勾股定理來求弦AC的長度；
（3）根據(jù)圖示知，圖中陰影部分的面積=扇形ADO的面積+△AOC的面積．
解答：（1）證明：如圖，連接OA．
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=30°．
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∴在△ABO中，∠AOB=180°?∠ABO?∠AOB=90°，即AB⊥OA，
又∵OA是⊙O的半徑，
∴AB為⊙O的切線；
（2）解：如圖，連接AD．
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DAC=90°．
∵由（1）知，∠ACB=30°，
∴AD=CD=4，
則根據(jù)勾股定理知AC= =4 ，即弦AC的長是4 ；
（3）解：由（2）知，在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=4 ，則S△ABC=AD•AC=×4×4 =8 ．
∵點O是△ADC斜邊上的中點，
∴S△AOC=S△ABC=4 ．
根據(jù)圖示知，S陰影=S扇形ADO+S△AOC= +4 = +4 ，即圖中陰影部分的面積是 +4 ．
點評：本題考查了切線的判定，圓周角定理以及扇形面積的計算．解答（3）時，求△AOC的面積的面積的技巧性在于利用了“等邊同高”三角形的面積相等的性質(zhì)．
75、（綿陽市2013年）如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓O上的一點，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足為D，AD交⊙O于E，連接CE。
（1）判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若E是 的中點，⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積。
解（1）直線CD與⊙O相切。
證明：連結(jié)AC，OA=OC，
∠OAC=∠OCA，
AC平分∠DAB，∠DAC=∠OAC，
∠DAC=∠OCA，AD//OC，AD⊥CD，OC⊥CD，CD與⊙O相切。
（2）連結(jié)OE，， 點E是 的中點，
，∠DAC=∠ECA（相等的弧所對的圓周角相等），
∠DAC=∠OAC（（1）中已證），∠ECA=∠OAC，CE//OA，AD//OC，
四邊形AOCE是平行四邊形，CE=OA，AE=OC， OA=OC=OE=1，
OC=OE=CE=OA=AE=1，四邊形AOCE是菱形，△OCE是等邊三角形，
∠OCE=60⩝，∠OCD=90⩝，∠DCE=∠OCD-∠OCE=90⩝-60⩝=30⩝，
AD⊥CD，在Rt△DCE中，ED= 12 CE = 12 ,DC=cos30⩝•CE= 32 ,
CE弧與CE弦所圍成部分的面積 = AE弧與AE弦所圍成部分的面積，
S陰影=S△DCE=12 •ED•DC=12 ×12 ×32 = 38 .
答：圖中陰影部分的面積為38 。
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