一. 用面積法證線段相等
例1. 已知：如圖1，AD是△ABC的中線，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延長線于E。
求證：CF=BE。
圖1
證明：連結EC，由BD=DC得，
，
兩式兩邊分別相加，得
故
所以BE=CF。
注：直接由得
更簡潔。
二. 用面積法證兩角相等
例2. 如圖2，C是線段AB上的一點，△ACD、△BCE都是等邊三角形，AE、BD相交于O。
求證：∠AOC=∠BOC。
圖2
證明：過點C作CP⊥AE，CQ⊥BD，垂足分別為P、Q。
因為△ACD、△BCE都是等邊三角形，
所以AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，
所以∠ACE=∠DCB
所以△ACE≌△DCB
所以AE=BD，
可得CP=CQ
所以OC平分∠AOB
即∠AOC=∠BOC
三. 用面積法證線段不等
例3. 如圖3，在△ABC中，已知AB>AC，∠A的平分線交BC于D。
求證：BD>CD。
圖3
證明：過點D分別作DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分別為E、F
設BC邊上的高為h。
因為∠BAD=∠DAC
所以DE=DF
因為
且AD>AC
所以
即
所以BD>CD
四. 用面積法證線段的和差
例4. 已知：如圖4，設等邊△ABC一邊上的高為h，P為等邊△ABC內的任意一點，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F。
求證：PE+PF+PD=h。
圖4
證明：連結PA、PB、PC
因為，
又
所以。
因為△ABC是等邊三角形
所以
即PE+PF+PD=h
五. 用面積法證比例式或等積式
例5. 如圖5，AD是△ABC的角的平分線。
求證：。
圖5
證明：過D點作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F。
因為AD是△ABC的角的平分線，
所以DE=DF，
則有。
過A點作AH⊥BC，垂足為H，
則有
即
六. 用面積比求線段的比
例6. 如圖6，在△ABC中，已知BC、AC邊上的中線AD、BF交于M。
求證：。
圖6
證明：連結CM，過B作BG⊥AD交AD延長線于G，則
，
所以。
又，
所以，
所以。
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