一、教材分析
向量概念有明確的物理背景和幾何背景，物理背景是力、速度、加速度等，幾何背景是有向線(xiàn)段，可以說(shuō)向量概念是從物理背景、幾何背景中抽象而來(lái)的，正因?yàn)槿绱耍\(yùn)用向量可以解決一些物理和幾何問(wèn)題，例如利用向量計(jì)算力沿某方向所做的功，利用向量解決平面內(nèi)兩條直線(xiàn)平行、垂直位置關(guān)系的判定等問(wèn)題。
二、目標(biāo)
1.通過(guò)應(yīng)用舉例，讓學(xué)生會(huì)用平面向量知識(shí)解決幾何問(wèn)題的兩種方法-----向量法和坐
標(biāo)法，可以用向量知識(shí)研究物理中的相關(guān)問(wèn)題的“四環(huán)節(jié)” 和生活中的實(shí)際問(wèn)題
2.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)向量在解決幾何和物理問(wèn)題中的工具作用，增強(qiáng)學(xué)生的
積極主動(dòng)的探究意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。
三、重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：理解并能靈活運(yùn)用向量加減法與向量數(shù)量積的法則解決幾何和物理問(wèn)題.
難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)姆椒�，將幾何�?wèn)題或者物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題加以解決.
四、學(xué)情分析
在平面幾何中，平行四邊形是學(xué)生熟悉的重要的幾何圖形，而在物理中，受力分析則是其中最基本的基礎(chǔ)知識(shí)，那么在本節(jié)的學(xué)習(xí)中，借助這些對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，非常熟悉的內(nèi)容來(lái)講解向量在幾何與物理問(wèn)題中的應(yīng)用。
五、教學(xué)方法
1.例題教學(xué)，要讓學(xué)生體會(huì)思路的形成過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。
2.學(xué)案導(dǎo)學(xué)：見(jiàn)后面的學(xué)案
3.新授課教學(xué)基本環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑→情境導(dǎo)入、展示目標(biāo)→合作探究、精講點(diǎn)撥→反思總結(jié)、當(dāng)堂檢測(cè)→發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)
六、課前準(zhǔn)備
1.學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)本節(jié)課本上的基本內(nèi)容，初步理解向量在平面幾何和物理中的
應(yīng)用
2.教師的教學(xué)準(zhǔn)備：課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)案，課后延伸拓展學(xué)案。
七、課時(shí)安排：1課時(shí)
八、教學(xué)過(guò)程
(一)預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑
檢查落實(shí)了學(xué)生的預(yù)習(xí)情況并了解了學(xué)生的疑惑，使教學(xué)具有了針對(duì)性。
(二）情景導(dǎo)入、展示目標(biāo)
教師首先提問(wèn)：（1）若O為 重心,則 + + =
（2）水渠橫斷面是四邊形 , = ,且 = ,則這個(gè)四邊形
為等腰梯形.類(lèi)比幾何元素之間的關(guān)系,你會(huì)想到向量運(yùn)算之間都有什么關(guān)系?
(3) 兩個(gè)人提一個(gè)旅行包,夾角越大越費(fèi)力.為什么？
教師：本節(jié)主要研究了用向量知識(shí)解決平面幾何和物理問(wèn)題；掌握向量法和坐標(biāo)法，以及用向量解決平面幾何和物理問(wèn)題的步驟，已經(jīng)布置學(xué)生們課前預(yù)習(xí)了這部分，檢查學(xué)生預(yù)習(xí)情況并讓學(xué)生把預(yù)習(xí)過(guò)程中的疑惑說(shuō)出來(lái)。
（設(shè)計(jì)意圖：步步導(dǎo)入，吸引學(xué)生的注意力，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)。）
（三）合作探究、精講點(diǎn)撥。
探究一：（１）向量運(yùn)算與幾何中的結(jié)論＂若 ，則 ，且 所在直線(xiàn)平行或重合＂相類(lèi)比，你有什么體會(huì)？（２）由學(xué)生舉出幾個(gè)具有線(xiàn)性運(yùn)算的幾何實(shí)例．
教師：平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等幾何性質(zhì)可以由向量線(xiàn)性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)： 例如，向量數(shù)量積對(duì)應(yīng)著幾何中的長(zhǎng)度.如圖： 平行四邊行 中，設(shè) ＝ , ＝ ，則 （平移）， ， （長(zhǎng)度）．向量 ， 的夾角為 .因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問(wèn)題。通過(guò)向量運(yùn)算研究幾何運(yùn)算之間的關(guān)系，如距離、夾角等．把運(yùn)算結(jié)果＂翻譯＂成幾何關(guān)系．本節(jié)課，我們就通過(guò)幾個(gè)具體實(shí)例，來(lái)說(shuō)明向量方法在平面幾何中的運(yùn)用
例1．證明：平行四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)的平方和等于四條邊的平方和．
已知：平行四邊形ABCD．
求證： ．
分析：用向量方法解決涉及長(zhǎng)度、夾角的問(wèn)題時(shí)，我們常常要考慮向量的數(shù)量積．注意到 ， ，我們計(jì)算 和 ．
證明：不妨設(shè) a， b，則
a+b， a-b， a2， b2．
得 ( a+b)?( a+b)
= a?a+ a?b+b?a+b?b= a2+2a?b+b2． ①
同理 a2-2a?b+b2． ②
①+②得 2(a2+b2)=2( )．
所以，平行四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)的平方和等于四條邊的平方和．
師：你能用幾何方法解決這個(gè)問(wèn)題嗎？
讓學(xué)生體會(huì)幾何方法與向量方法的區(qū)別與難易情況。
師：由于向量能夠運(yùn)算，因此它在解決某些幾何問(wèn)題時(shí)具有優(yōu)越性，他把一個(gè)思辨過(guò)程變成了一個(gè)算法過(guò)程，可以按照一定的程序進(jìn)行運(yùn)算操作，從而降低了思考問(wèn)題的難度.
用向量方法解決平面幾何問(wèn)題，主要是下面三個(gè)步驟，
⑴建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；
⑵通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；
⑶把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．
變式訓(xùn)練： 中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O，設(shè) （1）證明A、O、E三點(diǎn)共線(xiàn)；（2）用 表示向量 。
例2，如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？
分析：由于R、T是對(duì)角線(xiàn)AC上兩點(diǎn)，所以要判斷AR、RT、TC之間的關(guān)系，只需要分別判斷AR、RT、TC與AC之間的關(guān)系即可．
解：設(shè) a， b，則 a+b．
由 與 共線(xiàn)，因此。存在實(shí)數(shù)m，使得 =m(a+b)．
又 由 與 共線(xiàn)
因此 存在實(shí)數(shù)n，使得 =n = n( b- a)．
由 = n ，得m(a+b)= a+ n( b- a)．
整理得 a＋ b＝0．
由于向量a、b不共線(xiàn)，所以有 ，解得 ．
所以 ．
同理 ．
于是 ．
所以 AR＝RT＝TC．
說(shuō)明：本例通過(guò)向量之間的關(guān)系闡述了平面幾何中的方法，待定系數(shù)法使用向量方法證明平面幾何問(wèn)題的常用方法．
探究二：（1）兩個(gè)人提一個(gè)旅行包,夾角越大越費(fèi)力.
（2）在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng),兩臂夾角越小越省力. 這些問(wèn)題是為什么？
師：向量在物理中的應(yīng)用，實(shí)際上就是把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，然后通過(guò)向量運(yùn)算解決向量問(wèn)題，最后再用所獲得的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象．
例3．在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上作引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力．你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？
分析：上面的問(wèn)題可以抽象為如右圖所示的數(shù)學(xué)模型．只要分析清楚F、G、 三者之間的關(guān)系（其中F為F1、F2的合力）,就得到了問(wèn)題的數(shù)學(xué)解釋?zhuān)?br />解：不妨設(shè)F1=F2， 由向量加法的平行四邊形法則，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到
F1= ．
通過(guò)上面的式子我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng) 由 逐漸變大時(shí)， 由 逐漸變大， 的值由大逐漸變小，因此，F(xiàn)1有小逐漸變大，即F1、F2之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力．
師：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合剛才這個(gè)問(wèn)題，思考下面的問(wèn)題：
⑴ 為何值時(shí)，F(xiàn)1最小，最小值是多少？
⑵F1能等于G嗎？為什么？
例4如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度 m，一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸．已知船的速度v1=10km/h，水流的速度v2=2km/h，問(wèn)行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是多少(精確到0.1min)？
分析：如果水是靜止的，則船只要取垂直于對(duì)岸的方向行駛，就能使行駛航程最短，所用時(shí)間最短．考慮到水的流速，要使船的行駛航程最短，那么船的速度與水流速度的合速度v必須垂直于對(duì)岸．（用《幾何畫(huà)板》演示水流速度對(duì)船的實(shí)際航行的影響）
解： = (km/h)，
所以， (min)．
答：行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是3.1 min．
本例關(guān)鍵在于對(duì)“行駛最短航程”的意義的解釋?zhuān)础胺治觥敝薪o出的穿必須垂直于河岸行駛，這是船的速度與水流速度的合速度應(yīng)當(dāng)垂直于河岸，分析清楚這種關(guān)系侯，本例就容易解決了。
變式訓(xùn)練：兩個(gè)粒子A、B從同一源發(fā)射出來(lái)，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為 ，（1）寫(xiě)出此時(shí)粒子B相對(duì)粒子A的位移s;(2)計(jì)算s在 方向上的投影。
九、板書(shū)設(shè)計(jì)
§2.5 平面向量應(yīng)用舉例
例⒈ 用向量法解平面幾何 例2 變式訓(xùn)練
問(wèn)題的“三步曲”
例3. 例4
變式訓(xùn)練
十、教學(xué)反思
本小節(jié)主要是例題教學(xué)，要讓學(xué)生體會(huì)思路的形成過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題方法，展示思路的形成過(guò)程，總結(jié)解題規(guī)律。指導(dǎo)學(xué)生搞好解題后的反思，從而提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力.
十一、學(xué)案設(shè)計(jì)（見(jiàn)下頁(yè)）
2.5平面向量應(yīng)用舉例
課前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、預(yù)習(xí)目標(biāo)
預(yù)習(xí)《平面向量應(yīng)用舉例》，體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具，建立實(shí)際問(wèn)題與向量的聯(lián)系。
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容
閱讀課本內(nèi)容，整理例題，結(jié)合向量的運(yùn)算，解決實(shí)際的幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題。另外，在思考一下幾個(gè)問(wèn)題：
1.例1如果不用向量的方法，還有其他證明方法嗎？
2.利用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”是什么？
3． 例3中，⑴ 為何值時(shí)，F(xiàn)1最小，最小值是多少？
⑵F1能等于G嗎？為什么？
三、提出疑惑
同學(xué)們，通過(guò)你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中
疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容
課內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)內(nèi)容
1.運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)（向量加減法與向量數(shù)量積的運(yùn)算法則等）解決平面幾何和解析
幾何中直線(xiàn)或線(xiàn)段的平行、垂直、相等、夾角和距離等問(wèn)題.
2.運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的物理問(wèn)題.
二、學(xué)習(xí)過(guò)程
探究一：（１）向量運(yùn)算與幾何中的結(jié)論＂若 ，則 ，且 所在直線(xiàn)平行或重合＂相類(lèi)比，你有什么體會(huì)？
（２）舉出幾個(gè)具有線(xiàn)性運(yùn)算的幾何實(shí)例．
例1．證明：平行四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)的平方和等于四條邊的平方和．
已知：平行四邊形ABCD．
求證： ．
試用幾何方法解決這個(gè)問(wèn)題
利用向量的方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”？
（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，
（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，
（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。
變式訓(xùn)練： 中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O，設(shè)
（1）證明A、O、E三點(diǎn)共線(xiàn)；
（2）用 表示向量 。
例2，如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的
中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？
探究二：兩個(gè)人提一個(gè)旅行包,夾角越大越費(fèi)力.在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng),兩臂夾角越小越省力. 這些力的問(wèn)題是怎么回事？
例3．在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上作引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力．你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？
請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合剛才這個(gè)問(wèn)題，思考下面的問(wèn)題：
⑴ 為何值時(shí)，F(xiàn)1最小，最小值是多少？
⑵F1能等于G嗎？為什么？
例4如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度 m，一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸．已知船的速度v1=10km/h，水流的速度v2=2km/h，問(wèn)行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是多少(精確到0.1min)？
變式訓(xùn)練：兩個(gè)粒子A、B從同一源發(fā)射出來(lái)，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為
，（1）寫(xiě)出此時(shí)粒子B相對(duì)粒子A的位移s; (2)計(jì)算s在 方向上的投影。
三、反思總結(jié)
結(jié)合圖形特點(diǎn)，選定正交基底，用坐標(biāo)表示向量進(jìn)行運(yùn)算解決幾何問(wèn)題，體現(xiàn)幾何問(wèn)題
代數(shù)化的特點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)的淋漓盡致。向量作為橋梁工具使得運(yùn)算簡(jiǎn)練標(biāo)致，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美。有關(guān)長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等問(wèn)題常用此法。
本節(jié)主要研究了用向量知識(shí)解決平面幾何問(wèn)題和物理問(wèn)題；掌握向量法和坐標(biāo)法，以及用向量解決實(shí)際問(wèn)題的步驟。
四、當(dāng)堂檢測(cè)
1.已知 ，求邊長(zhǎng)c。
2.在平行四邊形ABCD中，已知AD=1，AB=2，對(duì)角線(xiàn)BD=2，求對(duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng)。
3.在平面上的三個(gè)力 作用于一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)， 的夾角為 ，求：（1） 的大��；（2） 與 夾角的大小。
課后練習(xí)與提高
一、選擇題
1.給出下面四個(gè)結(jié)論：
①若線(xiàn)段AC=AB+BC，則向量 ；
②若向量 ，則線(xiàn)段AC=AB+BC；
③若向量 與 共線(xiàn)，則線(xiàn)段AC=AB+BC;
④若向量 與 反向共線(xiàn)，則 .
其中正確的結(jié)論有 （ ）
A. 0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
2.河水的流速為2 ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 的速度駛向?qū)Π�，則小
船的靜止速度大小為 （ ）
A.10 B. C. D.12
3.在 中，若 =0，則 為 ( ）
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.無(wú)法確定
二、填空題
4.已知 兩邊的向量 ，則BC邊上的中線(xiàn)向量 用 、 表示為
5.已知 ，則 、 、 兩兩夾角是
課后練習(xí)答案
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaoer/60041.html
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