1 會在各種應(yīng)用問題中，抽象或構(gòu)造出三角形，標出已知量、未知量，確定解三角形的方法；?
2 搞清利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問題的基本圖形和基本等量關(guān)系；?
3 理解各種應(yīng)用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；?
4 熟練掌握實際問題向解斜三角形類型的轉(zhuǎn)化；?
5 通過解斜三角形的應(yīng)用的，繼續(xù)提高運用所學(xué)知識解決實際問題的能力
知識點歸納
1 正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等其比值為外接圓的直徑
即 （其中R表示三角形的外接圓半徑）
利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角 （從而進一步求出其他的邊和角）
2 余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
第一形式， = ，第二形式，cosB=
利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知三邊，求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角
3 三角形的面積：△ABC的面積用S表示，外接圓半徑用R表示，內(nèi)切圓半徑用r表示，半周長用p表示則
① ；② ；
③ ；④ ；
⑤ ；⑥ （其中 ）
4 三角形內(nèi)切圓的半徑： ，特別地，
5 三角學(xué)中的射影定理：在△ABC 中， ，…
6 兩內(nèi)角與其正弦值：在△ABC 中， ，…
7 三內(nèi)角與三角函數(shù)值的關(guān)系：在△ABC 中
解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”
題型講解
例1 在ΔABC中，已知a= ,b= ,B=45°，求A,C及邊c．
解：由正弦定理得：sinA= ,
因為B=45°<90°且b
(1)當A=60°時,C=180°-(A+B)=75°，
c= ,
(2)當A=120°時,C=180°-(A+B)=15 °，
c=
思維點撥：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形問題，用正弦定理解，但需注意解的情況的討論．
例2 △ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，如果a2=b（b+c），求證：A=2B
分析析：研究三角形問題一般有兩種思路 一是邊化角，二是角化邊
證明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得
sin2A=sinB（sinB+sinC） sin2A－sin2B=sinBsinC
－ =sinBsin（A+B）
（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）
sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B），
因為A、B、C為三角形的三內(nèi)角，所以sin（A+B）≠0
所以sin（A－B）=sinB
所以只能有A－B=B，即A=2B
點評：利用正弦定理，將命題中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角間關(guān)系，從而全部利用三角公式變換求解
例3 已知銳角△ABC中，sin（A+B）= ，sin（A－B）=
（1）求證：tanA=2tanB；
（2）設(shè)AB=3，求AB邊上的高
分析：有兩角的和與差聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式，以（1）為鋪墊，解決（2）
（1）證明：∵sin（A+B）= ，sin（A－B）= ，
∴
=2
∴tanA=2tanB
（2）解： ＜A+B＜π，∴sin（A+B）=
∴tan（A+B）=－ ，
即 =－
將tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，
解得tanB= （負值舍去）
得tanB= ，
∴tanA=2tanB=2+
設(shè)AB邊上的高為CD，則AB=AD+DB= + =
由AB=3得CD=2+ ，所以AB邊上的高為2+
評述：本題主要考查三角函數(shù)概念，兩角和與差的公式以及應(yīng)用，分析和計算能力
例4 在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊長，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及 的值
分析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求∠A，需找∠A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理 由b2=ac可變形為 =a，再用正弦定理可求 的值
解法一：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b2=ac
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc
在△ABC中，由余弦定理得
cosA= = = ，∴∠A=60°
在△ABC中，由正弦定理得sinB= ，
∵b2=ac，∠A=60°，
∴ =sin60°=
解法二：在△ABC中，
由面積公式得 bcsinA= acsinB
∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB
∴ =sinA=
評述：解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理
例5 在 中， ， ， ，求 的值和 的面積．
解法一： 先解三角方程，求出角A的值．
又 ,
解法二： 由 計算它的對偶關(guān)系式 的值．
①
,
②
① +�、凇〉谩 �
① －�、凇〉谩 �
從而 ．
以下解法略去．
點評 本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，著重數(shù)學(xué)考查運算能力，是一道三角的基礎(chǔ)試題．兩種解法比較起來，你認為哪一種解法比較簡單呢？
例6 設(shè)函數(shù) ，其中向量
（１）若f(x)=1－ 且x∈[－ ， ]，求x；
（２）若函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量 (m< )平移后得到函數(shù)y=f(x)的圖象，求實數(shù)m、n的值
解：（１）依題設(shè)可知，函數(shù)的解析式為
＝2cos2x+ sin2x=1+2sin(2x+ )
由1+2sin(2x+ )=1－ ，可得三角方程
sin(2 x + )=－ ．
∵- ≤x≤ ，∴- ≤2x+ ≤ ，∴2x+ =- ，即x=- ．
（２）函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量 平移后得到函數(shù)y=2sin2(x－m)+n的圖象，即函數(shù)y=f(x)的圖象
由（１）得 f(x)=2sin2(x+ )+1
∵m< ，∴ ，
點評 本小題是2004年福建高考試題，主要考查平面向量的概念和計算，三角函數(shù)的恒等變換及其圖象變換的基本技能，著重考查數(shù)學(xué)運算能力．平面向量與三角函數(shù)結(jié)合是高考命題的一個新的亮點之一．
例7 如圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花 若BC=a，∠ABC= ，設(shè)△ABC的面積為S1，正方形的面積為S2．
（１）用a， 表示S1和S2；
（２）當a固定， 變化時，求 取最小值時的角 ．
講解�。ǎ保�
∴
設(shè)正方形邊長為x
則BQ=
（２）當 固定， 變化時，
令
令
任取 ，且 ，
．
，
是減函數(shù)．
取最小值，此時
點評 三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個典型的范例．通過引入角度，將圖形的語言轉(zhuǎn)化為三角的符號語言，再通過局部的換元，又將問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù) ．這些解題思維的拐點，你能否很快的想到呢？
例8 某城市有一條公路，自西向東經(jīng)過A點到市中心O點后轉(zhuǎn)向東北方向OB，現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10 km，問把A、B分別設(shè)在公路上離中心O多遠處才能使AB最短?并求其最短距離 （不要求作近似計算）
解：在△AOB中，設(shè)OA=a，OB=b
因為AO為正西方向，OB為東北方向，所以∠AOB=135°
則AB2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+ ab≥2ab+ ab=（2+ ）ab，當且僅當a=b時，“=”成立 又O到AB的距離為10，設(shè)∠OAB=α，則∠OBA=45°－α 所以a= ，b= ，
ab= ? =
= =
= ≥ ，
當且僅當α=22°30′時，“=”成立
所以AB2≥ =400（ +1）2，
當且僅當a=b，α=22°30′時，“=”成立
所以當a=b= =10 時，AB最短，其最短距離為20（ +1），即當AB分別在OA、OB上離O點10 km處，能使AB最短，最短距離為20（ －1）
小結(jié)：
1 在△ABC中，∵A+B+C=π，
∴sin =cos ，cos =sin ，tan =cot
2 ∠A、∠B、∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60°
3 在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC
4 根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：①化邊為角；②化角為邊 并常用正弦（余弦）定理實施邊角轉(zhuǎn)化
5 用正（余）弦定理解三角形問題可適當應(yīng)用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角與應(yīng)用向量的模求三角形的邊長
6 用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角時，需明確向量的夾角與三角形內(nèi)角是相等還是互補
學(xué)生練習(xí)
1 在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是
A 等腰直角三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等邊三角形
解：由2cosBsinA=sinC得 ×a=c，∴a=b
答案：C
2 下列條件中，△ABC是銳角三角形的是
A sinA+cosA= B ? ＞0
C tanA+tanB+tanC＞0 D b=3，c=3 ，B=30°
解：由sinA+cosA= ,得2sinAcosA=－ ＜0，∴A為鈍角
由 ? ＞0，得 ? ＜0，∴cos〈 ， 〉＜0 ∴B為鈍角
由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）?（1－tanAtanB）+tanC＞0
∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都為銳角
由 = ，得sinC= ，∴C= 或
答案：C
3 △ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，∠B=30°，△ABC的面積為 ，那么b等于
A B 1+ C D 2+
解：∵a、b、c成等差數(shù)列，∴2b=a+c 平方得a2+c2=4b2－2ac
又△ABC的面積為 ，且∠B=30°，
故由S△ABC= acsinB= acsin30°= ac= ，得ac=6 ∴a2+c2=4b2－12
由余弦定理，得cosB= = = = ，
解得b2=4+2 又b為邊長，∴b=1+
答案：B
4 在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞ ”的
A 充分而不必要條件B 必要而不充分條件
C 充分必要條件D 既不充分也不必要條件
解：在△ABC中，A＞30° 0＜sinA＜1，推不出sinA＞ ；
sinA＞ 30°＜A＜150° A＞30°
答案：B
5 如圖，△ABC是簡易遮陽棚，A、B是南北方向上兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角為
A 75°B 60°C 50°D 45°
解：作CE⊥平面ABD于E，則∠CDE是太陽光線與地面所成的角，即∠CDE=40°，延長DE交直線AB于F，連結(jié)CF，則∠CFD是遮陽棚與地面所成的角，設(shè)為α 要使S△ABD最大，只需DF最大
在△CFD中， =
∴DF=
∵CF為定值，∴當α=50°時，DF最大
答案：C
6 在△ABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是
A b=20，A=45°，C=80°B a=30，c=28，B=60°
C a=14，b=16，A=45°D a=12，c=15，A=120°
解：由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得 = ，所以sinB= 因而B有兩值
答案：C
7 已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，則∠A=_______
解：由已知得（b+c）2－a2=3bc，∴b2+c2－a2=bc
∴ = ∴∠A=
答案：
8 在銳角△ABC中，邊長a=1，b=2，則邊長c的取值范圍是_______
解：若c是最大邊，則cosC＞0 ∴ ＞0，∴c＜
又c＞b－a=1，∴1＜c＜
答案：（1， ）
9 在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若三角形的面積S= （a2+b2－c2），則∠C的度數(shù)是_______
解：由S= （a2+b2－c2）得 absinC= ?2abcosC ∴tanC=1 ∴C=
答案：45°
10 在△ABC中，若∠C=60°，則 =_______
解： = = （*）
∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab ∴a2+b2=ab+c2
代入（*）式得 =1
答案：1
11 在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，依次成等比數(shù)列，求y= 的取值范圍
解：∵b2=ac，∴cosB= = = （ + ）－ ≥
∴0＜B≤ ，y= = =sinB+cosB= sin（B+ ）
∵ ＜B+ ≤ ，∴ ＜sin（B+ ）≤1 故1＜y≤
12 已知△ABC中，2 （sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圓半徑為
（1）求∠C；（2）求△ABC面積的最大值
解：（1）由2 （sin2A－sin2C）=（a－b）?sinB
得2 （ － ）=（a－b）
又∵R= ，∴a2－c2=ab－b2 ∴a2+b2－c2=ab ∴cosC= =
又∵0°＜C＜180°，∴C=60°
（2）S= absinC= × ab=2 sinAsinB=2 sinAsin（120°－A）
=2 sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+ sin2A
= sin2A－ sin2Acos2A+ = sin（2A－30°）+
∴當2A=120°，即A=60°時，Smax=
13 在△ABC中，BC=a，頂點A在平行于BC且與BC相距為a的直線上滑動，求 的取值范圍
解：令A(yù)B=kx，AC=x（k＞0，x＞0），則總有sinB= ，sinC= （圖略），且由正弦定理得sinB= sinA，所以a2=kx2?sinBsinC=kx2sinA，由余弦定理，可得cosA= = （k+ －sinA），所以k+ =sinA+2cosA≤ = 所以k2－ k+1≤0，所以 ≤k≤
所以 的取值范圍為［ ， ］
課前后備注
例1 已知A、B、C是△ABC的三個內(nèi)角，y=cotA+
（1）若任意交換兩個角的位置，y的值是否變化?試證明你的結(jié)論 （2）求y的最小值
解：（1）∵y=cotA+
=cot A+
=cot A+
=cotA+cotB+cotC，
∴任意交換兩個角的位置，y的值不變化
（2）∵cos（B－C）≤1，
∴y≥cotA+ = +2tan
= （cot +3tan ）≥ =
故當A=B=C= 時，ymin=
評述：本題的第（1）問是一道結(jié)論開放型題，y的表達式的表面不對稱性顯示了問題的有趣之處 第（2）問實際上是一道常見題：在△ABC中，求證：cotA+cotB+cotC≥
例2 在△ABC中，sinA= ，判斷這個三角形的形狀
分析：判斷一個三角形的形狀，可由三個內(nèi)角的關(guān)系確定，亦可由三邊的關(guān)系確定 采用后一種方法解答本題，就必須“化角為邊”
解：應(yīng)用正弦定理、余弦定理，可得
a= ，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c） 所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c） 所以a2=b2－bc+c2+bc 所以a2=b2+c2 所以△ABC是直角三角形
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaoer/65616.html
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