備課資料
(一)補充例題?
[例1]已知f(z)=2z+z-3i,f(z+i)=6-3i,求f(-z)的值.?
分析:欲求f(-z)的值,說明z一定是一個常數(shù),由已知所給的條件可觀察出,實質(zhì)上是通過復(fù)合函數(shù)的求法建立以z為變量的復(fù)數(shù)方程來求解z.?
解:∵f(z)=2z+ -3i,?
∴f( +i)=2( +i)+ -3i??
=2 +z-2i,?
又f( +i)=6-3i,?
∴2 +z-2i=6-3i,即2 +z=6-i.?
設(shè)z=a+bi(a、b∈R),則將 =a-bi代入上式得3a-bi=6-i.?
由兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得
∴z=2+i.故f(-z)=f(-2-i)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.?
解題回顧:本題是牽涉面較廣的一道題,我們在學(xué)習(xí)過程中,一定要注意知識之間的橫、縱聯(lián)系.?
[例2]已知復(fù)數(shù)z1、z2滿足|z1|=|z2|=1,z1+z2= ,求z1、z2值.?
分析一:由已知|z1|=1可設(shè)出z1=a+bi(a、b∈R),代入z1+z2求出z2.再根據(jù)|z2|=1又得出一實數(shù)方程,聯(lián)立即可求解.?
解法一:設(shè)z1=a+bi(a、b∈R),則a2+b2=1.①?
∵z1+z2= ,?
∴z2= -a+( -b)i.?
∵|z2|=1,∴ ,?
即a+ b=1.②?
將a=1- b代入①,解得b=0或 .?
將b=0代入②得a=1;?
將 代入②得 .?
∴ 或 .?
分析二:從幾何角度入手分析這個題,由于|z1|=|z2|=|z1+z2|=1,所以z1、z2、z1+z2所對應(yīng)的點都在以原點為圓心,1為半徑的圓上.再結(jié)合z1+z2實部、虛部的特殊性不難從圖中直接觀察出z1或z2.?
解法二:由|z1|=|z2|=|z1+z2|=1,故z1、z2、z1+z2均在
圖4-5
單位圓上,如圖,由z1+z2= + ,不難找出相應(yīng)點為Z.又因z1+z2實部是 ,故圖中θ=6°.又|z1|=|z2|=1,z1+z2對應(yīng) ,又是和向量,所以可看出z1=1或z2=1,?
即 或
解題回顧:(1)對本題的解法一,若是設(shè)z1=a+bi,z2=c+di,則a2+b2=1,c2+d2=1,再根據(jù)z1+z2= 又得兩個方程,這樣,相當(dāng)于解一個四元二次方程,變量設(shè)的太多,不利于解題,所以我們在解題時,注意巧設(shè),盡量減少變量.?
(2)解法二由復(fù)數(shù)幾何意義進行數(shù)形結(jié)合求解,是一種很重要的思維方法.?
[例3](1)復(fù)數(shù)z滿足|z+5-12i|=3,求z的軌跡;?
(2)復(fù)數(shù)z滿足2|z-3-3i|=|z|,求z的軌跡;?
(3)已知|z|=2,試求z+3-4i對應(yīng)點的軌跡.?
(1)解:由|z-z0|意義可知|z+5-12i|=3表示動點Z到定點Z0距離為定值3,故z軌跡為以(-5+12i)對應(yīng)點為圓心,3為半徑的圓.?
(2)解:本題由方程直接看不出z滿足的條件,故可設(shè)
z=x+yi(x、y∈R),代入2|z-3-3i|=|z|得?到方程為
(x-4)2+(y-4)2=8.故z軌跡為?以(4,4)為圓心,22為半徑的圓.?
(3)解法一:設(shè)ω=z+3-4i,ω=x+yi(x,y∈R),z=a+bi(a、b∈R).?
∴x+yi=a+3+(b-4)i.?
∴ 即
∵a2+b2=4,?
∴(x-3)2+(y+4)2=4.?
故z軌跡為以(3,-4)為圓心,2為半徑的圓.?
解法二:設(shè)ω=z+3-4i?,?
則z=ω-3+4i.?
∵|z|=2,∴|ω-3+4i|=2.?
故z軌跡為以3-4i對應(yīng)點為圓心,2為半徑的圓.?
解題回顧:(1)本題屬于求軌跡問題.方法與我們解析幾何中求軌跡方法一樣,有直接法、代入法和消參法.?
(2)對于(3)題的兩種解法均為代入法,從上述解法可看出,有時就用復(fù)數(shù)直接代入還是很方便的.?
[例4]已知||z-(3-4i)|-1|=1且z≠3-4i.?
(1)求|z|的最大值和最小值;?
(2)求|z-1|2+|z+1|2的最大值和最小值.?
(1)分析:由|z|的幾何意義可知,只需弄清z的軌跡即可.?
解法一:∵||z-(3-4i)|-1|=1且z≠3-4i,??
∴|z-(3-4)i|=2,z軌跡如圖46,以z0=3-4i為圓心,2為半徑的圓.?
圖4-6
故|z|max?=2+9+16=7,|z|min=5-2=3.?
分析:由模的性質(zhì)||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|知,只要存在λ使得z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ>0有最大值,λ<0有最小值)即可.?
解法二:|z|=|[z-(3-4i)]+(3-4i)|≤|z-(3-4i)|+|3-4i|≤2+5=7,當(dāng)且僅當(dāng)z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ>0)時,等號成立.?
∵|z-(3-4i)|=2,∴|λ(3-4i)|=2.?
∴ ,?
即當(dāng) 時,|z|max=7.?
又∵|z|=|[z-(3-4i)]+(3-4i)|≥||z-(3-4i)|-|3-4i||=|2-5|=3,當(dāng)且僅當(dāng)z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ<0)時,等號成立,即 .?
∴當(dāng) 時,|z|min=3.?
解題回顧:本題可拓寬到求|z-z1|的最值,相當(dāng)于在圓上求一點到z1對應(yīng)點距離的最值,此時,不論z1點與圓位置如何,均有?
|z-z1|max=|z1-z0|+r,?
|z-z1|min=||z1-z0|-r|.?
(2)分析:此問題實質(zhì)上是在圓上求一點P,使P到兩點(-1,0)、(1,0)距離和最大.此問題,若用圓的參數(shù)方程解時較繁,此時可利用向量加、減法幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為(1)來求解.?
圖4-7
解:如圖,設(shè)A(1,0),B(-1,0),在圖上任取一點P,以PA、PB為鄰邊作平行四邊形,則由模性質(zhì)得?
|PA|2+|PB|2
= [|AB|2+(2|OP|)2]?
= [|AB|2+4|OP|2],?
而|AB|2=4,欲求|PA|2+|PB|2的最值,只需求|OP|2最值即可.?
由(1)知|OP|max=7,|OP|min=3,?
故|z-1|2+|z+1|2最大值為100,最小值為20.?
解題回顧:本題可拓寬到求|z-z1|2+?|z-z2|2的最值.設(shè)z1、z2對應(yīng)點仍為A、B,線段AB中點為C,則|z-z1|2+|z-z2|2= [|AB|+4|PC|2],問題轉(zhuǎn)化為在圖上求點P到點C的最大、最小值.?
(二)名篇欣賞?
對挖掘數(shù)學(xué)課本知識的實踐與思考?
方均斌(浙江溫州師范學(xué)院 325027)?
一個有經(jīng)驗的教師,應(yīng)該對挖掘課本知識非常重視.筆者經(jīng)常在各種中學(xué)數(shù)學(xué)雜志上看到諸如《談?wù)n本某某知識的挖掘》《要重視課本知識的挖掘》《要挖掘數(shù)學(xué)知識的思想方法》等等之類的文章,筆者非常同意這些作者的觀點.但在如何把握挖掘數(shù)學(xué)知識的度,挖掘的過程中應(yīng)注意的事項以及挖掘課本知識的策略方面,談得不多.為此,筆者想借貴刊一角談?wù)勛约旱囊稽c想法,供大家參考.?
1.“典型、適時、有度”地挖掘 充分調(diào)動學(xué)生的積極性?
1.1 “挖”得典型減輕負(fù)擔(dān)?
要“挖”得典型,“挖”是為了教師今后“不挖”,重在教會學(xué)生“如何挖”.數(shù)學(xué)發(fā)展到現(xiàn)在,已經(jīng)形成一門體系龐大的科學(xué),就算經(jīng)過長期實踐和論證而納入中學(xué)生必須學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識,如果教師處理不當(dāng) ,也會讓學(xué)生負(fù)擔(dān)過重而苦不堪言.例如對每一個定理、公式都進行推廣和變形的挖掘,由于這種挖掘都是教師一廂情愿下進行的,對學(xué)生來說是被動的,這些經(jīng)教師挖掘出來的內(nèi)容,將成為學(xué)生的一種新的負(fù)擔(dān).挖掘課本知識的根本目的在于讓學(xué)生學(xué)會探索性學(xué)習(xí),培養(yǎng)他們的探索能力和創(chuàng)新精神,教師應(yīng)教會學(xué)生掌握對問題采用諸如歸納、類比、演繹、映射與反演、普遍化和特殊化、開放性處理以及條件的變更等挖掘知識的方法,而并非是讓學(xué)生掌握挖掘出來的知識,否則將增加學(xué)生的負(fù)擔(dān).因此,挖掘課本知識要選擇典型的內(nèi)容.那么到底哪些內(nèi)容需要挖掘,哪些知識不需要挖掘呢?一般說來,這樣的幾個內(nèi)容需要挖掘:(1)方法典型,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力效果較好的內(nèi)容;(2)思想蘊涵豐富的內(nèi)容;(3)實際應(yīng)用較廣的內(nèi)容;(4)對后續(xù)知識學(xué)習(xí)作用較大的內(nèi)容.當(dāng)然,教師應(yīng)著重考慮課程標(biāo)準(zhǔn)(或大綱)范圍內(nèi)的內(nèi)容.?
[例1]判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性:(高中數(shù)學(xué)第一冊(上)試驗修訂本?必修P61例4)
(1)f(x)=x3+2x;(2)f(x)=2x4+3x2.?
該題教師要不要對奇偶函數(shù)經(jīng)過四則運算后的函數(shù)奇偶性判斷的一般規(guī)律進行挖掘?筆者認(rèn)為,需要挖掘.因為挖掘過程可以培養(yǎng)學(xué)生運用一般化的思想方法,而且學(xué)生也容易得出結(jié)論,對提高判斷函數(shù)的奇偶性的速度大有好處.但是要讓學(xué)生記住“非空公共定義域內(nèi)非零奇函數(shù)與非零偶函數(shù)的和為非奇非偶函數(shù)” “非空公共定義域內(nèi)奇函數(shù)和為奇函數(shù)”等等,恐怕就可能增加學(xué)生的不必要負(fù)擔(dān)了.其實學(xué)生如果記不住,只要簡單推導(dǎo)一下就可以了.至于是否在講解該例時就馬上進行挖掘,恐怕還為時過早.筆者認(rèn)為,應(yīng)該在學(xué)生完成習(xí)題2.3第7題后的作業(yè)評講或在小結(jié)課時進行總結(jié)和挖掘較好.如何把握好挖掘課本知識的時機是本文要討論的另一個話題.?
[例2]求下列兩條直線的交點:(高中數(shù)學(xué)第二冊(上)修訂本?必修P50例8)?
l1:3x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0.?
有的教師感覺每一次都要求兩條直線的交點較麻煩,干脆將一般化的方程組:?
(A1B2-A2B1≠0)的通解 告訴學(xué)生,讓學(xué)生記住結(jié)論.雖然這樣做可以避免每一次都要解二元一次方程組的麻煩,但是增加了學(xué)生記憶公式的負(fù)擔(dān)(因為該公式容易記混,盡管有些教師采用行列式幫助學(xué)生記憶),而且會削弱學(xué)生解一次方程組的變形能力.當(dāng)然,學(xué)生如果自己產(chǎn)生挖掘的需要,那就另當(dāng)別論了.教師應(yīng)積極鼓勵學(xué)生去挖掘,不要以高考不作要求為由,阻止學(xué)生對課本知識的挖掘.因為學(xué)生探索新知識的興趣和欲望是至關(guān)重要的.只要教師正確引導(dǎo),相信一定能培養(yǎng)出具有強烈好奇心和探索能力的創(chuàng)新人才.?
1.2 把握時機 恰到好處?
判斷哪些知識需要挖掘,需要較多的經(jīng)驗積累,而如何在恰當(dāng)?shù)臅r機進行挖掘,更需要教師有一個實踐的過程.一般說來,剛傳授的新知識不宜馬上進行挖掘,需要學(xué)生有一個接觸和熟悉新知識的過程.這些新知識對學(xué)生來說是一片未開發(fā)的處女地,讓學(xué)生在學(xué)習(xí)和熟悉新知識的過程中去感悟,給學(xué)生一點自由的開發(fā)時間和空間,教師最多只能做一些暗示、表揚等一些外圍工作.此外,教師應(yīng)充分感悟教材編者的意圖,課本中的例題、練習(xí)、習(xí)題等陸續(xù)重復(fù)出現(xiàn)的類似問題和結(jié)論,很可能是編者有意識地安排并暗示學(xué)生進行挖掘的內(nèi)容,以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新和發(fā)現(xiàn)能力.教師切勿在學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)或在學(xué)習(xí)中途就一挖到底,來個趕盡殺絕!?
[例3]如何處理以下來自教材(高中數(shù)學(xué)第二冊(上)試驗修訂本?必修)的類題??
1.求證: + <2 .(P12例6)?
2.求證:(1) + <4;?
(2) > -2.(P17習(xí)題6.3第4題)?
3.已知a≥3,求證: - > - .(P17習(xí)題6.3第5題)?
4.已知a>b>0,求證: - < .(P30復(fù)習(xí)參考題六A組第6題)?
5.求證: + >1+ .(P30復(fù)習(xí)參考題六A組第7題)?
本文來自:逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaoer/62859.html
相關(guān)閱讀:導(dǎo)數(shù)的四則運算法則