屆高三第一次模擬考試
理科數(shù)學(xué)試卷
滿分：150分 時量：120分鐘 命題：高三數(shù)學(xué)備課組
一、（5分 8=40分）
1、若 為虛數(shù)單位，則 等于 （ ）
A、 B、 C、1 D、－1。

2、已知集合 ， ，且 都是全集 的子集，則右圖中陰影部分表示的集合是 （ ）
A、 B、 C、 D、
３、按照如圖的程序框圖執(zhí)行，若輸出結(jié)果為15，則處條件為 （ ）
A． B． C． D．
4、給出下列命題：
○1向量 ， 滿足 ，則 ， 的夾角為 ；
○2 是〈 ， 〉為銳角的充要條件；
○3將函數(shù) 的圖象按向量 平移，
得到函數(shù) 的圖象；
○4若 ，則 為等腰三角形。
以上命題正確的個數(shù)是 （　�。�
A、1個 B、2個 C、3個 D、4個
５、已知某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均是邊長為１的正方形，則這個幾何體的體積不可能是
A、 B、 C、1 D、 （　�。�
6、有下列四種說法：
①命題：“ ,使得 ”的否定是“ ,都有 ”；
○2已知隨機變量 服從正態(tài)分布 ， ，則 ；
○3函數(shù) 圖像關(guān)于直線 對稱，且在區(qū)間 上
是增函數(shù)；
○4設(shè)實數(shù) ，則滿足： 的概率為 。其中錯誤的個數(shù)是 （　�。�
A、0 B、1 C、2 D、3。
7、已知函數(shù) ，若方程 有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為 （ ）
A、 B、 Ｃ、 D、 。
8、已知 為Ｒ上的可導(dǎo)函數(shù)，且 ，均有 ，則有 （　�。�
A、 ，
B、 ，
C、 ，
D、 ， 。

二、題（5分×7=35分）
（一）選做題（任選兩題，若多選，按前兩題答案計分）
9、如圖，割線PBC經(jīng)過圓心O，PB＝OB＝1，OB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°到OD，連結(jié)PD交圓O于點E，則PE＝

10、若直線的極坐標(biāo)方程為 ，曲線 ： 上的點到直線的距離為 ，則 的最大值為
11、若不等式 ，對滿足 的一切實數(shù) 恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是
（二）必做題
12、設(shè) ，則二項式 的展開式中， 項的系數(shù)為
13、設(shè)實數(shù)x,y滿足條件：○1 ；○2 ；○3 ，目標(biāo)函數(shù) 的最大值為12，則 的最小值是
14、設(shè)數(shù)列 ， 都是正項等比數(shù)列， ， 分別為數(shù)列 與 的前 項和，且 ，則 ＝
15、已知點Ｆ為拋物線 的焦點，O為原點，點Ｐ是拋物線準(zhǔn)線上一動點，Ａ在拋物線上，且 ＝４，則 ＋ 的最小值是
16、設(shè)集合 ，對于 ，記 ，且 ，由所有 組成的集合記為： ，
（1） 的值為________；
（2）設(shè)集合 ，對任意 ， ，
則 的概率為________．
理科數(shù)學(xué)答卷
一、（5分 8=40分）
題 號12345678
答 案
二、題（5分×7=35分）
（一）選做題（任選兩題，若多選，按前兩題答案計分）
9、 10、 11、
（二）必做題
12、 13、 14、 15、 16、（1） （2）

三、解答題（75分）
17、在 中,角A、B、C的對邊分別為 ，已知向量 ， ，且 。
（1）求角 的大�。� （2）若 ，求 面積的最大值。（12分）

18、在“雙節(jié)”期間，高速公路車輛較多。某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中，按進服務(wù)區(qū)的先后每間隔５０輛就抽取一輛的抽樣方法，抽取了４０名駕駛員進行調(diào)查，
將他們在某段高速公路上的車速（k/t）分成６段： ， ， ， ， ， 后得到如圖４的頻率分布直方圖。問：
（１）該公司在調(diào)查取樣中，用到的是什么抽樣方法？
（２）求這４０輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值；
（３）若從車速在 中的車輛中任�。草v，求抽出的２輛中
速度在 中的車輛數(shù) 的分布列及其數(shù)學(xué)期望。（１２分）

19、（本小題滿分12分）
如圖，在三棱錐 中， ， ， °，
平面 平面 ， 、 分別為 、 中點．
（1）求證： ∥平面 ；（2）求證： ；（3）求二面角 的大�。�

20、（13分）如圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬20，要求通行車輛限高5，隧道全長2.5k，隧道的兩側(cè)是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個橢圓。
（1）若最大拱高h(yuǎn)為6 ，
則隧道設(shè)計的拱寬 是多少？
（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程 量最小，則應(yīng)如何設(shè)計拱高h(yuǎn)和拱寬 ？
（已知：橢圓 + =1的面積公式為S= ，柱體體積為底面積乘以高。）
（3）為了使隧道內(nèi)部美觀，要求在拱線上找兩個點、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5，現(xiàn)以、N以及橢圓的左、右頂點為支點，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個梯形，若l=30，梯形兩腰所在側(cè)面單位面積的鋼板造價是梯形頂部單位面積鋼板造價的 倍，試確定、N的位置以及 的值，使總造價最少。

21、已知橢圓C的中心在原點，離心率等于 ，它的一個短軸端點點恰好是拋物線 的焦點。（13分）
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是橢圓上的兩點，A,B是橢圓上位于直線ＰＱ兩側(cè)的動點，
①若直線ＡＢ的斜率為 ，求四邊形ＡＰＢＱ面積的最大值；
②當(dāng)Ａ、B運動時，滿足 ＝ ，
試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由。

22、已知函數(shù) = 。
（1）當(dāng) 時，求函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值；
（3）在（1）的條件下，設(shè) = + ，
求證： （ ），參考數(shù)據(jù)： 。（13分）

箴言中學(xué)屆高三第一次模擬考試
理科數(shù)學(xué)試題參考答案
一、1～4 ACAB 5～8 DACD
二、9、 ；10、 ；11、 或 ；12、60；
13、 ；14、 ；15、 ；16、（1） ；（2） ．
三、17、（1）由 ，得 ，…………………1分
由正弦定理可得， ……………………6分
（2）由余弦定理可得， ，16= ，
由 知ΔABC面積最大值為 12分

18、（1）系統(tǒng)抽樣 2分
（2）眾數(shù)與中位數(shù)的估計值均為 （說明：一個答案得2分） 6分
（3）由圖可知，車速在 的車有2輛，在 的車有4輛， 的取值是0,1,2
P（x=0）= = ……, 的分布列為
x012

12分

19、解：（Ⅰ） D、E分別為AB、AC中點，
DE//BC ．
DE平面PBC，BC平面PBC，
DE//平面PBC ． 3分
（Ⅱ）連結(jié)PD，
PA=PB，
PD AB． 4分
，BC AB，
DE AB． 5分
又 ，
AB 平面PDE 6分
PE平面PDE，
AB PE ． 7分
（Ⅲ） 平面PAB 平面ABC，平面PAB 平面ABC=AB，PD AB，PD 平面ABC．
8分
如圖，以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系
B(1，0，0)，P(0，0， )，E(0， ，0) ，
=(1，0， )， =(0， ， ）．
設(shè)平面PBE的法向量 ，
令
得 ． 9分
DE 平面PAB，
平面PAB的法向量為 ． 10分
設(shè)二面角的 大小為 ，
由圖知， ，所以 即二面角的 大小為 ． 12分

20、解：（1）如下圖建立直角坐標(biāo)系，則點P（10，2），橢圓方程為 + =1，將b=h－3=3與點P坐標(biāo)代入橢圓方程，得a= ，l=2a= ，隧道的拱寬約為 。 5分

（2）要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，由柱體的體積公式可知：只需半橢
圓的面積最小即可。
由橢圓方程 + =1，得 + =1。因為 + ≥ ，即ab≥40，…8分
所以半橢圓面積S= ≥ 。當(dāng)S取最小值時，有 = = ，得a=10 ，b= ，此時l=2a=20 ， h=b+3= +3，故當(dāng)拱高為( +3)、拱寬為20 時，隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小 13分
（3）設(shè) ，設(shè) = + •
=2 （10 ），則
令 得 或17（舍）∴ 時， 取最小值，此時 ,代入橢圓方程得 ∴ … 13分

21、（1）設(shè)C方程為 （a＞b＞0），則 。由 ， ，得 故橢圓C的方程為 �！�…………………4分
（2）①設(shè) （ ， ），B（ ， ），直線AB的方程為 ，代入 中整理得 ，△＞0 －4＜ ＜4， + = ， =
四邊形APBQ的面積 = ，當(dāng) 時
②當(dāng) ＝ 時，PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為 ，則PB的斜率為－ ，PA的直線方程為 ，代入 中整理得
+ =0，2+ = ，
同理2+ = ， + = ， － = ，
從而 = ，即直線AB的斜率為定值……………13分
22、（1）當(dāng) 時， = ， ，得 或 ，故 的單調(diào)增區(qū)間是 ， �！�………………………………3分
（2） = ， = = ，
令 =0得 或 。
當(dāng) 時， ， 遞增， ； 6分
當(dāng) 時， ， ＜0， 遞減； ， ， 遞增，
= = ………………………………………………………7分
當(dāng) 時， ， 0， 遞減， = = …8分
（3）令 = — ， 。 ， 遞減，
， ，∴ ，
= = … … = （ ）……13分

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