2014年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查（一）數(shù)學(xué)Ⅰ試題 命題單位：常州市教育科學(xué)研究院 2014．3參考公式：柱體的體積公式：V柱體=，其中S是柱體的底面積，h是高． 直棱柱的側(cè)面積公式：S直棱柱側(cè)=ch，其中c是直棱柱的底面周長，h是高．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1．已知集合，，則2．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則3．已知雙曲線的離心率為，．，2；，3；，4；，5；，4；，2上的頻率是 ▲ ．5．如所示圖則后輸出的等于．，若，則的值為 ▲ ．7．( ABCD 的底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥底面ABCD且PA = 4，則PC與底面ABCD所成角的正切值為 ▲ ．8．從甲乙丙丁4人中人，則甲乙的概率為．，，則的值為 ▲ ．10．的前項和為，若，，，則正整數(shù)= ▲ ．11．已知正數(shù)滿足，則的最小值為12．，設(shè)∥，若，則的值為 ▲ ． 13．已知函數(shù)恰兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為14．中，已知點內(nèi)過點且交圓于兩點，若的面積的最大值為，則實數(shù)的取值范圍為6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分14分）設(shè)． （1）求的最小正周期和值域在中角的對邊分別為且，，求．16．（本小題滿分14分）如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形， 且，是的中點．1）求證平面平面求證∥平面．17．（本小題滿分14分）一個圓柱形圓木底面半徑為，長為圓木沿軸剖成兩個部分一部分加工成四棱柱木底面為等腰梯形在半圓上），設(shè)，木3），表面積為S（單位：m2）．θ的函數(shù)表達(dá)式；（2）求的值，使體積最大當(dāng)木的體積最大時，其表面積是否也最大18．（本小題滿分16分）如圖，中，已知，是橢圓上不同的三點，，在第三象限，線段的中點在直線上．（1）求橢圓方程；求；在橢圓上異于，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點，證明為定值并求出該定值．19．（本小題滿分16分）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列，且對一切都成立．λ = 1，求數(shù)列的通項公式； （2）求λ的值，使數(shù)列是等差數(shù)列．20．（本小題滿分16分）已知函數(shù)，其中均為實數(shù)．的極值；（2）設(shè)，若對任意的，恒成立，求，若對任意給定的，在上總存在，使 成立，求的取值范圍．2014年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查（一） 數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題） 命題單位：常州市教育科學(xué)研究院 2014．321．【選做題】在A、B、C、D 10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．選修4―1：幾何證明選講如圖為四邊形的外接，且，是延長線上一點，直線與圓相切．求證：．4―2：矩陣與變換 已知，，計算4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中，，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．．D．選修4―5：不等式選講 已知，若函數(shù)的圖象恒在軸上方，求的取值范圍．22題、第23題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．22．（本小題滿分10分） 甲乙兩個同學(xué)進(jìn)行投籃游戲，已知他們一次投籃中的概率均為甲同學(xué)決定投次，乙同學(xué)決定投中1次就停止，否則就繼續(xù)投下去，但投籃次數(shù)不超過5次．求至少有次投中的概率求投籃次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．23．（本小題滿分10分）設(shè)，，其中當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)為奇數(shù)時，．證明：當(dāng)時，記，求的值．2014年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查（一）數(shù)學(xué)Ⅰ試題參考答案一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．1． 2． 3. 4 4. 5．63 6．2 7． 8. 9． 10．13 11．9 12． 13. 14. 二、解答題：本大題共6小題，共計90分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15. 解==． …………………3分所以的最小正周期為分值域為分由得為銳角，，∴． …………………9分，，∴． …………………10分． …………………12分． …………………14分16．（1）證明 為菱形，且，為正三角形分是的中點，． ∵，是的中點 ． …………………4分，平面分平面，平面平面分證明連結(jié)，連結(jié)∵三棱柱側(cè)面是平行四邊形，為中點分中，又∵是的中點，∥． …………………12分平面，平面， ∥平面分17解的面積=，． …………………2分體積分．令，得，或，∴． …………………5分時，，為增函數(shù)時，，為減函數(shù)分時體積最大8分木的面積，． =，．…………………10分設(shè)．∵，當(dāng)時，最大12分又由知時，取最大值，所以時木的表面積最大13分綜上，當(dāng)木的體積最大時，其表面積也最大14分18解由， 解得分所以橢圓的方程為3分，則中點為直線的方程為，．① 又∵點在橢圓上，．② 由①②，解得（舍），，從而． …………………5分所以點的坐標(biāo)為6分，，．∵三點共線，∴，整理，得．…………………8分三點共線，∴，整理，得．…………………10分在橢圓上，，． 從而． …………………14分所以15分為定值，定值為． …………………16分19．解：（1）若λ = 1，則，．又∵， ∴， ………………… 2分∴， 化簡，得．① ………………… 4分∴當(dāng)時，．②② ( ①，得，∴（）． ………………… 6分 ∵當(dāng)n = 1時， ，∴n = 1時上式也成立，∴數(shù)列{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列， an = 2n(1（）． …………………8分（2）令n = 1，得．令n = 2，得． ………………… 10分要使數(shù)列是等差數(shù)列，必須有，解得λ = 0． ………………… 11分當(dāng)λ = 0時，，且．當(dāng)n≥2時，，整理，得，， ………………… 13分從而，化簡，得，所以． ……………… 15分綜上所述，（），所以λ = 0時，數(shù)列是等差數(shù)列． ………………… 16分20．解：（1），，得x = 1． ………………… 1分列表如下：x（(∞，1）1（1，(∞）(0(g(x)?極大值?∵g(1) = 1，∴y =的極大值為1，無極小值． …………………3分（2）當(dāng)時，，．∵在恒成立在上為增函數(shù)設(shè)，> 0在恒成立在上為增函數(shù)設(shè)則等價于，． 設(shè)，在為減函數(shù)在上恒成立恒成立設(shè)=，x([3，4]，∴，∴
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