北京市朝陽(yáng)區(qū)2015-2016學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)試卷（理工類） 2015.1（考試時(shí)間120分鐘 滿分150分）本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．1．函數(shù)的定義域?yàn)?A． B． C． D． 2．點(diǎn)在以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線上，則 A． B． C．D．3．命題：；命題：，，則下列命題中為真命題的是A． B． C． D．4．△中，，，，則△的面積等于A． B． C．或 D．或5．如圖所示程序框圖，輸出是．，則所有可能的取值為A． B． C． D． ．已知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，，點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)，，設(shè)與交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是A． B． C． D．．，的夾角為，且，則的最小值為A． B． C． D．8．滿足下面說(shuō)法正確的是①當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列；②當(dāng)時(shí)，數(shù)列不一定有最大項(xiàng)； ③當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列；④當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，數(shù)列必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng).A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ②③第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上．9．某校高學(xué)假期抽查100名同學(xué)時(shí)間繪頻率分布直方圖小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為_(kāi)____．10．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則 ． 11．直線與圓相交于,兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值是_____．12．一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是 ；表面積是 ．13．實(shí)數(shù)滿足若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是 ．14．所有真約數(shù)（本身約數(shù)）的和等于它本身的叫做完全數(shù)；；．已經(jīng)證明：若是質(zhì)數(shù)，則是完全數(shù)，.請(qǐng)寫出一個(gè)四位完全數(shù) ；又，所以的所有正約數(shù)之和可表示為；，所以的所有正約數(shù)之和可表示為；按此規(guī)律，的所有正約數(shù)之和可表示為 ．三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.15．已知．（）求的；（，求的值．第1次第2次第3次第4次第5次5855769288乙6582878595（Ⅰ）請(qǐng)畫出甲、乙兩人成績(jī)的莖葉圖. 你認(rèn)為選派誰(shuí)參賽更好？說(shuō)明理由（不用計(jì)算）；（Ⅱ）若從甲、乙兩人5次的成績(jī)中各隨機(jī)抽取一個(gè)成績(jī)進(jìn)行分析，設(shè)抽到的兩個(gè)成績(jī)中，90分以上的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望．17．（本題滿分14分）如圖，在三棱錐中，平面，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)為△內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，求證：∥面；（Ⅲ）若，，求二面角的余弦值．18．（本題滿分13分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；（Ⅱ）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍．19.已知橢圓兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)．若△是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，試求直線的方程．20．（本題滿分13分）已知是正數(shù)， ，，．（Ⅰ）若成等差數(shù)列，比較與的大小；（Ⅱ）若，則三個(gè)數(shù)中，哪個(gè)數(shù)最大，請(qǐng)說(shuō)明理由；（Ⅲ）若，，（），且，，的整數(shù)部分分別是求所有的值．北京市朝陽(yáng)區(qū)2015-2016學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)答案（理工類） 2015.1一、選擇題題號(hào)12345678答案CCBDBAAC二、填空題題號(hào)91011121314答案三、解答題15．（） ， 又，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的.…… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得， 所以．（舍）或．．16．解：（Ⅰ）莖葉圖如右圖所示，由圖可知，乙的平均成績(jī)大于甲的平均成績(jī)，且乙的方差小于甲的方差，因此應(yīng)選派乙參賽更好． ……………… 6分（Ⅱ）隨機(jī)變量的所有可能取值為．，，，隨機(jī)變量的分布列是：． ……………… 13分17．證明：（Ⅰ）因?yàn)槠矫�，平面�?所以． 又因?yàn)椋�且，所以平面．又因�(yàn)槠矫�，所以�?……………… 4分（Ⅱ）解法1:因?yàn)槠矫妫�所以，．又因�(yàn)�，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，，，則，，，，．又因?yàn)�，所以．于是，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有 即 不妨設(shè)，則有，所以．因?yàn)�，所以．又因�(yàn)槠矫妫�所以∥平面�?……………… 9分解法2：取中點(diǎn)，連，則.由已知可得,則點(diǎn)在上.連結(jié)并延長(zhǎng)交于，連.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以∥,即為的中點(diǎn).又因?yàn)闉榫�段的中點(diǎn)，所以∥.又平面,平面,所以∥平面．……………… 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面的一個(gè)法向量． 又因?yàn)槊�，所以面的一個(gè)法向量是． 又，由圖可知，二面角為銳角， 所以二面角的余弦值為． ……………… 14分18． 解：（Ⅰ）定義域．當(dāng)時(shí)，，．令，得．當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).所以函數(shù)的極小值是． ……………… 5分（Ⅱ）由已知得．因?yàn)楹瘮?shù)在是增函數(shù)，所以，對(duì)恒成立．由得，即對(duì)恒成立．設(shè)，要使“對(duì)恒成立”，只要．因?yàn)�，令得．�?dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).所以在上的最小值是．故函數(shù)在是增函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是 …… 13分19．解：（Ⅰ）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．依題意，所以．又，所以．于是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． ……………… 5分（Ⅱ）依題意，顯然直線斜率存在.設(shè)直線的方程為，則由得．因?yàn)?得． ……………… ①設(shè)，線段中點(diǎn)為，則于是．因?yàn)�，線段中點(diǎn)為，所以．（1）當(dāng)，即且時(shí)，，整理得． ………………②因?yàn)椋�，所以，整理得，解得或．�?dāng)時(shí)，由②不合題意舍去.由①②知，時(shí)，．（2）當(dāng)時(shí)，（?）若時(shí)，直線的方程為，代入橢圓方程中得.設(shè)，,依題意，若△為等腰直角三角形，則.即，解得或.不合題意舍去，即此時(shí)直線的方程為.（?）若且時(shí)，即直線過(guò)原點(diǎn).依橢圓的對(duì)稱性有,則依題意不能有,即此時(shí)不滿足△為等腰直角三角形.綜上，直線的方程為或或. ………………14分20．解：（Ⅰ）由已知得=．成等差數(shù)列，所以，則，因?yàn)椋�所以，即，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立． 4分（Ⅱ）解法1：令，，，依題意，且，所以．，即；且，即．且．三個(gè)數(shù)中，最大．，即．，所以，，．，，，所以，．在上為增函數(shù)，所以且．三個(gè)數(shù)中，最大．，，的整數(shù)部分分別是，則，所以．，則的整數(shù)部分是或．時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．時(shí)，，，的整數(shù)部分分別是，所以，，．，解得．，，所以此時(shí)．時(shí)，同理可得，，．，解得．，此時(shí)．時(shí)，同理可得，，，同時(shí)滿足條件的不存在．．11BOD5852755開(kāi)始輸出ia
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