求異面直線所成的角，一般有兩種，一種是幾何法，這是人教版（A）版本倡導(dǎo)的傳統(tǒng)的，其基本解題思路是“異面化共面，認定再計算”，即利用平移法和補形法將兩條異面直線轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，結(jié)合余弦定理來求。還有一種是向量法，即建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的代數(shù)法和幾何法求解，這是人教版（B）倡導(dǎo)的方法，下面舉例說明兩種方法的應(yīng)用。

例：長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成的角。

解法1：平移法

設(shè)A1C1與B1D1交于O，取B1B中點E，連接OE，因為OE//D1B 高三，所以∠C1OE或其補角就是異面直線A1C1與BD1所成的角△C1OE中

所以異面直線

圖1

解法2：補形法

在長方體ABCD?DA1B1C1D1的面BC1上補上一個同樣大小的長方體，將AC平移到BE，則∠D1BE或其補角就是異面直線A1C1與BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，

所以異面直線A1C1與BD1所成的角為

圖2

解法3：利用公式 、 2，則 ， ，

所以

圖3

解法4：向量幾何法： 為空間一組基向量

所以異面直線A1C1與BD1所成的角為

圖4

解法5：向量代數(shù)法：

<

以D為坐標(biāo)原點，DC、DA、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，1，0）、C（2，0，0），B（2，1，0）、D1（0，0，2），

所以異面直線A1C1與BD1所成的角為

圖5

解法6：利用公式

定理：四面體A?DBCD兩相對棱AC、BD間的夾角

圖6

解：連結(jié)BC1、A1B在四面體 ，易求得

圖7

由定理得：

所以

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