19.3.1正方形的判定
一．選擇題（共8小題）
1．已知四邊形ABCD是平行四邊形，再?gòu)蘑貯B=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個(gè)條件中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯(cuò)誤的是（ �。�
A．選①② B．選②③ C．選①③ D．選②④
2．下列說法中，正確的是（ ）
A．相等的角一定是對(duì)頂角
B．四個(gè)角都相等的四邊形一定是正方形
C．平行四邊形的對(duì)角線互相平分
D．矩形的對(duì)角線一定垂直
3．下列命題中是假命題的是（ �。�
A．一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
B．一組對(duì)邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形
C．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
D．一組鄰邊相等的矩形是正方形
4．已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的有（ ）
①當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形；②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形；③當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，它是矩形；④當(dāng)AC=BD時(shí)，它是正方形．
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
5．四邊形ABCD的對(duì)角線AC=BD，AC⊥BD，分別過A、B、C、D作對(duì)角線的平行線，所成的四邊形EFMN是（ �。�
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．任意四邊形
6．如果要證明平行四邊形ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形ABCD是平行四邊形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步證明（ �。�
A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BD C．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分
7．下列命題中，真命題是（ �。�
A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形
B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形
C．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形
8．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且BE=BF，添加一個(gè)條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是（ �。�
A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF
二．填空題（共6小題）
9．能使平行四邊形ABCD為正方形的條件是 _________�。ㄌ钌弦粋�(gè)符合題目要求的條 件即可）．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，當(dāng)△ABC滿足條件 _________ 時(shí)，四邊形DECF是正方形．
（要求：①不再添加任何輔助線，②只需填一個(gè)符合要求的條件）
11．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)條件： _________ ，使得該菱形為正方形．
12．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個(gè)條件是 _________�。�
13．已知四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一個(gè)條件即可判定該四邊形是正方形，那么這個(gè)條件可以是 _________�。�
14．要使一個(gè)菱形成為正方形，需添加一個(gè)條件為 _________�。�
三．解答題（共8小題）
15．已知：如圖，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn) E，DF⊥BC于點(diǎn)F．求證：四邊形DEBF是正方形．
16．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．
（1）求證：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．
17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．
（1）求證：CE=AD；
（2）當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；
（3）若D為AB中點(diǎn)，則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？請(qǐng)說明你的理由．
18．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，將△ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到△CFE．
（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形．
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF是正方形？請(qǐng)說明理由．
19．如圖，分別以線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于M、N兩點(diǎn)，連接MN，交AB于點(diǎn)D、C是直線MN上任意一點(diǎn)，連接CA、CB，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F．
（1）求證：△AED≌△BFD；
（2）若AB=2，當(dāng)CD的值為 _________ 時(shí)，四邊形DECF是正方形．
20．如圖，AB是CD的垂直平分線，交CD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分別為E、F．
（1）求證：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求證：四邊形AEMF是正方形．
21．如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）探究：線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，且△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？
（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BCFE _________ 是菱形嗎？（填“可能”或“不可能”）
22．已知：如圖，△ABC中，點(diǎn)O是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥AC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角∠ACG的平分線于點(diǎn)F，連接AE、AF．
（1）求證：∠ECF=90°；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？請(qǐng)說明理由；
（3）在（2）的條件下，△ABC應(yīng)該滿足條件： _________ ，就能使矩形AECF變?yōu)檎叫危ㄖ苯犹砑訔l件，無需證明）
19.3.1正方形的判定
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．已知四邊形ABCD是平行四邊形，再?gòu)蘑貯B=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個(gè)條件中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯(cuò)誤的是（ �。�
A． 選①② B．選②③ C．選①③ D． 選②④
考點(diǎn)： 正方形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．
分析： 要判定是正方形，則需能判定它既是菱形又是矩形．
解答： 解：A、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由②得有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、由②得有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，由③得對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以不能得出平行四邊形ABCD是正方形，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意；
C、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由③得對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、由②得有一個(gè)角是直角的 平行四邊形是矩形，由④得對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正方形的判定方法：
①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；
②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)矩形有一個(gè)角為直角．
③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定．
2．下列說法中，正確的是（ ）
A． 相等的角一定是對(duì)頂角
B． 四個(gè)角都相等的四邊形一定是正方形
C． 平行四邊形的對(duì)角線互相平分
D． 矩形的對(duì)角線一定垂直
考點(diǎn)： 正方形的判定；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角；平行四邊形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)對(duì)頂角的定義，正方形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解．
解答： 解：A、相等的角一定是對(duì)頂角錯(cuò)誤，例如，角平分線分成的兩個(gè)角相等，但不是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、四個(gè)角都相等的四邊形一定是矩形，不一定是正方形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、平行四邊形的對(duì)角線互相平分正確，故本選項(xiàng)正確；
D、矩形的對(duì)角線一定相等，但不一定垂直，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正方形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，對(duì)頂角的定義，熟記各性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵．
3．下列命題中是假命題的是（ ）
A． 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
B． 一組對(duì)邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形
C． 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
D． 一組鄰邊相等的矩形是正方 形
考點(diǎn)： 正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定．
專題： 證明題．
分析： 做題時(shí)首先熟悉各種四邊形的判定方法，然后作答．
解答： 解：A、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，（平行四邊形判定定理）；正確．
B、一組對(duì)邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形，不一定是矩形，還可能是不規(guī)則四邊形，錯(cuò)誤．
C、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，正確；
D、一組鄰邊相等的矩形是正方形，正確．
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查各種四邊形的判定，基礎(chǔ)題要細(xì)心．
4．已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的有（ ）
①當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形；②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形；③當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，它是矩形；④當(dāng)AC=BD時(shí)，它是正方形．
A． 1組 B．2組 C．3組 D． 4組
考點(diǎn)： 正方形的判定；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定；矩形的判定．
分析： 根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可判斷①正確；根據(jù)所給條件可以證出鄰邊相等，可判斷②正確；根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可判斷③正確；根據(jù)
對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可以判斷出④錯(cuò)誤．
解答： 解：①根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可知：四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形正確；
②∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO=OD，
∵AC⊥BD，
∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，
∴AB=AD，
∴四邊形ABCD是菱形，故②正確；
③根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可知③正確；
④根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可知當(dāng)AC=BD時(shí)，它是矩形，不是正方形，故④錯(cuò)誤；
故不正確的有1個(gè)．
故選：A．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握三種特殊平行四邊形的判定定理．
5．四邊形ABCD的對(duì)角線AC=BD，AC⊥BD，分別過A、B、C、D作對(duì)角線的平行線，所成的四邊形EFMN是（ �。�
A． 正方形 B．菱形 C．矩形 D． 任意四邊形
考點(diǎn)： 正方形的判定．
分析： 根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定得出∠NAO=∠AOD=∠N=90°，EN=NM=FM=EF，進(jìn)而判斷即可．
解答： 證明：如圖所示：
∵分別過A、B、C、D作對(duì)角線的平行線，
∴AC∥MN∥EF，EN∥BD∥MF，
∵對(duì)角線AC=BD，AC⊥BD，
∴∠NAO=∠AOD=∠N=90°，EN=NM=FM=EF，
∴四邊形EFMN是正方形．
故選：A．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了正方形的判定以及平行線的性質(zhì)和判定等知識(shí)，熟練掌握正方形的判定定理是解題關(guān)鍵．
6．如果要證明平行四邊形ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形ABCD是平行四邊形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步證明（ �。�
A． AB=AD且AC⊥BD B． AB=AD且AC=BD C． ∠A=∠B且AC=BD D． AC和BD互相垂直平分
考點(diǎn)： 正方形的判定．
分析： 根據(jù)正方形的判定對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析從而得到最后的答案．
解答： 解：A、根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，或者對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以不能判斷平行四邊形ABCD是正方形；
B、根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形，所以能判斷四邊形ABCD是正方形；
C、一組鄰角相等的平行四邊形是矩形，對(duì)角線相等的平行四邊形也是矩形，即只能證明四邊形ABCD是矩形，不能判斷四邊形ABCD是正方形；
D、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以不能判斷四邊形ABCD是正方形．
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 本題是考查正方形的判別方法，判別一個(gè)四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種：
①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；
②先說明它是菱形，再說明它有一個(gè)角為直角．
7．下列命題中，真命題是（ ）
A． 對(duì)角線相等的四邊形是矩形
B． 對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形
C． 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
D． 對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形
考點(diǎn)： 正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命題與定理．
分析： A、根據(jù)矩形的定義作出判斷；
B、根據(jù)菱形的性質(zhì)作出判斷；
C、根據(jù)平行四邊形的判定定理作出判斷；
D、根據(jù)正方形的判定定理作出判斷．
解答： 解：A、兩條對(duì)角線相等且相互平分的四邊形為矩形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；故本選項(xiàng)正確；
D、對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 本題綜合考查了正方形、矩形、菱形及平行四邊形的判定．解答此題時(shí)，必須理清矩形、正方形、菱形與平行四邊形間的關(guān)系．
8．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且BE=BF，添加一個(gè)條件，仍不能證明四 邊形BECF為正方形的是（ �。�
A． BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D． AC=BF
考點(diǎn)： 正方形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，有BE=EC，BF=FC進(jìn)而得 出四邊形BECF是菱形；由菱形的性質(zhì)知，以及菱形與正方形的關(guān)系，進(jìn)而分別分析得出即可．
解答： 解：∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，BF=CF，
∵BF=BE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四邊形BECF是菱形；
當(dāng)BC=AC時(shí)，
∵∠ACB=90°，
則∠A=45°時(shí)，菱形BECF是正方形．
∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=45°
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°
∴菱形BECF是正方形．
故選項(xiàng)A正確，但不符合題意；
當(dāng)CF⊥BF時(shí)，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項(xiàng)B正確，但不符合題意；
當(dāng)BD=DF時(shí)，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項(xiàng)C正確，但不符合題意；
當(dāng)AC=BF時(shí)，無法得出菱形BECF是正方形，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了菱形的判定和性質(zhì)及中垂線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正方形的判定等知識(shí)，熟練掌握正方形的相關(guān)的定理是解題關(guān)鍵．
二．填空題（共6小題）
9．能使平行四邊形ABCD為正方形的條件是 AC=BD且AC⊥BD�。ㄌ钌弦粋�(gè)符合題目要求的條件即可）．
考點(diǎn)： 正方形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．
專題： 開放型．
分析： 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，矩形和菱形的結(jié)合體是正方形．
解答： 解：可添加對(duì)角線相等且對(duì)角線垂直或?qū)蔷�相等，且一組鄰邊相等；或?qū)蔷�垂直，有一個(gè)內(nèi)角是90°．答案不唯一，此處填：AC=BD且AC⊥BD．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查正方形的判定，需注意它是菱形和矩形的結(jié)合．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，當(dāng)△ABC滿足條件 AC=BC 時(shí)，四邊形DECF是正方形．
（要求：①不再添加任何輔助線，②只需填一個(gè)符合要求的條件）
考點(diǎn)： 正方形的判定．
專題： 計(jì)算題；開放型．
分析： 由已知可得四邊形的四個(gè)角都為直角，因此再有四邊相等即是正方形添加條件．此題可從四邊形DECF是正方形推出．
解答： 解：設(shè)AC=BC，即△ABC為等腰直角三角形，
∵∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，
∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°，
DF= AC=CE，
DE= BC=CF，
∴DF=CE=DE=CF，
∴四邊形DECF是正方形，
故答案為：AC=BC．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查的知識(shí)點(diǎn)是正方形的判定，解題的關(guān)鍵是可從四邊形DECF是正方形推出△ABC滿足的條件．
11．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)條件： AC=BD或AB⊥BC ，使得該菱形為正方形．
考點(diǎn)： 正方形的判定；菱形的性質(zhì)．
專題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)正方形判定定理進(jìn)行分析．
解答： 解：根據(jù)對(duì)角線相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；
根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；
故添加的條件為：AC=BD或AB⊥BC．
點(diǎn)評(píng)： 本題答案不唯一，根據(jù)菱形與正方形的關(guān)系求解．
12．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個(gè)條件是 AC=BD或AB⊥BC�。�
考點(diǎn)： 正方形的判定；菱形的判定．
專題： 開放型．
分析： 根據(jù)菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．
解答： 解：∵在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA
∴四邊形ABCD是菱形
∴要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個(gè)條件是：AC=BD或AB⊥BC．
點(diǎn)評(píng)： 解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定定理，即有一個(gè)角是直角的菱形是正方形．
13．已知四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一個(gè)條件即可判定該四邊形是正方形，那么這個(gè)條件可以是 AB=AD或AC⊥BD等�。�
考點(diǎn)： 正方形的判定；矩形的判定與性質(zhì)．
專題： 開放型．
分析： 由已知可得四邊形ABCD是矩形，則可根據(jù)有一組鄰邊相等或?qū)蔷�互相垂直的矩形是正方形添加條件．
解答： 解：由∠A=∠B=∠C=90°可知四邊形ABCD是矩形，根據(jù)根據(jù)有一組鄰邊相等或?qū)蔷�互相垂直的矩形是正方形，得到應(yīng)該添加的條件為：AB=AD或AC⊥BD等．
故答案為：AB=AD或AC⊥BD等．
點(diǎn)評(píng)： 本題是考查正方形的判別方法，判別一個(gè)四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種：
①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；
②先說明它是菱形，再說明它有一個(gè)角為直角．
14．要使一個(gè)菱形成為正方形，需添加一個(gè)條件為 有一個(gè)角是直角或?qū)蔷�相等�。�
考點(diǎn)： 正方形的判定；菱形的性質(zhì)．
專題： 開放型．
分析： 根據(jù)菱形的性質(zhì)及正方形的判定進(jìn)行分析，從而得到最后答案．
解答： 解：要使一個(gè)菱形成為正方形，需添加一個(gè)條件為：有一個(gè)角是直角或?qū)蔷�相等．
點(diǎn)評(píng)： 解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定定理：
（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；
（2）對(duì)角線相等的菱形是正方形．
三．解答題（共8小題）
15．已知：如圖，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F．求證：四邊形DEBF是正方形．
考點(diǎn)： 正方形的判定．
專題： 證明題．
分析： 由DE⊥AB，DF⊥BC，∠ABC=90°，先證明四邊形DEBF是矩形，再由BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F得出DE=DF判定四邊形DEBF是正方形．
解答： 解：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB=∠DFB=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴四邊形BEDF為矩形，
∵BD是∠ABC的平分線，且DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∴矩形BEDF為正方形．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查正方形的判定、角平分線 的性質(zhì)和矩形的判定．要注意判定一個(gè)四邊形是正方形，必須先證明這個(gè)四邊形為矩形或菱形．
16．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．
（1）求證：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．
考點(diǎn)： 正方形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： （1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質(zhì)即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據(jù)兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形．
解答： 證明：（1）∵對(duì)角線BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四邊形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四邊形MPND是正方形．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定，解題的關(guān)鍵是熟記各種幾何圖形的性質(zhì)和判定．
17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．
（1）求證：CE=AD；
（2）當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；
（3）若D為AB中點(diǎn)，則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？請(qǐng)說明你的理由．
考點(diǎn)： 正方形的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．
專題： 幾何綜合題．
分析： （1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可；
（2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD，根據(jù)菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB=90°，再根據(jù)正方形的判定推出即可．
解答： （1）證明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵M(jìn)N∥AB，即CE∥AD，
∴四邊形ADEC是平行四邊形，
∴CE=AD；
（2）解：四邊形BECD是菱形，
理由是：∵D為AB中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四邊形BECD是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，D為AB中點(diǎn)，
∴CD=BD，
∴四邊形BECD是菱形；
（3）當(dāng)∠A=45°時(shí)，四邊形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵D為BA中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四邊形BECD是菱形，
∴四邊形BECD是正方形，
即當(dāng)∠A=45°時(shí)，四邊形BECD是正方形．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正方形的判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．
18．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，將△ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到△CFE．
（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形．
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF是正方形？請(qǐng)說明理由．
考點(diǎn)： 正方形的判定；平行四邊形的判定．
分析： （1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點(diǎn)A、E、C三點(diǎn)共線，點(diǎn)D、E、F三點(diǎn)共線，且AE=CD，DE=FE，即可得出答案；
（2）首先得出CD⊥AB，即∠ADC=90°，由（1）知，四邊形ADCF是平行四邊形，故四邊形ADCF是矩形．進(jìn)而求出CD=AD即可得出答案．
解答： （1）證明：∵△CFE是由△ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到，
∴點(diǎn)A、E、C三點(diǎn)共線，點(diǎn)D、E、F三點(diǎn)共線，
且AE=CE，DE=FE，
故四邊形ADCF是平行四邊形．
（2）解：當(dāng)∠ACB=90°，AC=BC時(shí)，四邊形ADCF是正方形．
理由如下：
在△ABC中，∵AC=BC，AD=BD，
∴CD⊥AB，即∠ADC=90°．
而由（1）知，四邊形ADCF是平行四邊形，
∴四邊形ADCF是矩形．
又∵∠ACB=90°，
∴ ，
故四邊形ADCF是正方形．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了平行四邊形的判定以及正方形的判定等知識(shí)，得出四邊形ADCF是矩形是解題關(guān)鍵．
19．如圖，分別以線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧 交于M、N兩點(diǎn)，連接MN，交AB于點(diǎn)D 、C是直線MN上任意一點(diǎn)，連接CA、CB，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F．
（1）求證：△AED≌△BFD；
（2）若AB=2，當(dāng)CD的值為 1 時(shí)，四邊形DECF是正方形．
考點(diǎn)： 正方形的判定；全等三角形的判定．
分析： （1）先由作圖知MN是線段AB的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出CA=CB，AD=BD，由等邊對(duì)等角得到∠A=∠B，然后利用AAS即可證明△AED≌△BFD；
（2）若AB=2，當(dāng)CD的值為1時(shí)，四邊形DECF是正方形．先由CD=AD=BD=1，MN⊥AB，得出△ACD與△BCD都是等腰直角三角形，則∠ACD=∠BCD=45°，∠ECF=90°，根據(jù)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形證明四邊形DECF是矩形，再由等角對(duì)等邊得出ED=CE，從而得出矩形DECF是正方形．
解答： （1）證明：由作圖知，MN是線段AB的垂直平分線，
∵C是直線MN上任意一點(diǎn)，MN交AB于點(diǎn)D，
∴CA=CB，AD=BD，
∴∠A=∠B．
在△AED與△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD（AAS）；
（2）解：若AB=2，當(dāng)CD的值為1時(shí)，四邊形DECF是正方形．理由如下：
∵AB=2，
∴AD=BD= AB=1．
∵CD=AD=BD=1，MN⊥AB，
∴ △ACD與△BCD都是等腰直角三角形，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ECF=∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠DEC=∠DFC=90°，
∴四邊形DECF是矩形，∠CDE=90°?45°=45°，
∴∠ECD=∠CDE=45°，
∴ED=CE，
∴矩形DECF是正方形．
故答案為1．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定，正方形的判定，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．
20．如圖，AB是CD的垂直平分線，交CD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分別為E、F．
（1）求證：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求證：四邊形AEMF是正方形．
考點(diǎn)： 正方形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： （1）根據(jù)AB是CD的垂直平分線，得到AC=AD，然后利用三線合一的性質(zhì)得到∠CAB= ∠DAB即可；
（2）首先判定四邊形AEMF是矩形，然后證得ME=MF，利用鄰邊相等的矩形AEMF是正方形進(jìn)行判定即可．
解答： （1）證明：∵AB是CD的垂直平分線，
∴AC=AD，
又∵AB⊥CD
∴∠CAB=∠DAB（等腰三角形的三線合一）；
（2）證明：∵M(jìn)E⊥A C，MF⊥AD，∠CAD=90°，
即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°，
∴四邊形AEMF是矩形，
又∵∠CAB=∠DAB，ME⊥A C，MF⊥AD，
∴ME=MF，
∴矩形AEMF是正方形．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查正方形的判定，線段的垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度不大．
21．如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）探究：線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，且△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？
（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BCFE 不可能 是菱形嗎？（填“可能”或“不可能”）
考點(diǎn)： 正方形的判定；菱形的判定．
分析： （1）由直線MN∥BC，MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F，易證得△OEC與△OFC是等腰三角形，則可證得OE=OF=OC；
（2）正方形的判定問題，AECF若是正方形，則必有對(duì)角線OA=OC，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，同樣在△ABC中，當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，可滿足其為正方形；
（3）菱形的判定問題，若使菱形，則必有四條邊相等，對(duì)角線互相垂直．
解答： 解：（1）OE=OF．理由如下：
∵CE是∠ACB的角平分線，
∴∠ACE=∠BCE，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠NEC=∠ECB，
∴∠NEC=∠ACE，
∴OE=OC，
∵OF是∠BCA的外角平分線，
∴∠OCF=∠FCD，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠OFC=∠ECD，
∴∠OFC=∠COF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)，四邊形AECF是正方形．理由如下：
∵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形．
已知MN∥BC，當(dāng)∠ACB=90°，則
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形；
（3）不可能．理由如下：
如圖，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF= ∠ACB+ ∠ACD= （∠ACB+∠ACD）=90°，
若四邊形BCFE是菱形，則BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在兩個(gè)角為90°，所以不存在其為菱形．
故答案為不可能．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，正方形、菱形的判定，難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
22．已知：如圖，△ABC中，點(diǎn)O是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥AC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角∠ACG的平分線于點(diǎn)F，連接AE、AF．
（1）求證：∠ECF=90°；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩 形？請(qǐng)說明理由；
（3）在（2）的條件下，△ABC應(yīng)該滿足條件： ∠ACB為直角的直角三角形 ，就能使矩形AECF變?yōu)檎叫危ㄖ苯犹砑訔l件，無需證明）
考點(diǎn)： 正方形的判定；等腰三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定．
分析： （1）由已知MN∥BC，CE、CF分別平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO．
（2）由（1）得出的EO=CO=FO，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，則由EO=CO=FO=AO，所以這時(shí)四邊形AECF是矩形．
（3）由已知和（2）得到的結(jié)論，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)，則推出四邊形AECF是矩形且對(duì)角線垂直，所以四邊形AECF是正方形．
解答： （1）證明：∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∴∠ECF= ×180°=90°；
（2）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．理由如下：
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，F(xiàn)O=CO，
∴OE=OF；
又∵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECF=90°，
∴四邊形AECF是矩形；
（3）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)，四邊形AECF是正方形．
∵由（2）知，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，
已知MN∥BC，當(dāng)∠ACB=90°，則
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形．
故答案為：∠ACB為直角的直角三角形．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查的是正方形和矩形的判定，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是由已知得出EO=FO，確定（2）（3）的條件．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/chuer/258261.html
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