新標(biāo)——回歸教材
三角函數(shù)
1.角的概念的推廣:平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所的圖形.按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角,一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時,稱它形成一個零角.射線的起始位置稱為始邊,終止位置稱為終邊.
2.象限角的概念:在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與 軸的非負(fù)半軸重合,角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限的角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個角不屬于任何象限.
3. 弧度制:把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.
1(rad)= , (rad).
弧長公式: ,扇形面積公式: .
典例:已知扇形 的周長是6cm,該扇形的中心角是1弧度,求該扇形的面積.（答:2 ）
4.終邊相同的角的表示:
(1) 終邊與 終邊相同( 的終邊在 終邊所在射線上) ,注意:相等的角的終邊一定相同,終邊相同的角不一定相等.
典例:與角 的終邊相同,且絕對值最小的角的度數(shù)是 ,合 弧度.
(2) 終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為: .
典例: 的終邊與 的終邊關(guān)于直線 對稱,則 ＝ .
(3)各種角的集合表示
名稱角度表示形式( )
弧度表示形式( )
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
終邊落在x軸上
終邊落在y軸上
終邊落在y=x軸上
終邊落在y=-x軸上
判斷一個角的終邊在哪個象限？是第幾象限角？是解決后面一系列問題的基礎(chǔ).那么我們是如何判定？通常是把一個絕對值很大的角 化成 , 或者是化成 ,這樣只要判定 是第幾象限角就可以了.
典例: (1) ,因?yàn)?是第一象限角,所以 的終邊也在第一象限;
(2) ,因?yàn)?是第一象限角,所以 的終邊也在第一象限.
5. 與 的終邊關(guān)系:由“兩等分各象限、一二三四”確定.
如圖,若角 終邊在第一(二、三、四)象限,則角 的終邊位于
右圖中標(biāo)有數(shù)字1(2、3、4)區(qū)域.這個方法叫做等分象限法.
典例:若 是第二象限角,則 是第 一、三 象限角.
6.任意角的三角函數(shù)的定義:設(shè) 是任意一個角,P 是 的終邊上的任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn)),它與原點(diǎn)的距離是 ,那么 , .三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān),而與終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān).
典例:(1)已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(5,－12),則 的值為 ;
(2)設(shè) 是第三、四象限角, ,則 的取值范圍是 ;
(3)若 ,試判斷 的符號（答:負(fù)）
7.三角函數(shù)線的特征是:正弦線P“站在 軸上(起點(diǎn)在 軸上)”、
余弦線O“躺在 軸上(起點(diǎn)是原點(diǎn))”、正切線AT“與圓 切在點(diǎn) 處(起點(diǎn)是 )”.
三角函數(shù)線的重要應(yīng)用是比較三角函數(shù)值的大小和解三角不等式.
典例:(1)若 ,則 的大小關(guān)系為 ;
(2)若 為銳角,則 的大小關(guān)系為 ;
(3)函數(shù) 的定義域是
8.特殊角的三角函數(shù)值:
30°45°60°0°90°180°270°15°75°
010－1
10－10
1
002-
2+
1
002+
2-
9.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:
(1)平方關(guān)系: ;(2)商數(shù)關(guān)系: .
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應(yīng)用是,已知一個角的三角函數(shù)值,求此角的其它三角函數(shù)值.在運(yùn)用平方關(guān)系解題時,要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值,盡可能地壓縮角的范圍,以便進(jìn)行定號;在具體求三角函數(shù)值時,一般不需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號,再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對值.
解題方法總結(jié)
(1)已知一弦值,求正切.通常是利用 、 求另一弦值,然后利用 求正切.要注意 的象限,分象限定符號.
(2)已知正切,求正弦、余弦值.方法一是解方程組.方法二是利用一個推導(dǎo)公式直接求,公式 , ,不過還是要注意開根號時的正負(fù)的確定.
(3)解題中常用的三種技巧:一、切化弦;二、1的代換;三、分子分母同時除以 或者 .
(4)解題中常用的兩組公式: ;
.
典例:(1)函數(shù) 的值的符號為大于0;
(2)若 ,則使 成立的 的取值范圍是 ;
(3)已知 , ,則 ＝ ;
(4)已知 ,則 ＝ ; ＝ ;
(5)已知 ,則 等于 B A. B. C. D. ;
(6)已知 ,則 的值為 －1 .
10.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式( )的本質(zhì)是:奇變偶不變(對 而言,指 取奇數(shù)或偶數(shù)),符號看象限(看原函數(shù),同時可把 看成是銳角).
誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值,其一般步驟:“負(fù)化正,大化小,化成銳角再查表”即:(1)負(fù)角變正角,再寫成2k + , ;(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).
典例:(1) 的值為 ;
(2)已知 ,則 ,若 為第二象限角,則
.
11.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
正: ;逆: ,其中 .
正: ;逆: ,其中 .
正: ;變: .
正: ;變:
正: ;
變: (降角升冪公式),
逆: (降冪升角公式); (半角正切)
典例:(1)下列各式中,值為 的是 C
A. B. C. D.
(2)命題P: ,命題Q: ,則P是Q的 C 條.
A、充要 B、充分不必要 C、必要不充分 D、既不充分也不必要;
(3)已知 ,那么 的值為 ;
(4) 的值是 4 ;
(5)已知 ,求 的值(用 表示)甲求得的結(jié)果是 ,乙求得的結(jié)果是 ,對甲、乙求得的結(jié)果的正確性你的判斷是 甲、乙都對 .
12.三角函數(shù)的化簡、計(jì)算、證明的恒等變形的基本思路是:一角二名三結(jié)構(gòu).即首先觀察角與角之間的關(guān)系,注意角的一些常用變式,角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系,通�！扒谢摇�;第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)通常是分式要因式分解、通分后約分、根號下配方后開方.
基本的技巧有:★★★
(1)巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.如: , ,
, , 等.
典例:(1)已知 , ,那么 的值是 ;
(2)已知 ,且 , ,求 的值 ;
(3)若 為銳角, ,則 與 的函數(shù)關(guān)系為 .
(2)三角函數(shù)名互化(切化弦),
典例:(1)求值 = 1 ;
(2)已知 ,求 的值
(3)公式變形使用（ .
典例:(1)已知A、B為銳角,且滿足 ,則 ＝ ;
(2) 中, , ,則此三角形是 等邊 三角形.
(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升(降冪公式: , 與升冪公式: , ).
典例:(1)若 ,化簡 為 ;
(2) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 .
(5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同).
典例:(1) = ;
(2)求證: ; (3)化簡: = .
(6)常值變換主要指“1”的變換（ 等）
典例:已知 ,求 = .
(7)正余弦“三兄妹— ”的內(nèi)存聯(lián)系—“知一求二”.
典例:(1)若 ,則 ,特別提醒:這里 ;
(2)若 ,求 的值.（答: ）;
(3)已知 ,試用 表示 的值（答: ）.
13.輔助角公式中輔助角的確定: (其中 角所在的象限由a, b的符號確定, 角的值由 確定)在求最值、化簡時起作用.★★★
典例:(1)若方程 有實(shí)數(shù)解,則 的取值范圍是 [－2,2] .;
(2)當(dāng)函數(shù) 取得最大值時, 的值是 ;
(3)如果 是奇函數(shù),則 = －2 ;
(4)求值: 32 .
14.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象:
正弦函數(shù) 和余弦函數(shù) 圖
象的作圖方法:五點(diǎn)法:先取橫坐標(biāo)分別為0,
的五點(diǎn),再用光滑的曲線把這五點(diǎn)連
接起,就得到正弦曲線和余弦曲線在一個周
期內(nèi)的圖象.如右圖所示:
15.正弦函數(shù) 、余弦函數(shù)
性質(zhì):(1)定義域R.(2)值域 .
對 ,當(dāng) 時, 取最大值1;當(dāng) 時, 取最小值－1;對 ,當(dāng) 時, 取最大值1,當(dāng) 時, 取最小值－1.
典例:(1)若函數(shù) 的最大值為 ,最小值為 ,則 , ;
(2)函數(shù) （ ）的值域是 [－1, 2] ;
(3)若 ,則 的最大值和最小值分別是 7 、 -5 ;
(4) 的最小值是 2 ,此時 = ;
(5)己知 ,則 的取值范圍 ;
(6)若 ,則 的最大值 1 、最小值 .
特別提醒:在解含有正余弦函數(shù)的問題時,你深入挖掘正余弦函數(shù)的有界性了嗎?例如前面的關(guān)于求值域的一個運(yùn)用！
(3)周期性:① 、 的最小正周期都是2 ;
② 和 的最小正周期都是 .
典例:(1)若 ,則 ＝ 0 ;
(2)函數(shù) 的最小正周期為 ;
(3)設(shè) ,若 恒成立,則 = 2 .
(4)奇偶性與對稱性:
①函數(shù) 是奇函數(shù),對稱中心是 ,對稱軸是直線 ;
②函數(shù) 是偶函數(shù),對稱中心是 ,對稱軸是直線 （正(余)弦型函數(shù)的對稱軸為過最值點(diǎn)且垂直于 軸的直線,對稱中心為圖象零點(diǎn)所在點(diǎn).）
典例:(1)函數(shù) 的奇偶性是 偶函數(shù) ;
(2)已知函數(shù) 為常數(shù)）,且 ,則 －5 ;
(3) 的對稱中心和對稱軸分別是 、 ;
(4)已知 為偶函數(shù),求 的值.（答: ）
(5)單調(diào)性:
上單調(diào)遞增,在 單調(diào)遞減;
在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增.
16.形如 的函數(shù):
(1)幾個物理量:A?振幅; ?頻率（周期的倒數(shù)）; ?相位; ?初相;
(2)求 表達(dá)式:A由最值確定; 由周期確定; 由圖象上的特殊點(diǎn)確定.
(3)函數(shù) 圖象的畫法:
①“五點(diǎn)法”—設(shè) ,令 ＝0, 求出相應(yīng)的 值,計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo),描點(diǎn)后得出圖象;②圖象變換法:這是作函數(shù)簡圖常用方法.
(4)函數(shù) 的圖象與 圖象間的關(guān)系:
① 的圖象上各點(diǎn)向左( >0)或向右( <0)平移 個單位得 的圖象;
② 圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵?,得到函數(shù) 的圖象;
③ 圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵腁倍,得 圖象;
④ 圖象上各點(diǎn)向上( )或向下( ),得到 的圖象.特別注意:由 得到 的圖象,則向左或向右平移應(yīng)平移 單位.
典例:(1)函數(shù) 的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到 的圖象？
（答: 向上平移1個單位得 的圖象,再向左平移 個單位得 的圖象,橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原的2倍得 的圖象,最后將縱坐標(biāo)縮小到原的 即得 的圖象）;
(2)要得到函數(shù) 的圖象,只需把函數(shù) 的圖象向 左 平移 個單位;
(3)(現(xiàn)在考綱不作要求)將函數(shù) 圖像,按向量 平移后得到的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱,這樣的向量是否唯一？若唯一,求出 ;若不唯一,求出模最小的向量(答:存在但不唯一,模最小的向量 );
(4)若函數(shù) 的圖象與直線 有且僅有四個不同的交點(diǎn),則 的取值范圍是 .
(5)研究函數(shù) 性質(zhì)的方法:
類比于研究 的性質(zhì),只需將 中的 看成 中的 ,但在求 的單調(diào)區(qū)間時,要特別注意A和 的符號,通過誘導(dǎo)公式先將 化正.
典例:(1)函數(shù) 的遞減區(qū)間是 ;
(2) 的遞減區(qū)間是 ;
(3)設(shè)函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱,它的周期是 ,則( C )
A、 B、 在區(qū)間 上是減函數(shù)
C、 D、 的最大值是A;
(4)對于函數(shù) 給出下列結(jié)論, 其中正確結(jié)論是 ②④ .
①圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱; ②圖象關(guān)于直線 成軸對稱;
③圖象可由函數(shù) 的圖像向左平移 個單位得到;
④圖像向左平移 個單位,即得到函數(shù) 的圖像.
(5)已知函數(shù) 圖象與直線 的交點(diǎn)中,距離最近兩點(diǎn)間的距離為 ,那么此函數(shù)的周期是
17.正切函數(shù) 的圖象和性質(zhì):
(1)定義域: .有關(guān)正切函數(shù)問題時,你注意到正切函數(shù)的定義域了嗎？
(2)值域是R,在上面定義域上無最大值也無最小值;
(3)周期性: ,它與直線 的兩個相鄰交點(diǎn)之間的距離是一個周期 .
絕對值或平方對三角函數(shù)周期性的影響:一般說,某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方,其周期性是:弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值,其周期性不變,其它不定.(只作了解即可)
典例:(1) , 的周期都是 .
(2) 的周期為 .
(3) 的周期都是 ;
(4) 奇偶性與對稱性:是奇函數(shù),對稱中心是 .
特別提醒:正切型函數(shù)的對稱中心有兩類:一類是圖象與 軸的交點(diǎn),另一類是漸近線與 軸的交點(diǎn),但無對稱軸,這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處.
(5)單調(diào)性:正切函數(shù)在開區(qū)間 內(nèi)都是增函數(shù).但要注意在整個定義域上不具有單調(diào)性.
18.三角形中的有關(guān)公式:
(1)內(nèi)角和定理:三角形三角和為 ,這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性,解題可不能忘記！任意兩角和與第三個角總互補(bǔ),任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形 三內(nèi)角都是銳角 三內(nèi)角的余弦值為正值 任兩角和都是鈍角 任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.
(2)正弦定理: (R為三角形外接圓的半徑).
注意:①正弦定理的一些變式: ;
; ;②已知三角形兩邊一對角,求解三角形時,若運(yùn)用正弦定理,則務(wù)必注意可能有兩解.
(3)余弦定理: 等,常選用余弦定理鑒定三角形形狀.
(4)面積公式: (其中 為三角形內(nèi)切圓半徑).
海倫-秦九韶公式 ,其中 .
典例: 中,若 ,判斷 的形狀（答:直角三角形）.
特別提醒:(1)求解三角形中的問題時,一定要注意 這個特殊性:所以有,
;
(2)求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問題時,常運(yùn)用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化.
典例:(1) 中,A、B的對邊分別是 ,且 ,那么滿足條的 A、 有一個解 B、有兩個解 C、無解 D、不能確定（答:C）;
(2)在 中,A＞B是 成立的 充要 條;
(3)在 中, ,則 ＝ ;
(4)在 中,若 ,則 ＝ ;
(5)在 中,若其面積 ,則 = ;
(6)在 中, ,這個三角形的面積為 ,則 外接圓的直徑是 ;
(7)在△ABC中, = , 的最大值為 ;
(8)在△ABC中AB=1,BC=2,則角C的取值范圍是 ;
(9)設(shè)O是銳角三角形ABC的外心,若 ,且 的面積滿足關(guān)系式 ,求 （答: ）．
19.求角的方法:先確定角的范圍,再求出關(guān)于此角的某一個三角函數(shù)（要注意選擇,其標(biāo)準(zhǔn)有二:一是此三角函數(shù)在角的范圍內(nèi)具有單調(diào)性;二是根據(jù)條易求出此三角函數(shù)值）.
特別提示:要盡量利用已知條精確地確定角所在的范圍.
典例:(1)若 ,且 、 是方程 的兩根,則求 的值 ;
(2) 中, ,則 ＝ ;
(3)若 且 , ,求 的值（答: ）.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaosan/44230.html
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