山東省青島市高三統(tǒng)一質(zhì)量檢測0分）一、選擇題：本大題共10個小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位虛部為A． B． C． D．已知全集，集合，，則A． B． C． D．某中學(xué)高中一年級有人，高中二年級有人，高中三年級有人，現(xiàn)從中抽取一個容量為人的樣本，則高中二年級被抽取的人數(shù)為A． B． C． D．【解析】試題分析：由已知，樣本容量為，所以，高中二年級被抽取的人數(shù)為.考點：分層抽樣4.曲線在處的切線方程為( )A． B． C． D．5.設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列命題正確的是( )A．若則B．若則C．若則D．若則6.設(shè)其中實數(shù)滿足，若的最大值為，則的最小值為( )A． B．C．D．【答案】【解析】試題分析：畫出可行域及直線，如圖所示. 平移直線，當(dāng)其經(jīng)過點時，當(dāng)直線經(jīng)過點時，所以，，.考點：簡單線性規(guī)劃7.函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，且，則( ) A． 　 　 B． C． 　　 D．考點：正弦型函數(shù)8.在實驗室進(jìn)行的一項物理實驗中，要先后實施個程序，其中程序只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序和在實施時必須相鄰，則實驗順序的編排方法共有A．種 B．種 C． D．種9.函數(shù)的圖象大致是10.如圖，從點發(fā)出的光線，沿平行于拋物線的對稱軸方向射向此拋物線上的點，經(jīng)拋物線反射后，穿過焦點射向拋物線上的點，再經(jīng)拋物線反射后射向直線上的點，經(jīng)直線反射后又回到點，則等于( )A． B． C．D．第Ⅱ卷（共100分）二、填空題（每題5分，滿分25分，將答案填在答題紙上）11.已知向量，，若，則實數(shù)______;12.圓的圓心到直線的距離 ;【答案】【解析】試題分析：由已知圓心為，由點到直線的距離公式得，考點：圓的方程，點到直線的距離公式. 13.如圖是某算法的程序框圖，若任意輸入中的實數(shù)，則輸出的大于的概率為 14.已知均為正實數(shù)，且，則的最小值為__________；【答案】【解析】試題分析：因為均為正實數(shù)，所以可化為，即所以故當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值.考點：基本不等式的應(yīng)用，一元二次不等式解法.15.如果對定義在上的函數(shù)，對任意兩個不相等的實數(shù)，都有，則稱函數(shù)為“函數(shù)”.給出下列函數(shù)①;②;③;④.以上函數(shù)是“函數(shù)”的所有序號為 . 三、解答題 （本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 16.（本小題滿分12分），，.（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）在中,分別是角的對邊,,,若，求的大小.【答案】（Ⅰ）遞減區(qū)間是. （Ⅱ）. 【解析】試題分析：（Ⅰ）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及三角函數(shù)公式，將化簡為，確定得到遞減區(qū)間. 17.（本小題滿分12分）袋中裝有大小相同的黑球和白球共個，從中任取個都是白球的概率為．現(xiàn)甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取個球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球時終止．用表示取球終止時取球的總次數(shù)．（Ⅰ）求袋中原有白球的個數(shù)；（Ⅱ）求隨機(jī)變量的概率分布及數(shù)學(xué)期望．（Ⅱ）由題意，的可能取值為.由古典概型概率的計算公式，計算可得分布列為：進(jìn)一步應(yīng)用期望的計算公式，即得所求.試題解析：(Ⅰ)設(shè)袋中原有個白球，則從個球中任取個球都是白球的概率為…2分由題意知，化簡得．解得或（舍去）……………………5分故袋中原有白球的個數(shù)為……………………6分 （Ⅱ）由題意，的可能取值為.；；；. 所以取球次數(shù)的概率分布列為：……………10分所求數(shù)學(xué)期望為…………………12分考點：簡單組合應(yīng)用問題，古典概型概率的計算，隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.18.（本題滿分12分）中, ，、分別為、的中點，，. （Ⅰ）證明：∥面；（Ⅱ）求面與面所成銳角的余弦值.【答案】(Ⅰ)見解析；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）(Ⅰ) 利用三角形中位線定理，得出∥ .（Ⅱ）利用平幾何知識，可得一些線段的長度及，進(jìn)一步以為軸建立坐標(biāo)系，得到， 確定面與面的法向量、：由，可得令；由又，可得令，進(jìn)一步得到. 所以則………8分設(shè)、分別是面與面的法向量則，令又，令……………11分所以……………12分考點：直線與平面、平面與平面垂直，二面角的定義，空間向量的應(yīng)用.19.（本小題滿分12分）在數(shù)列中，其前項和為，滿足.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式;（Ⅱ）設(shè)（為正整數(shù)）,求數(shù)列的前項和.【答案】(Ⅰ) .（Ⅱ）.【解析】試題分析：(Ⅰ)根據(jù),計算 驗證當(dāng)時，,明確數(shù)列是為首項、公差為的等差數(shù)列即得所求.（Ⅱ）由(Ⅰ)知: 利用“裂項相消法”、“錯位相減法”求和. 試題解析：(Ⅰ)由題設(shè)得:,所以所以 ……………2分當(dāng)時，,數(shù)列是為首項、公差為的等差數(shù)列故.……………5分20.（本小題滿分13分）已知函數(shù)Ⅰ）求的最值Ⅱ）當(dāng)函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間相同時，這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間設(shè)，試問函數(shù)在上是否存在保值區(qū)間？若存在，請求出一個保值區(qū)間；若不存在，請說明理由Ⅰ）在處取得最小值．（Ⅱ）函數(shù)在上不存在保值區(qū)間,證明Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，解得函數(shù)的減區(qū)間；，函數(shù)．在處取得最小值． 21.（本小題滿分1分）的取值范圍；（Ⅲ）作直線與橢圓交于不同的兩點,,其中點的坐標(biāo)為,若點是線段垂直平分線上一點,且滿足,求實數(shù)的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或； （Ⅲ）滿足條件的實數(shù)的值為或. 【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè),的坐標(biāo)分別為,其中由題意得的方程為:根據(jù)到直線的距離為,可求得， 將與聯(lián)立即可得到.（Ⅱ）設(shè),，由可得，代人橢圓的方程得，即可解得或. （Ⅱ）由(Ⅰ)知橢圓的方程為 設(shè),，由于,所以有 ……………7分又是橢圓上的一點,則所以解得：或 ……………9分（Ⅲ）由, 設(shè)根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線斜率為,則直線的方程為把它代入橢圓的方程,消去,整理得: 由韋達(dá)定理得,則,所以線段的中點坐標(biāo)為【2015青島市一模第2套】山東省青島市2015屆高三3月統(tǒng)一質(zhì)量檢測 數(shù)學(xué)（理）
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