寧波效實中學高三起始考(理科數學)
說明:本試卷分第Ⅰ卷()和第Ⅱ卷(非)兩部分,共100分.
請在答題卷內按要求作答
第Ⅰ卷(選擇題 共30分)
一、選擇題:本大題共10小題,每小題3分,共30分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.
1、函數 的單調遞增區(qū)間是
A. B. C. D.
2、設等差數列 的前 項和為 ,若 , ,則
A.63 B.45 C.36 D.27
3、函數 的部分圖象如圖所示,則 的值分別是
A. B. C. D.
4、已知數列 滿足 ,則 的前10項和等于
A. B. C. D.
5、設等差數列 的公差 不為0, .若 是 與 的等比中項,則
A.2 B.4 C.6 D.8
6、已知 ,則
A. B. C. D.
7、在 中,已知 是 邊上一點,若 ,則
A. B. C. D.
8、已知某個幾何體的三視圖如下,根據圖中標出的尺寸(單位:c),可得這個幾何體的體積是
A. B. C. D.
9、已知函數 ,下列結論中錯誤的是
A. 的圖像關于 中心對稱 B. 的圖像關于直線 對稱
C. 的最大值為 D. 既奇函數,又是周期函數
10、在直角三角形ABC中,點D是斜邊AB的中點,點P為線段CD的中點,則PA2+PB2PC2等于
A.2 B.4 C.5 D.10
第Ⅱ卷(非選擇題 共70分)
二、題:本大題共7小題,每小題3分,共21分.
11、已知等差數列 的前 項和為 ,若 ,則 ____.
12、若 ,.則 .
13、已知向量a,b夾角為45°,且a=1,2a-b=10,則b=________.
14、已知平面向量a,b,c不共線,且兩兩之間的夾角都相等,若a=2,b=2,c=1,則a+b+c與a的夾角是________.
15、如圖 中,已知點D在BC邊上,AD AC, 則 的長為_______________
16、下面有五個命題:
①函數y=sin4x-cos4x的最小正周期是 .
②終邊在y軸上的角的集合是
③在同一坐標系中,函數 的圖象和函數 的圖象有三個公共點.
④把函數
⑤函數
其中真命題的序號是 (寫出所有真命題的編號)
17、已知點O在二面角 的棱上,點P在 內,且 。若對于 內異于O的任意一點Q,都有 ,則二面角 的大小是__________.
三、解答題:本大題共5小題,共49分. 解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
18、已知 < < < .
(1)求 的值;
(2)求 .
19、設銳角三角形 的內角 的對邊分別為 , .
(1)求 的大。
(2)求 的取值范圍.
20、已知函數 .
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值.
21、設 是等差數列, 是各項都為正數的等比數列,且 , ,
(1)求 , 的通項公式;
(2)求數列 的前n項和 .
22、如圖,在四棱錐 中, 底面 ,
, ,
是 的中點.
(1)證明 ;
(2)證明 平面 ;
(3)求二面角 的正切值。
寧波效實中學高三起始考(理科數學)
說明:本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共100分.
請在答題卷內按要求作答
第Ⅰ卷(選擇題 共30分)
一、選擇題:本大題共10小題,每小題3分,共30分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.
1、函數 的單調遞增區(qū)間是
A. B. C. D.
【答案】D
2、設等差數列 的前 項和為 ,若 , ,則
A.63B.45C.36D.27
【答案】B
3、函數 的部分圖象如圖所示,則 的值分別是
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
4、已知數列 滿足 ,則 的前10項和等于
(A) (B) (C) (D)
答案C
5、設等差數列 的公差 不為0, .若 是 與 的等比中項,則
A.2B.4C.6D.8
【答案】B
6 、已知 ,則
A. B. C. D.
【答案】C
7、在 中,已知 是 邊上一點,若 ,則
A. B. C. D.
【答案】A
8、已知某個幾何體的三視圖如下,根據圖中標出的尺寸(單位:c),可得這個幾何體的體積是
A. B. C. D.
【答案】B
9.已知函數 ,下列結論中錯誤的是
(A) 的圖像關于 中心對稱 (B) 的圖像關于直線 對稱
(C) 的最大值為 (D) 既奇函數,又是周期函數
【答案】C
10、在直角三角形ABC中,點D是斜邊AB的中點,點P為線段CD的中點,則PA2+PB2PC2=
A.2 B.4 C.5 D.10
【答案】D
第Ⅱ卷(非選擇題 共70分)
二、題:本大題共7小題,每小題3分,共21分.
11、已知等差數列 的前 項和為 ,若 ,則 _____
12、若 ,.則 .
13、已知向量a,b夾角為45°,且a=1,2a-b=10,則b=________.
[答案] 32
14、已知平面向量a,b,c不共線,且兩兩之間的夾角都相等,若a=2,b=2,c=1,則a+b+c與a的夾角是________.
答案60°
15、如圖 中,已知點D在BC邊上,AD AC, 則 的長為_______________
【答案】
16、下面有五個命題:
①函數y=sin4x-cos4x的最小正周期是 .
②終邊在y軸上的角的集合是{aa= .
③在同一坐標系中,函數y=sinx的圖象和函數y=x的圖象有三個公共點.
④把函數
⑤函數
其中真命題的序號是 ① ④ ((寫出所有真命題的編號))
17、已知點O在二面角 的棱上,點P在 內,且 。若對于 內異于O的任意一點Q,都有 ,則二面角 的大小是____ ____。
三、解答題:本大題共5小題,共49分. 解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
18、已知 < < < ,
(1)求 的值.
(2)求 .
分析:本題考察三角恒等變形的主要基本公式、三角函數值的符號,已知三角函數值求角以及計算能力。
解:(Ⅰ)由 ,得
∴ ,于是
(Ⅱ)由 ,得
又∵ ,∴
由 得:
所以
19、已知函數 .
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值.
解:
20、設 是等差數列, 是各項都為正數的等比數列,且 , ,
(1)求 , 的通項公式;
(2)求數列 的前n項和 .
解:
(Ⅰ)設 的公差為 , 的公比為 ,則依題意有 且
解得 , .
所以 ,
.
(Ⅱ) .
,①
,②
②-①得 ,
21、設銳角三角形 的內角 的對邊分別為 , .
(1)求 的大。
(2)求 的取值范圍.
解:(Ⅰ)由 ,根據正弦定理得 ,所以 ,
由 為銳角三角形得 .
(Ⅱ)
.
由 為銳角三角形知,
, . ,
所以 .由此有 ,
所以, 的取值范圍為 .
22、如圖,在四棱錐 中, 底面 ,
, ,
是 的中點.
(1)證明 ;
(2)證明 平面 ;
(3)求二面角 的正切值。
分析:本小題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、二面角等基礎知識,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.
解:(Ⅰ)證明:在四棱錐 中,因 底面 , 平面 ,故 .
, 平面 .
而 平面 , .
(Ⅱ)證明:由 , ,可得 .
是 的中點, .
由(Ⅰ)知, ,且 ,所以 平面 .
而 平面 , .
底面 在底面 內的射影是 , , .
又 ,綜上得 平面 .
(Ⅲ)解法一:過點 作 ,垂足為 ,連結 .則(Ⅱ)知, 平面 , 在平面 內的射影是 ,則 .
因此 是二面角 的平面角.
由已知,得 .設 ,
可得 .
在 中, , ,
則 .在 中, .
所以二面角 的大小是 .
解法二:由題設 底面 , 平面 ,則平面 平面 ,交線為 .
過點 作 ,垂足為 ,故 平面 .過點 作 ,垂足為 ,連結 ,故 .因此 是二面角 的平面角.
由已知,可得 ,設 ,
可得 .
, .
于是, .
在 中, .
所以二面角 的大小是 .
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