實(shí)踐表明,培養(yǎng)學(xué)生把解題后的反思應(yīng)用到整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,養(yǎng)成檢驗(yàn)、反思的習(xí)慣,是提高學(xué)習(xí)效果、培養(yǎng)能力的行之有效的方法。解題是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的必由之路,但不同的解題指導(dǎo)思想就會(huì)有不同的解題效果,養(yǎng)成對(duì)解題后進(jìn)行反思的習(xí)慣,即可作為學(xué)生解題的一種指導(dǎo)思想。 反思對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的各方面的培養(yǎng)都有作積極的意義。反思題目結(jié)構(gòu)特征可培養(yǎng)思維的深刻性;反思解題思路可培養(yǎng)思維的廣闊性;反思解題途徑,可培養(yǎng)思維的批判性;反思題結(jié)論,可培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性;運(yùn)用反思過程中形成的知識(shí)組塊,可提高學(xué)思思維的敏捷性;反思還可提高學(xué)生思維自我評(píng)價(jià)水平,從而可以說反思是培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的有效途徑。
有研究發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)思維品質(zhì)以深刻性為基礎(chǔ),而思維的深刻性是對(duì)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的不斷反思中實(shí)現(xiàn)的,大家知道,數(shù)學(xué)在鍛煉人的邏輯思維能力方面有特殊的作用,而這種鍛煉老師不可能傳授,只能是由學(xué)生獨(dú)立活動(dòng)過程中獲得。因此,在不增加學(xué)生負(fù)擔(dān)的前提下,要求作業(yè)之后盡量寫反思,利用作業(yè)空出的反思欄給老師提出問題,結(jié)合作業(yè)作出合適的反思。對(duì)學(xué)生來說是培養(yǎng)能力的一項(xiàng)有效的思維活動(dòng),從所教學(xué)生來看,一部分學(xué)生根本不按老師要求進(jìn)行作業(yè)后的反思,而這部分學(xué)生95%的數(shù)學(xué)能力很低、成績(jī)差,他們只會(huì)做“結(jié)構(gòu)良好”的題目,以獲得對(duì)問題的答案為目標(biāo),不會(huì)提問,這部分學(xué)生中,沒有一個(gè)會(huì)對(duì)命題進(jìn)行推廣,而堅(jiān)持寫反思的學(xué)生情況就大不一樣,因此,培養(yǎng)學(xué)生反思解題過程是作業(yè)之后的一個(gè)重要環(huán)節(jié),具有很大的現(xiàn)實(shí)意義。
案例1,在完成解直角三角形“應(yīng)用舉例”的5個(gè)例題后,啟發(fā)學(xué)生對(duì)5個(gè)題目的解題過程進(jìn)行類比性反思,出示反思題目:請(qǐng)同學(xué)們?cè)倏纯蠢}的解題過程,特別要注意在這些過程中相同方法的歸納概括,通過類比反思你能發(fā)現(xiàn)什么?在教師的引導(dǎo)下,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)這幾個(gè)題表面雖有許多不同之處,但卻有如下幾點(diǎn)相同:⑴ 它們都有一個(gè)實(shí)際問題作背景;⑵ 都用到了方程的知識(shí);⑶ 都用到了銳角三角函數(shù)的定義;⑷ 都用到了幾何知識(shí)。在此基礎(chǔ)上老師說:我通過解這幾個(gè)題的過程的反思與同學(xué)們相似,我的反思結(jié)論是它們都運(yùn)用了同一個(gè)解題思維策略或同一個(gè)解題模式,就是實(shí)際問題幾何化,幾何問題方程化,而列方程的根據(jù)正好是剛學(xué)過的銳角三角函數(shù)的定義,這樣就把幾個(gè)例題的思考過程和解題過程統(tǒng)一成了下列模式(板書,并解釋每個(gè)箭頭的意義) 通過對(duì)5個(gè)例題解題后的反思,學(xué)生對(duì)解決這類問題的思路更加清晰了,并對(duì)反思的對(duì)象和方法有了一些體會(huì)。
案例2:一位同學(xué)在解完“梯形ABCD中,點(diǎn)E是腰AB上一點(diǎn),在腰CD上求作一點(diǎn)F,使CF:FD = BE:EA”之后在作業(yè)的反思欄內(nèi)寫道:“老師,如果E點(diǎn)在底邊上,如何在另一底上找到F,我有一種方法,不知對(duì)否?作法,1. 連結(jié)AC; 2. 作EO // DC交AC于O; 3. 作OF // AB交BC于F。 AE:ED = BF:FC。 ” 同時(shí),另一位學(xué)生在作業(yè)本中提出同樣的問題,寫道:“如果,在梯形ABCD中,點(diǎn)E是底邊上一點(diǎn),那么在另一底邊找一點(diǎn)F,使AE:ED = BF:FC,應(yīng)怎樣找?” 兩位學(xué)生對(duì)同一個(gè)題目,提出了相同的問題,前者解決了問題,但不能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表述問題,后者雖沒有找到解決問題的方法,但能準(zhǔn)確的描述問題,兩位學(xué)生都良好的運(yùn)用了直覺思維,這本身就是一種創(chuàng)新能力,我及時(shí)公布了兩位的猜想,并鼓勵(lì)他們的這種主動(dòng)猜想的創(chuàng)新精神,公布之后,同學(xué)們反映強(qiáng)烈,并進(jìn)行了廣泛的討論,并且在討論中思維更加深刻,問題得到引伸,方法也出現(xiàn)了多種。 第二次作業(yè)本交上來了,一位學(xué)生對(duì)在討論中提出的新方法給出了證明,他寫道:“今天江喬說,如下圖,已知梯形ABCD,E是底邊的一點(diǎn),延長腰交于F,連結(jié)EA交AB與G就是昨天胡玲要找的點(diǎn)。我覺得它說的是對(duì)的;證明如下:……(證明略)” 我也即時(shí)公布了這位學(xué)生提供的江喬的發(fā)現(xiàn)和他的證明,并說,江喬能想到這種方法,正如他在反思中所說,是他對(duì)解過的P244第22題的反思在這里起了作用,因?yàn)楫?dāng)時(shí)作了深刻的反思,從而對(duì)做過的題目有深刻的映象,自然很容易想到這種方法,因此,同學(xué)們應(yīng)向他學(xué)習(xí),解題以后不要停止,一定要多作反思。 接下來的幾天中,都有同學(xué)圍繞著這個(gè)問題繼續(xù)思考,并且有的同學(xué)還將此問題作了進(jìn)一步引伸,如胡靜在反思中寫道:“任意多邊形,知道一邊上一點(diǎn),就可以由第一位同學(xué)的那種方法,在其它任一邊上找到一點(diǎn),使與分得的線段的比等于這點(diǎn)分得的這邊上的兩條線段的比,只要先把多邊形變成三角形后就行。對(duì)嗎?”我批語道:“你已推廣了胡玲提出的命題,很好,且你是對(duì)的,請(qǐng)?jiān)囈辉嚹懿荒芙o出證明”。鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合解題后的反思,提出問題,并將其指定為反思內(nèi)容之一,既能充分發(fā)揮學(xué)生的主體性,又能形成師生互動(dòng)、生生互動(dòng)的教學(xué)情境,還能培養(yǎng)學(xué)生的不斷探索的精神,從而使學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)得到保護(hù)和培養(yǎng)。這無疑對(duì)學(xué)生“心態(tài)的開放,主體的凸現(xiàn),個(gè)性的張顯”是十分有益的。
通過解題后對(duì)習(xí)題特征進(jìn)行反思,用自己的語言或數(shù)學(xué)語言對(duì)習(xí)題進(jìn)行重新概述,培養(yǎng)思維的深刻性,促進(jìn)知識(shí)的正向遷移,提高解題能力。思維的深刻性表現(xiàn)在通過表面現(xiàn)象和外部聯(lián)系提示事物的本質(zhì)特征,進(jìn)而深入地思考問題,解完題后經(jīng)常通過反思題目的特征,加深對(duì)題目本質(zhì)的領(lǐng)悟,從而獲得一系列的思維成果,積累屬于個(gè)人的知識(shí)組塊,有助于培養(yǎng)思維的深刻性,從而促進(jìn)知識(shí)的正遷移。如: 案例3:解完“如圖,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圓的直徑,求證:AB?AC = AE?AD”后,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目本質(zhì)特征進(jìn)行反思,發(fā)現(xiàn)此題的圓可以不畫出來,因?yàn)槿我馊切味加型饨訄A,其處接圓的直徑則是客觀存在的。直徑的位置不一定要畫在如圖的位置,只要有三角形外接圓的直徑出現(xiàn),就應(yīng)該有上述結(jié)論。通過對(duì)題目本質(zhì)的領(lǐng)悟,再用自己的語言對(duì)習(xí)題進(jìn)行概述就得到了“任三角形的兩邊、第三邊上的高,和它外接圓直徑四個(gè)量中任知其中三個(gè),就可以求得第四個(gè)”,“三角形外接圓的直徑等于外接圓直徑和等三邊上的高的積”通過反思,由于學(xué)生已形成了求任意三角形外接圓直徑的一種特殊方法性的知識(shí)組塊,所以在一次公開課上,老師口述完“已知三角形兩邊分別是3、6,第三邊上的高為2,求三角形外接圓的直徑”時(shí),學(xué)生就能脫口說出正確答案是“9”。促進(jìn)了知識(shí)的正向遷移,培養(yǎng)了思維的每捷性。 經(jīng)過一段時(shí)間課改的具體實(shí)施,我發(fā)現(xiàn)也真正體會(huì)到,許多曾經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣的學(xué)生,都對(duì)數(shù)學(xué)有了濃厚的興趣,也使我真正體會(huì)到只要你給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)自由活動(dòng)的空間,學(xué)生便會(huì)還給你一個(gè)意外的驚喜。
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