16、17世紀的歐洲，漫長的中世紀已經(jīng)結(jié)束，文藝復(fù)興帶來了人們的覺醒，束縛人們思想自由發(fā)展的煩瑣哲學(xué)和神學(xué)的教條權(quán)威逐步被摧毀了。封建社會開始解體，代之而起的是資本主義社會，生產(chǎn)力大大解放。資本主義工場手工業(yè)的繁榮和向機器生產(chǎn)的過渡，促使技術(shù)科學(xué)和數(shù)學(xué)急速發(fā)展。
例如在航海方面，為了確定船只的位置，要求更加精密的天文觀測。軍事方面，彈道學(xué)成為研究的中心課題。準確時計的制造，運河的開鑿，堤壩的修筑，行星的橢圓軌道理論等等，也都需要很多復(fù)雜的計算。古希臘以來的初等數(shù)學(xué)，已漸漸不能滿足當時的需要了。
在科學(xué)史上，這一時期出現(xiàn)了許多重大的事件，向數(shù)學(xué)提出新的課題。首先是哥白尼提出地動說，使神學(xué)的重要理論支柱的地心說發(fā)生了根本的動搖。他的弟子雷蒂庫斯見到當時天文觀測日益精密，推算詳細的三角函數(shù)表已成為刻不容緩的事，于是開始制作每隔10"的正弦、正切及正割表。當時全憑手算，雷蒂庫斯和他的助手勤奮工作達12年之久，直到死后才由他的弟子奧托完成。
16世紀下半葉，丹麥天文學(xué)家第谷進行了大量精密的天文觀測，在這個基礎(chǔ)上，德國天文學(xué)家開普勒總結(jié)出行星運動的三大定律，導(dǎo)致后來牛頓萬有引力的發(fā)現(xiàn)。
開普勒的《酒桶的新立體幾何》將酒桶看作由無數(shù)的圓薄片累積而成，從而求出其體積。這是積分學(xué)的前驅(qū)工作。
意大利科學(xué)家伽利略主張自然科學(xué)研究必須進行系統(tǒng)的觀察與實驗，充分利用數(shù)學(xué)工具去探索大自然的奧秘。這些觀點對科學(xué)(特別是物理和數(shù)學(xué))的發(fā)展有巨大的影響。他的學(xué)生卡瓦列里創(chuàng)立了“不可分原理”。依靠這個原理他解決了許多現(xiàn)在可以用更嚴格的積分法解決的問題�！安豢煞帧钡乃枷朊妊坑�1620年，深受開普勒和伽利略的影響，是希臘歐多克索斯的窮竭法到牛頓、萊布尼茨微積分的過渡。
16世紀的意大利，在代數(shù)方程論方面也取得了一系列的成就。塔塔利亞、卡爾達諾、費拉里、邦貝利等人相繼發(fā)現(xiàn)和改進三次、四次方程的普遍解法，并第一次使用了虛數(shù)。這是自希臘丟番圖以來代數(shù)上的最大突破。法國的韋達集前人之大成，創(chuàng)設(shè)大量代數(shù)符號，用字母代表未知數(shù)，改良計算方法，使代數(shù)學(xué)大為改觀。
在數(shù)字計算方面，斯蒂文系統(tǒng)地闡述和使用了小數(shù)，接著納皮爾創(chuàng)制了對數(shù)，大大加快了計算速度。以后帕斯卡發(fā)明了加法機，萊布尼茨發(fā)明了乘法機，雖然未臻于實用，但開辟了機械計算的新途徑。
17世紀初，初等數(shù)學(xué)的主要科目(算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角)已基本形成，但數(shù)學(xué)的發(fā)展正是方興未艾，它以加速的步伐邁入數(shù)學(xué)史的下一個階段：變量數(shù)學(xué)時期這一時期和前一時期(常稱為初等數(shù)學(xué)時期)的區(qū)別在于前一時期主要是用靜止的方法研究客觀世界的個別要素，而這一時期是用運動的觀點探索事物變化和發(fā)展的過程。
變量數(shù)學(xué)以解析幾何的建立為起點，接著是微積分學(xué)的勃興。這一時期還出現(xiàn)了概率論和射影幾何等新的領(lǐng)域。但似乎都被微積分的強大光輝掩蓋了。分析學(xué)以洶涌澎湃之勢向前發(fā)展，到18世紀達到了空前燦爛的程度，其內(nèi)容的豐富，應(yīng)用之廣泛，使人目不暇接。
這一時期所建立的數(shù)學(xué)，大體上相當于現(xiàn)今大學(xué)一二年級的學(xué)習(xí)內(nèi)容。為了與中學(xué)階段的初等數(shù)學(xué)相區(qū)別有時也叫古典高等數(shù)學(xué)，這一時期也相應(yīng)叫做古典高等數(shù)學(xué)時期。
解析幾何的產(chǎn)生，一般以笛卡兒《幾何學(xué)》的出版為標志。這本書的內(nèi)容不僅僅是幾何，也有很多代數(shù)的問題。它和現(xiàn)在的解析幾何教科書有很大的差距，其中甚至看不到“笛卡兒坐標系”。但可貴的是它引入了革命性的思想，為開辟數(shù)學(xué)的新園地作出了貢獻。
《幾何學(xué)》的主要功績，可以歸結(jié)為三點：把過去對立著的兩個研究對象“形”和“數(shù)”統(tǒng)一起來，引入了變量，用代數(shù)方法去解決古典的幾何問題；最后拋棄了希臘人的齊性限制；改進了代數(shù)符號。
法國數(shù)學(xué)家費馬也分享著解析幾何創(chuàng)立的榮譽，他的發(fā)現(xiàn)在時間上可能早于笛卡兒，不過發(fā)表很晚。他是一個業(yè)余數(shù)學(xué)家，在數(shù)論、概率論、光學(xué)等方面均有重要貢獻。他已得到微積分的要旨，曾提出求函數(shù)極大極小的方法。他建立了很多數(shù)論定理，其中“費馬大定理”最有名，不過只是一個猜想，至今仍未得到證明。
對概率論的興趣，本來是由保險事業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的，但促使數(shù)學(xué)家去思考一些特殊的概率問題卻來自賭博者的請求。費馬、帕斯卡、惠更斯是概率論的早期創(chuàng)立者，以后經(jīng)過18、19世紀拉普拉斯、泊松等人的研究，概率論成為應(yīng)用廣泛的龐大數(shù)學(xué)分支。
和解析幾何同時，17世紀在幾何領(lǐng)域內(nèi)還發(fā)生了另一場重大的變革，這就是射影幾何的建立。決定性的進步是德扎格和帕斯卡的工作。前者引入了無窮遠點、無窮遠線，討論了極點與極線、透射、透視等問題，他所發(fā)現(xiàn)的“德扎格定理”是全部射影幾何的基本定理。
帕斯卡1640年發(fā)表的《圓錐曲線論》，是自阿波羅尼奧斯以來圓錐曲線論的最大進步�？墒钱敃r的數(shù)學(xué)家大多致力于分析學(xué)的研究，射影幾何沒有受到重視，直到18世紀末才重新引起人們的注意。
17世紀是一個創(chuàng)作豐富的時期，而最輝煌的成就是微積分的發(fā)明。它的出現(xiàn)是整個數(shù)學(xué)史也是整個人類歷史的一件大事。它從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)的需要中產(chǎn)生，同時又回過頭來深刻地影響著生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的發(fā)展。微積分對于今天的科技工作者來說，已經(jīng)象布帛菽粟一樣，須臾不可離了。
微積分是經(jīng)過了長時間的醞釀才產(chǎn)生的。積分的思想，早在阿基米德時代已經(jīng)萌芽，16、17世紀之交，開普勒、卡瓦列里、費馬、沃利斯特別是巴羅等人作了許多準備工作。作為微分學(xué)中心問題的切線問題的探討，卻是比較晚的事，因而微分學(xué)的起點遠遠落在積分學(xué)之后。
17世紀的著名數(shù)學(xué)家(主要是法國)如費馬、笛卡兒、羅貝瓦爾、德扎格等人都曾卷入“切線問題”的論戰(zhàn)中。笛卡兒和費馬認為切線是當兩個交點重合時的割線。而羅貝瓦爾則從運動的角度出發(fā)，將切線看作描畫這曲線的運動在這點的方向，這觀點至今在力學(xué)上還有實際意義。
牛頓、萊布尼茨的最大功勞是將兩個貌似不相關(guān)的問題聯(lián)系起來，一個是切線問題(微分學(xué)的中心問題)，一個是求積問題(積分學(xué)的中心問題)，建立起兩者之間的橋梁，用微積分基本定理或者“牛頓—萊布尼茨公式”表達出來。
在牛頓1665年5月20日(格里歷31日)手寫的一頁文件中，有微積分的最早記載，但他的工作長久沒有人知道，直到1687年才用幾何的形式摘記在他的名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中。牛頓建立微積分主要從運動學(xué)的觀點出發(fā)，而萊布尼茨則是從幾何學(xué)的角度去考慮。特別和巴羅的“微分三角形”有密切關(guān)系。
萊布尼茨第一篇微分學(xué)的文章1684年在《學(xué)藝》上發(fā)表，第一篇積分學(xué)的文章1686年在同一雜志發(fā)表。他所創(chuàng)設(shè)的符號遠優(yōu)于牛頓，故為后世所沿用。它的理論很快就得到洛必達、伯努利家族和歐拉等人的繼承和發(fā)揚光大，到18世紀進入了一個豐收的時期。
任何一項重大發(fā)明，都不可能一開始便完整無瑕。17世紀的微積分帶有嚴重的邏輯困難，以致受到多方面的非議。它的基礎(chǔ)是極限論，而牛頓、萊布尼茨的極限觀念是十分模糊的。究竟極限是什么，無窮小是什么，這在當時是帶有根本性質(zhì)的難題。盡管如此，微積分在實踐方面的勝利，足以令人信服。大多數(shù)數(shù)學(xué)家暫時擱下邏輯基礎(chǔ)不顧，勇往直前地去開拓這個新的園地。
17世紀數(shù)學(xué)發(fā)展的特點，可以概括如下。
產(chǎn)生了幾個影響很大的新領(lǐng)域，如解析幾何、微積分、概率論、射影幾何等。每一個領(lǐng)域都使古希臘人的成就相形見絀。
代數(shù)化的趨勢，希臘數(shù)學(xué)的主體是幾何學(xué)，代數(shù)的問題往往也要用幾何方法去論證。17世紀的代數(shù)學(xué)比幾何學(xué)占有更重要的位置，它沖破希臘人的框框，進一步向符號代數(shù)轉(zhuǎn)化，幾何問題常常反過來用代數(shù)方法去解決。
出現(xiàn)了大量新概念，如無理數(shù)、虛數(shù)、瞬時變化率、導(dǎo)數(shù)、積分等等，都不是經(jīng)驗事實的直接反映，而是由數(shù)學(xué)理論進一步抽象所產(chǎn)生。
數(shù)學(xué)和其他自然科學(xué)的聯(lián)系更加緊密，實驗科學(xué)(從伽利略開始)的興起，促進數(shù)學(xué)的發(fā)展，而數(shù)學(xué)的成果又滲透到其他科學(xué)部門中去。許多數(shù)學(xué)家，如牛頓、萊布尼茨、笛卡兒、費馬等，本身也都是天文學(xué)家、物理學(xué)家或哲學(xué)家。
數(shù)學(xué)知識廣泛交流傳播，希臘時代只有少數(shù)人在研究數(shù)學(xué)，直到16世紀，情況并無多大改變。17世紀研究人員大增，學(xué)術(shù)團體(學(xué)會或?qū)W院)相繼成立，加上印刷業(yè)的興旺發(fā)達，數(shù)學(xué)知識得到普遍的推廣和應(yīng)用。
總的來說，17世紀是許多新興科目的始創(chuàng)階段，而18世紀是充實和發(fā)揚階段，19世紀是回顧、推廣和改革階段，并以嶄新的姿態(tài)進入下一個世紀。
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