編者按：小編為大家收集了“高中數(shù)學學習方法：解析幾何中求參數(shù)取值范圍的方法”，供大家參考，希望對大家有所幫助!
近幾年來，與解析幾何有關的參數(shù)取值范圍的問題經常出現(xiàn)在高考考試中，這類問題不僅涉及知識面廣，綜合性大，應用性強，而且情景新穎，能很好地考查學生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學素質，是歷年來高考命題的熱點和重點。學生在處理這類問題時，往往抓不住問題關鍵，無法有效地解答，這類問題求解的關鍵在于根據題意，構造相關的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何構造不等式呢?本文介紹幾種常見的方法：
一、利用曲線方程中變量的范圍構造不等式
曲線上的點的坐標往往有一定的變化范圍,如橢圓 x2a2 + y2b2 = 1上的點P(x,y)滿足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用這些范圍來構造不等式求解,另外,也常出現(xiàn)題中有多個變量,變量之間有一定的關系,往往需要將要求的參數(shù)去表示已知的變量或建立起適當?shù)牟坏仁?再來求解.這是解決變量取值范圍常見的策略和方法.
例1 已知橢圓 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是橢圓上的兩點,線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x0 , 0)
求證:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
分析:先求線段AB的垂直平分線方程,求出x0與A,B橫坐標的關系,再利用橢圓上的點A,B滿足的范圍求解.
解: 設A,B坐標分別為(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入橢圓方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1
又∵線段AB的垂直平分線方程為
y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )
令y=0得 x0=x1+x22 •a2-b2a2
又∵A,B是橢圓x2a2 + y2b2 = 1 上的點
∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a
∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
例2 如圖,已知△OFQ的面積為S,且OF•FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF與FQ的夾角θ的取值范圍.
分析:須通過題中條件建立夾角θ與變量S的關系,利用S的范圍解題.
解: 依題意有
∴tanθ=2S
∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4
又∵0≤θ≤π
∴π4 <θ< p>
例3對于拋物線y2=4x上任一點Q,點P(a,0)都滿足PQ≥a,則a的取值范圍是 ( )
A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>
分析:直接設Q點坐標,利用題中不等式PQ≥a 求解.
解: 設Q( y024 ,y0) 由PQ 高中物理 ≥a
得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0
∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立
又∵ y02≥0
而 2+ y028 最小值為2 ∴a≤2 選( B )
二、利用判別式構造不等式
在解析幾何中,直線與曲線之間的位置關系,可以轉化為一元二次方程的解的問題,因此可利用判別式來構造不等式求解.
例4設拋物線y2 = 8x的準線與x軸交于點Q,若過點Q的直線L與拋物線有公共點,則直線L的斜率取值范圍是 ( )
A [-12 ,12 ] B [-2,2] C [-1,1] D [-4,4]
分析:由于直線l與拋物線有公共點,等價于一元二次方程有解,則判別式△≥0
解:依題意知Q坐標為(-2,0) , 則直線L的方程為y = k(x+2)
由 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0
∵直線L與拋物線有公共點
∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故選 (C)
例5 直線L: y = kx+1與雙曲線C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的兩點A、B，求實數(shù)k的取值范圍.
分析:利用直線方程和雙曲線方程得到x的一元二次方程,由于直線與右支交于不同兩點,則△>0,同時,還需考慮右支上點的橫坐標的取值范圍來建立關于k的不等式.
解：由 得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0
∵直線與雙曲線的右支交于不同兩點，則
解得 -2<-2< p>
三、利用點與圓錐曲線的位置關系構造不等式
曲線把坐標平面分成三個區(qū)域，若點P(x0,y0)與曲線方程f(x,y)=0關系：若P在曲線上，則f(x0,y0)=0;若P在曲線內，則f(x0,y0)<0;若P在曲線外，則f(x0,y0)>0;可見，平面內曲線與點均滿足一定的關系。故可用這些關系來構造不等式解題.
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