第18章 平行四邊形
一、 選擇題
1. 下列四邊形中，對角線相等且互相垂直平分的是（　�。�
A．平行四邊形  B．正方形  C．等腰梯形  D．矩形
2. 如圖，由六個全等的正三角形拼成的圖，圖中平行四邊形的個數(shù)是（　�。�
 
A．4個  B．6個  C．8個  D．10個
3. 在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，  ，添加下列一個條件后，仍不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是
A                 B   
C                 D 
4. 如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分線與∠BCD的平分線交于點P，則∠P=（　�。�
 
A．90°  α  B．90°+  α  C．   D．360°α
5. 如圖，將n個邊長都為2的正方形按如圖所示擺放，點A 1 ，A 2 ，…A n 分別是正方形的中心，則這n個正方形重疊部分的面積之和是（ ）
  
A．n  B．n1  C．（  ） n1  D．  n
6. 在平面中，下列命題為真命題的是（　　）
A．四個角相等的四邊形是矩形
B．只有對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，
C．對角線互相平分且垂直的四邊形是矩形
D．四邊相等的四邊形是菱形
7. 如圖，把一個長方形的紙片對折兩次，然后剪下一個角，為了得到一個鈍角為120° 的菱形，剪口與第二次折痕所成角的度數(shù)應為（　�。�
 
A．15°或30°  B．30°或45°  C．45°或60°  D．30°或60°
8. 下列性質(zhì)中，正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是
A．對角線互相垂直  B．對角線互相平分
C．對角線相等  D．四個角都是直角
9. 如圖，大正方形中有2個小正方形，如果它們的面積分別是S 1 、S 2 ，那么S 1 、S 2 的大小關系是（　�。�
 
A．S 1 ＞S 2  B．S 1 =S 2
C．S 1 ＜S 2  D．S 1 、S 2 的大小關系不確定
10. 如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，∠B=60°，BC=3，△ABE的周長為6，則等腰梯形的周長是（　　）
 
A．8  B．10  C．12  D．16
11. 下列命題正確的是（　�。�
A．同一邊上兩個角相等的梯形是等腰梯形
B．一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
C．如果順次連接一個四邊形各邊中點得到的是一個正方形，那么原四邊形一定是正方形
D．對角線互相垂直的四邊形面積等于對角線乘積的一半
12. 平行四邊形的對角線一定具有的性質(zhì)是（　�。�
A．相等  B．互相平分  C．互相垂直  D．互相垂直且相等
二、填空題
13. 已知平行四邊形的三個頂點坐標分別為（-1，0）（0，2）（2，0），則在第四象限的第四個頂點的坐標為___________。
14. 已知正方形ABCD中，點E在邊DC上，DE＝2，EC＝1（如圖），把線段AE繞點A旋轉(zhuǎn)， 使點E落在直線BC上的點F處，則F、C兩點的距離為____________ .
 
15. 已知平行四邊形ABCD中，AC，BD交于點O，若AB=6，AC=8，則BD的取值范圍是   ．
16. 如圖，菱形ABCD的兩條對角線相交于O，若AC=6，BD=4，則菱形ABCD的周長是 　_________　 ．
 
17. 如圖，矩形ABCD中，AB=2，E、F分別為AD、CD的中點，沿BE將△ABE折疊，若點A恰好落在BF上，則AD=　_________�。�
 
18. 將正三角形、正四邊形、正五邊形按如圖所示的位置擺放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2=   度．
 
三、解答題
19. 如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，點P是邊AB上的一個動點(不與點A、點B重合)，點Q在邊AD上，將△CBP和△QAP分別沿PC、PQ折疊，使B點與E點重合，A點與F點重合，且P、E、F三點共線．
（1）若點E平分線段PF，則此時AQ的長為多少？
（2）若線段CE與線段QF所在的平行直線之間的距離為2，則此時AP的長為多少？
（3）在“線段CE”、“線段QF”、“點A”這三者中，是否存在兩個在同一條直線上的情況？若存在，求出此時AP的長；若不存在，請說明理由．
 
20. 如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE．
（1）求證：CE=CF；（2）若點G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？
 
21. 如圖，矩形ABCD中，點E在CD邊的延長線上，且∠EAD=∠CAD．求證：AE=BD．
 
22. 如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩點，且AE=CF.
（1）寫出圖中所有的全等三角形；
（2）求證：BE=DF.
 
 
答案
一、選擇題
1、 B. 2、 B． 3、 D. 4、 C． 5、 B． 6、 D. 7、 D． 8、 A． 9、 A．
10、 A． 11、 D． 12、 B．
二、填空題
13、 (-3,2).
14、 1或5.
15、 4＜BD＜20．
16、   .
17、 2  ．
18、 70°．
三、解答題
19、（1）由△CBP和△QAP分別沿PC、PQ折疊，得到△QFP和△PCE，則△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE
∴PA=PF，PB=PE，∠QPA=∠QPF，∠CPB=∠CPE．
∵EF=EP，
∴AB=AP+PB=FP+PB=EF+EP+PB=3PB．
∵AB=4，
∴PB=  AB =  ，
∴AP  AB =  ．
∵180°=∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=2（∠QPA+∠CPB），
∴∠QPA+∠CPB=90°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠CPB+∠PCB=90°，
∴∠QPA=∠PCB，
∴△QAP∽△PBC，
∴  ，
∴  ，
∴  ；
（2）由題意，得PF=EP+2或EP=FP+2．
當EPPF=2時，
∵EP=PB，PF=AP，
∴PBAP=2．
∵AP+PB=4，
∴2BP=6，
∴BP=3，
∴AP=1．
當PFEP=2時，
∵EP=PB，PF=AP，
∴APPB=2．
∵AP+PB=4，
∴2AP=6．
∴AP=3．
故AP的長為1或3；
（3）①若CE與點A在同一直線上，如圖2，連接AC，點E在AC上，
 
在△AEP和△ABC中，
∠APE=∠B=90°，∠EAP=∠BAC，
∴△AEP∽△ABC，
∴  ．
設AP=x，則EP=BP=4x，
在Rt△ABC中，
∵AB=4，BC=2，
∴AC=2  ，
∴  .
解得  ．
②若CE與QF在同一直線上，如圖3，
 
∵△AQP≌△EQP，△CPB≌△CPE，
∴AP=EP=BP，
∴2AP=4，
∴AP=2．

20、（1）在正方形ABCD中，
∵  ，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE=CF；
（2）GE=BE+GD成立．理由是：
∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵  ，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
21、∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠CDA=∠EDA=90°，AC=BD．
在△ADC和△ADE中．
∵∠EAD=∠CAD
AD="AD"
∠ADE=∠ADC，
∴△ADC≌△ADE（ASA）．
∴AC=AE．
∴BD=AE．
22、（1）圖中全等的圖形有：△ADF≌△CBE，△ABE≌△CDF，△ABC≌△DCA；
（2）∵ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，
又∵AE=CF，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴BE=DF． 

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