【例題求解】
【例1】 已知在△ABC中，∠A、∠B是銳角，且sinA＝ ，tanB=2，AB=29cm，
則S△ABC = ．
思路點撥 過C作CD⊥AB于D，這樣由三角函數(shù)定義得到線段的比，sinA= ，tanB= ，設CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解題的關鍵是求出m、n的值．
注：設△ABC中，a、b、c為∠A、∠B、∠C的對邊，R為△ABC外接圓的半徑，不難證明：與銳角三角函數(shù)相關的幾個重要結論：
(1) S△ABC= ；
（2） ．
【例2】 如圖，在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，B C=1，則AC=( )
A． B． C．0.3 D．
思路點撥 由15°構造特殊角，用特殊角的三角函數(shù)促使邊角轉化．
注：（1）求(已知)非特角三角函數(shù)值的關是構造出含特殊角直角三角形．
（2）求(已知)銳角角函數(shù)值常根據(jù)定轉化為求對應線段比，有時需通過等的比來轉換．
【例3】 如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，過BC的中點D作DE⊥AB于E，連結CE，求sin∠ACE的值．
思路點撥 作垂線把∠ACE變成直角三角形的一個銳角，將問題轉化成求線段的比．
【例4】 如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cos∠DAC，
(1)求證：AC＝BD；
(2)若sinC= ，BC=12，求AD的長．
思路點撥 (1)把三角函數(shù)轉化為線段的比，利用比例線段證明；
(2) sinC= ，引入?yún)?shù)可設AD=12 ，A C＝13 ．
【例5】 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程 的兩個根．
(1)求實數(shù) 、 應滿足的條件；
(2)若 、 滿足(1)的條件，方程 的兩個根是否等于Rt△ABC中兩銳角A、B的正弦?
思路點撥 由韋達定理、三角函數(shù)關系建立 、 等式，注意判別式、三角函數(shù) 值的有界性，建立嚴密約束條件的不等式，才能準確求出實數(shù) 、 應滿足的條件．
學歷訓練
1．已知α為銳角，下列結論①sinα+cosα=l；②如果α>45°，那么sinα>cosα；③如果cosα> ，那么α<60°； ④ ．正確的有 ．
2．如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，BC=1，cosB ，則這個菱形的面積為 ．
3．如圖，∠C=90°，∠DBC=30°，AB＝BD，利用此圖可求得tan75°= ．
4．化 簡
(1) = ．
(2)sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°= ．
5．身高相等的三名同學甲、乙、丙參加風箏比賽．三人放出風箏線長、線與地面夾角如下表(假設風箏線是拉直的)，則三人所放的風箏中( )
A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低
6．已知 sinαcosα= ，且0°<α<45°則coα-sinα的值為( )
A ． B． C． D．
7．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D是AC的中點，則ctg∠DBC的值是( )
A． B． C． D．
8．如圖，在等腰Rt△ABC中．∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一點，若tan ∠DBA= ，則AD的長為( )
A． B．2 C． 1 D．
9．已知關于 的方程 的兩根恰是某直角三 角形兩銳角的正弦，求m的值．
10．如圖，D是△ABC的邊AC上的一點，CD=2AD，AE⊥BC于E，若BD＝8，sin∠CBD= ，求AE的長．
11．若0°<α<45°，且sinαconα= ，則sinα= ．
12．已知關于 的方程 有兩個不相等的實數(shù)根，α為銳角，那么α的取值范圍是 ．
13．已知是△ABC的三邊，a、b、c滿足等式 ，且有 ，則sinA+sinB+sinC的值為 ．
14．設α為銳角，且滿足sinα=3cosα，則sinαcosα等于( )
A． B． C． D．
15．如圖，若兩條寬度為1的帶子相交成30°的角，則重疊部分(圖中陰影部分)的面積是( )
A．2 B． C．1 D．
16．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，tanB= ，AC= ，則AB的長是( )
A． B． C．5 D．
17．己在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，且c= ，若關于 的方程 有兩個相等的實根，又方程 的兩實根的平方和為6，求△ABC的面積．
18．如圖，已知AB=CD=1，∠ABC＝90°，∠CBD°=30°，求AC 的長．
19．設 a、b、c是直角三角形的三邊，c為斜邊，n為正整數(shù)，試判斷 與 的關系，并證明 你的結論．
20．如圖，已知邊長為2的正三角形ABC沿直線 滾動．
(1)當△ABC滾動一周到△A lB1C1的位置，此時A點所運動的路程為 ，約為 (精確到0.1，π=3.14)
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