【例題求解】
【例1】 已知在△ABC中,∠A、∠B是銳角,且sinA= ,tanB=2,AB=29cm,
則S△ABC = .
思路點(diǎn)撥 過(guò)C作CD⊥AB于D,這樣由三角函數(shù)定義得到線段的比,sinA= ,tanB= ,設(shè)CD=5m,AC=13m,CD=2n,BD=n,解題的關(guān)鍵是求出m、n的值.
注:設(shè)△ABC中,a、b、c為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊,R為△ABC外接圓的半徑,不難證明:與銳角三角函數(shù)相關(guān)的幾個(gè)重要結(jié)論:
(1) S△ABC= ;
(2) .
【例2】 如圖,在△ABC中.∠ACB=90°,∠ABC=15°,B C=1,則AC=( )
A. B. C.0.3 D.
思路點(diǎn)撥 由15°構(gòu)造特殊角,用特殊角的三角函數(shù)促使邊角轉(zhuǎn)化.
注:(1)求(已知)非特角三角函數(shù)值的關(guān)是構(gòu)造出含特殊角直角三角形.
(2)求(已知)銳角角函數(shù)值常根據(jù)定轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)線段比,有時(shí)需通過(guò)等的比來(lái)轉(zhuǎn)換.
【例3】 如圖,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,過(guò)BC的中點(diǎn)D作DE⊥AB于E,連結(jié)CE,求sin∠ACE的值.
思路點(diǎn)撥 作垂線把∠ACE變成直角三角形的一個(gè)銳角,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求線段的比.
【例4】 如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,tanB=cos∠DAC,
(1)求證:AC=BD;
(2)若sinC= ,BC=12,求AD的長(zhǎng).
思路點(diǎn)撥 (1)把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段的比,利用比例線段證明;
(2) sinC= ,引入?yún)?shù)可設(shè)AD=12 ,A C=13 .
【例5】 已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA、sinB是方程 的兩個(gè)根.
(1)求實(shí)數(shù) 、 應(yīng)滿足的條件;
(2)若 、 滿足(1)的條件,方程 的兩個(gè)根是否等于Rt△ABC中兩銳角A、B的正弦?
思路點(diǎn)撥 由韋達(dá)定理、三角函數(shù)關(guān)系建立 、 等式,注意判別式、三角函數(shù) 值的有界性,建立嚴(yán)密約束條件的不等式,才能準(zhǔn)確求出實(shí)數(shù) 、 應(yīng)滿足的條件.
學(xué)歷訓(xùn)練
1.已知α為銳角,下列結(jié)論①sinα+cosα=l;②如果α>45°,那么sinα>cosα;③如果cosα> ,那么α<60°; ④ .正確的有 .
2.如圖,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,BC=1,cosB ,則這個(gè)菱形的面積為 .
3.如圖,∠C=90°,∠DBC=30°,AB=BD,利用此圖可求得tan75°= .
4.化 簡(jiǎn)
(1) = .
(2)sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°= .
5.身高相等的三名同學(xué)甲、乙、丙參加風(fēng)箏比賽.三人放出風(fēng)箏線長(zhǎng)、線與地面夾角如下表(假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的),則三人所放的風(fēng)箏中( )
A.甲的最高 B.丙的最高 C.乙的最低 D.丙的最低
6.已知 sinαcosα= ,且0°<α<45°則coα-sinα的值為( )
A . B. C. D.
7.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,D是AC的中點(diǎn),則ctg∠DBC的值是( )
A. B. C. D.
8.如圖,在等腰Rt△ABC中.∠C=90°,AC=6,D是AC上一點(diǎn),若tan ∠DBA= ,則AD的長(zhǎng)為( )
A. B.2 C. 1 D.
9.已知關(guān)于 的方程 的兩根恰是某直角三 角形兩銳角的正弦,求m的值.
10.如圖,D是△ABC的邊AC上的一點(diǎn),CD=2AD,AE⊥BC于E,若BD=8,sin∠CBD= ,求AE的長(zhǎng).
11.若0°<α<45°,且sinαconα= ,則sinα= .
12.已知關(guān)于 的方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,α為銳角,那么α的取值范圍是 .
13.已知是△ABC的三邊,a、b、c滿足等式 ,且有 ,則sinA+sinB+sinC的值為 .
14.設(shè)α為銳角,且滿足sinα=3cosα,則sinαcosα等于( )
A. B. C. D.
15.如圖,若兩條寬度為1的帶子相交成30°的角,則重疊部分(圖中陰影部分)的面積是( )
A.2 B. C.1 D.
16.如圖,在△ABC中,∠A=30°,tanB= ,AC= ,則AB的長(zhǎng)是( )
A. B. C.5 D.
17.己在△ABC中,a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊,且c= ,若關(guān)于 的方程 有兩個(gè)相等的實(shí)根,又方程 的兩實(shí)根的平方和為6,求△ABC的面積.
18.如圖,已知AB=CD=1,∠ABC=90°,∠CBD°=30°,求AC 的長(zhǎng).
19.設(shè) a、b、c是直角三角形的三邊,c為斜邊,n為正整數(shù),試判斷 與 的關(guān)系,并證明 你的結(jié)論.
20.如圖,已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC沿直線 滾動(dòng).
(1)當(dāng)△ABC滾動(dòng)一周到△A lB1C1的位置,此時(shí)A點(diǎn)所運(yùn)動(dòng)的路程為 ,約為 (精確到0.1,π=3.14)
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