基本不等式

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高二 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)


第04講: 基本不等式
高考《考試大綱》的要求:
① 了解基本不等式的證明過程
② 會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(。┲祮栴}
(一)基礎(chǔ)知識(shí)回顧:
1.定理1. 如果a,b ,那么 ,(當(dāng)且僅當(dāng)_______時(shí),等號(hào)成立).

2.定理2(基本不等式):如果a,b>0,那么______________(當(dāng)且僅當(dāng)_______時(shí),等號(hào)成立).
稱_______為a,b的算術(shù)平均數(shù),_____為a,b的幾何平均數(shù)。基本不等式又稱為________.
3. 基本不等式的幾何意義是:_________不小于_________. 如圖

4.利用基本不等式求最大(小)值時(shí),要注意的問題:(一“正”;二“定”;三“相等”)
即: (1)和、積中的每一個(gè)數(shù)都必須是正數(shù);
(2)求積的最大值時(shí),應(yīng)看和是否為定值;求和的最小值時(shí),應(yīng)看積是否為定值,;
簡(jiǎn)記為:和定積最_____,積定和最______.
(3)只有等號(hào)能夠成立時(shí),才有最值。
(二)例題分析:
例1.(2006陜西)設(shè)x、y為正數(shù),則有(x+y)(1x+4y)的最小值為( )
A.15 B.12C.9 D.6

例2.函數(shù) 的值域是_________________________.


 例3(2001江西、陜西、天津,全國(guó)、理) 設(shè)計(jì)一幅宣傳畫,要求畫面面積為4840cm2,畫面的寬與高的比為 ,畫面的上、下各有8cm空白,左、右各有5cm空白,怎樣確定畫面的高與寬尺寸,能使宣傳畫所用紙張的面積最。

(三)基礎(chǔ)訓(xùn)練:
1.設(shè) 且 則必有( )
(A) (B)
(C) (D)

2.(2004湖南理)設(shè)a>0, b>0,則以下不等式中不恒成立的是( )
(A) ≥4 (B) ≥
(C) ≥ (D) ≥
3.(2001春招北京、內(nèi)蒙、安徽、理)若 為實(shí)數(shù),且 ,則 的最小值是( )
(A)18 (B)6(C) (D)

4. 已知a,b ,下列不等式中不正確的是( )
。ˋ) (B)
(C) (D)
5.(2005福建)下列結(jié)論正確的是( )
A.當(dāng) B.
C. 的最小值為2D.當(dāng) 無最大值

6. 已知兩個(gè)正實(shí)數(shù) 滿足關(guān)系式 , 則 的最大值是_____________.


7.若 且 則 中最小的一個(gè)是__________.


8.(2005北京春招、理)經(jīng)過長(zhǎng)期觀測(cè)得到:在交通繁忙的時(shí)段內(nèi),某公路段汽車的車流量 (千輛/小時(shí))與汽車的平均速度 (千米/小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為: 。
(1)在該時(shí)段內(nèi),當(dāng)汽車的平均速度 為多少時(shí),車流量最大?最大車流量為多少?(精確到 千輛/小時(shí))
(2)若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/小時(shí),則汽車站的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)?

(四)拓展訓(xùn)練:
1.(2000全國(guó)、江西、天津、廣東)若 ,P= ,Q= ,R= ,則( )
(A)R<P<Q  (B)P<Q<R。–)Q<P<R 。―)P<R<Q


2.若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3,分別求ab與a+b的取值范圍。

參考答案
第04講: 基本不等式
(二)例題分析: 例1. C; 例2. ;
例3解:設(shè)畫面高為x cm,寬為λx cm,則λ x2 = 4840.
設(shè)紙張面積為S,有S = (x+16) (λ x+10)= λ x2+(16λ+10) x+160,
將 代入上式,得 .
當(dāng) 時(shí),即 時(shí),S取得最小值.
此時(shí),高: ,寬: .
答:畫面高為88cm,寬為55cm時(shí),能使所用紙張面積最。
(三)基礎(chǔ)訓(xùn)練: 1. B; 2. B; 3. B; 4. B 5.B; 6. 2 ; 7.
8. 解:(Ⅰ)依題意,

(Ⅱ)由條得
整理得v2-89v+1600<0, 即(v-25)(v-64)<0, 解得25<v<64.
答:當(dāng)v=40千米/小時(shí),車流量最大,最大車流量約為11.1千輛/小時(shí).如果要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/小時(shí),則汽車的平均速度應(yīng)大于25千米/小時(shí)且小于64千米/小時(shí).

(四)拓展訓(xùn)練:1. B;
2.解:因?yàn)閍、b是正數(shù),所以 ,即 ,
法一:令 ,則 ,由ab=a+b+3≥2 +3,得 ,(t>0)
解得t≥3, 即 ,所以ab≥9,a+b=ab-3≥6.
法二:令 ,則由ab=a+b+3可知a+b+3 = ,得 ,(x>0)
整理得 ,又x>0,解得x≥6,即a+b≥6,所以ab=a+b+3≥9.

答: ab與a+b的取值范圍分別是 與 。




本文來自:逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaoer/34294.html

相關(guān)閱讀:一元二次不等式的應(yīng)用