證明：（1） ，左 右
（2）假設(shè)n=k時(shí)成立
即：
當(dāng) 時(shí)，左=
右即 時(shí)成立
綜上所述由（1）（2）對(duì)一切 ， 命題成立
[例2] 對(duì)于 ，求證： ，可被 整除。
證明：（1） ，左 成立
（2）假設(shè)n=k時(shí)成立即：
當(dāng) 時(shí)，
∴ 時(shí)成立
綜上所述由（1）（2）對(duì)一切
[例3] 求證： ， 可被17整除。
證明：（1）n=0，左=15+2=17成立
（2）假設(shè)n=k成立即 ，M∈N
當(dāng) 時(shí)，
[例4]數(shù)列 滿足 ， ，求 。
解： ，
∴ 推測(cè)
證明：（1）n=1成立
（2）假設(shè)n=k成立即
當(dāng) 時(shí)，
∴ 成立綜上所述對(duì)一切 ， 成立
[例5] （ 為常數(shù)），試判斷 是否為數(shù)列 中的一項(xiàng)。
證明： 推測(cè)
（1） 成立
（2）假設(shè)n=k成立即 ， 時(shí)，
成立綜上所述對(duì)一切 ， 成立
∴ p不是 中的一項(xiàng)
[例6] 數(shù)列 滿足 （1）求證： 對(duì)一切 成立；（2）令 ， ，試比較 與 大小關(guān)系。
（1）① 成立
② 假設(shè)n=k時(shí)成立，即
當(dāng)n=k+1時(shí)，
∴ ∴ 時(shí)成立綜上所述由①②對(duì)一切 ，
（2） ∴ ，
7. 函數(shù) 的最大值不大于 ，又 時(shí)， （1）求
（2）設(shè) ， ，求證：
8． 為常數(shù)， 證明對(duì)任意
7. 證明： （1）n=1 成立
（2）假設(shè) 時(shí)成立即 ，當(dāng)n=k+1時(shí)，
∴ 成立綜上所述對(duì)一切 ，
8. 證明：（1）n=1， 成立
（2）假設(shè)n=k時(shí)成立即
當(dāng) 時(shí)，
∴ 成立
綜上所述對(duì)一切 命題成立
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