高三數(shù)學練習題及答案:解三角形

編輯: 逍遙路 關鍵詞: 高三 來源: 高中學習網(wǎng)

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  一、選擇題

  1.在△ABC中,sinA=sinB,則△ABC是()

  A.直角三角形B.銳角三角形

  C.鈍角三角形D.等腰三角形

  答案D

  2.在△ABC中,若acosA=bcosB=ccosC,則△ABC是()

  A.直角三角形B.等邊三角形

  C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

  答案B

  解析由正弦定理知:sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC,

  ∴tanA=tanB=tanC,∴A=B=C.

  3.在△ABC中,sinA=34,a=10,則邊長c的取值范圍是()

  A.152,+∞B.(10,+∞)

  C.(0,10)D.0,403

  答案D

  解析∵csinC=asinA=403,∴c=403sinC.

  ∴0

  4.在△ABC中,a=2bcosC,則這個三角形一定是()

  A.等腰三角形B.直角三角形

  C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

  答案A

  解析由a=2bcosC得,sinA=2sinBcosC,

  ∴sin(B+C)=2sinBcosC,

  ∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,

  ∴sin(B-C)=0,∴B=C.

  5.在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,則sinA∶sinB∶sinC等于()

  A.6∶5∶4B.7∶5∶3

  C.3∶5∶7D.4∶5∶6

  答案B

  解析∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,

  ∴b+c4=c+a5=a+b6.

  令b+c4=c+a5=a+b6=k(k>0),

  則b+c=4kc+a=5ka+b=6k,解得a=72kb=52kc=32k.

  ∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.

  6.已知三角形面積為14,外接圓面積為π,則這個三角形的三邊之積為()

  A.1B.2

  C.12D.4

  答案A

  解析設三角形外接圓半徑為R,則由πR2=π,

  得R=1,由S△=12absinC=abc4R=abc4=14,∴abc=1.

  二、填空題

  7.在△ABC中,已知a=32,cosC=13,S△ABC=43,則b=________.

  答案23

  解析∵cosC=13,∴sinC=223,

  ∴12absinC=43,∴b=23.

  8.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A=60°,a=3,b=1,則c=________.

  答案2

  解析由正弦定理asinA=bsinB,得3sin60°=1sinB,

  ∴sinB=12,故B=30°或150°.由a>b,

  得A>B,∴B=30°,故C=90°,

  由勾股定理得c=2.

  9.在單位圓上有三點A,B,C,設△ABC三邊長分別為a,b,c,則asinA+b2sinB+2csinC=________.

  答案7

  解析∵△ABC的外接圓直徑為2R=2,

  ∴asinA=bsinB=csinC=2R=2,

  ∴asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.

  10.在△ABC中,A=60°,a=63,b=12,S△ABC=183,則a+b+csinA+sinB+sinC=________,c=________.

  答案126

  解析a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.

  ∵S△ABC=12absinC=12×63×12sinC=183,

  ∴sinC=12,∴csinC=asinA=12,∴c=6.

  三、解答題

  11.在△ABC中,求證:a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.

  證明因為在△ABC中,asinA=bsinB=csinC=2R,

  所以左邊=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA

  =sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右邊.

  所以等式成立,即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.

  12.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,試判斷△ABC的形狀.

  解設三角形外接圓半徑為R,則a2tanB=b2tanA

  ⇔a2sinBcosB=b2sinAcosA

  ⇔4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA

  ⇔sinAcosA=sinBcosB

  ⇔sin2A=sin2B

  ⇔2A=2B或2A+2B=π

  ⇔A=B或A+B=π2.

  ∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.

  能力提升

  13.在△ABC中,B=60°,最大邊與最小邊之比為(3+1)∶2,則最大角為()

  A.45°B.60°C.75°D.90°

  答案C

  解析設C為最大角,則A為最小角,則A+C=120°,

  ∴sinCsinA=sin120°-AsinA

  =sin120°cosA-cos120°sinAsinA

  =32tanA+12=3+12=32+12,

  ∴tanA=1,A=45°,C=75°.

  14.在△ABC中,a,b,c分別是三個內(nèi)角A,B,C的對邊,若a=2,C=π4,

  cosB2=255,求△ABC的面積S.

  解cosB=2cos2B2-1=35,

  故B為銳角,sinB=45.

  所以sinA=sin(π-B-C)=sin3π4-B=7210.

  由正弦定理得c=asinCsinA=107,

  所以S△ABC=12acsinB=12×2×107×45=87.

  1.在△ABC中,有以下結論:

  (1)A+B+C=π;

  (2)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC;

  (3)A+B2+C2=π2;

  (4)sinA+B2=cosC2,cosA+B2=sinC2,tanA+B2=1tanC2.

  2.借助正弦定理可以進行三角形中邊角關系的互化,從而進行三角形形狀的判斷、三角恒等式的證明.


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