2013年全國各地高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編5：數(shù)列
一、選 擇題
1 ．（2013年高考大綱卷（文））已知數(shù)列 滿足 （ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
2 ．（2013年高考安徽（文））設(shè) 為等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和, ,則 =（ �。�
A． B． C． D．2
【答案】A
3 ．（2013年高考課標(biāo)Ⅰ卷（文））設(shè)首項(xiàng)為 ,公比為 的等比數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4 ．（2013年高考遼寧卷（文））下面是關(guān)于公差 的等差數(shù)列 的四個(gè)命題:
其中的真命題為（ �。�
A． B． C． D．
【答案】D
二、題
5 ．（2013年高考重慶卷（文））若2、 、 、 、9成等差數(shù)列,則 ____________.
【答案】
6 ．（2013年高考北京卷（文））若等比數(shù)列 滿足 ,則公比 =__________;前 項(xiàng)和 =_____.
【答案】2,
7 ．（2013年高考廣東卷（文））設(shè)數(shù)列 是首項(xiàng)為 ,公比為 的等比數(shù)列,則 ________
【答案】
8 ．（2013年高考江西卷（文））某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵樹是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于_____________.
【答案】6
9 ．（2013年高考遼寧卷（文））已知等比數(shù)列 是遞增數(shù)列, 是 的前 項(xiàng)和,若 是方程 的兩個(gè)根,則 ____________.
【答案】63
10．（2013年高考陜西卷（文））觀察下列等式:
照此規(guī)律, 第n個(gè)等式可為________.
【答案】
11．（2013年上海高考數(shù)學(xué)試題（文科））在等差數(shù)列 中,若 ,則 _________.
【答案】15
三、解答題
12．（2013年高考福建卷（文））已知等差數(shù)列 的公差 ,前 項(xiàng)和為 .
(1)若 成等比數(shù)列,求 ;
(2)若 ,求 的取值范圍.
【答案】解:(1)因?yàn)閿?shù)列 的公差 ,且 成等比數(shù)列,
所以 ,
即 ,解得 或 .
(2)因?yàn)閿?shù)列 的公差 ,且 ,
所以 ;
即 ,解得
13．（2013年高考大綱卷（文））等差數(shù)列 中,
(I)求 的通項(xiàng)公式;
(II)設(shè)
【答案】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列 的公差為d,則
因?yàn)?,所以 .
解得, .
所以 的通項(xiàng)公式為 .
(Ⅱ) ,
所以 .
14．（2013年高考湖北卷（文））已知 是等比數(shù)列 的前 項(xiàng)和, , , 成等差數(shù)列,且 .
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)是否存在正整數(shù) ,使得 ?若存在,求出符合條件的所有 的集合;若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ)設(shè)數(shù)列 的公比為 ,則 , . 由題意得
即
解得
故數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)有 .
若 存在 ,使得 ,則 ,即
當(dāng) 為偶數(shù)時(shí), , 上式不成立;
當(dāng) 為奇數(shù)時(shí), ,即 ,則 .
綜上,存在符合條件的正整數(shù) ,且所有這樣的n的集合為 .
15．（2013年高考湖南（文））設(shè) 為數(shù)列{ }的前項(xiàng)和,已知 ,2 , N
(Ⅰ)求 , ,并求數(shù)列{ }的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)求數(shù)列{ }的前 項(xiàng)和 .
【答案】解: (Ⅰ)
-
(Ⅱ)
上式左右錯(cuò)位相減:
.
16．（2013年高考重慶卷（文））(本小題滿分13分,(Ⅰ)小問7分,(Ⅱ)小問6分)
設(shè)數(shù)列 滿足: , , .
(Ⅰ)求 的通項(xiàng)公式及前 項(xiàng)和 ;
(Ⅱ)已知 是等差數(shù)列, 為前 項(xiàng)和,且 , ,求 .
【答案】
17．（2013年高考天津卷（文））已知首項(xiàng)為 的等比數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 , 且 成等差數(shù)列.
(Ⅰ) 求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ) 證明 .
【答案】
18．（2013年高考北京卷（文））本小題 共13分)給定數(shù)列 .對(duì) ,該數(shù)列前 項(xiàng)的最大值記為 ,后 項(xiàng) 的最小值記為 , .
(Ⅰ)設(shè)數(shù)列 為3,4,7,1,寫出 , , 的值;
(Ⅱ)設(shè) ( )是公比大于1的等比數(shù)列,且 .證明:
, ,, 是等比數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè) , ,, 是公差大于0的等差數(shù)列,且 ,證明: , ,, 是等差 數(shù)列
【答案】解:(I) .
(II)因?yàn)?,公比 ,所以 是遞增數(shù)列.
因此,對(duì) , , .
于是 對(duì) , .
因此 且 ( ),即 , ,, 是等比數(shù)列.
(III)設(shè) 為 , ,, 的公差.
對(duì) ,因?yàn)?, ,所以 = .
又因?yàn)?,所以 .
從而 是遞增數(shù)列,因此 ( ).
又因?yàn)?,所以 .
因此 . 所以 .
所以 = .
因此對(duì) 都有 ,即 , ,, 是等差數(shù)列.
19．（2013年高考山東卷（文））設(shè)等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 , 且 ,
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列 滿足 ,求 的前 項(xiàng)和
【答案】
20．（2013年高考浙江卷（文））在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求d,an; (Ⅱ) 若d<0,求a1+a2+a3++an .
【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:
;
(Ⅱ)由(1)知,當(dāng) 時(shí), ,
①當(dāng) 時(shí),
②當(dāng) 時(shí),
所以,綜上所述: ;
21．（2013年高考四川卷（文））在等比數(shù)列 中, ,且 為 和 的等差中項(xiàng),求數(shù)列 的首項(xiàng)、公比及前 項(xiàng)和.
【答案】解:設(shè) 的公比為q.由已知可得
, ,
所以 , ,解得 或 ,
由于 .因此 不合題意,應(yīng)舍去,
故公比 ,首項(xiàng) .
所以,數(shù)列的前 項(xiàng)和
22．（2013年高考廣東卷（文））設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,滿足 且 構(gòu)成等比數(shù)列.
(1) 證明: ;
(2) 求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(3) 證明:對(duì)一切正整數(shù) ,有 .
【答案】(1)當(dāng) 時(shí), ,
(2)當(dāng) 時(shí), ,
,
當(dāng) 時(shí), 是公差 的等差數(shù)列.
構(gòu)成等比數(shù)列, , ,解得 ,
由(1)可知,
是首項(xiàng) ,公差 的等差數(shù)列.
數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 .
(3)
23．（2013年高考安徽（文））設(shè)數(shù)列 滿足 , ,且對(duì)任意 ,函數(shù) 滿足
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若 ,求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
【答案】解:由
所以,
是等差數(shù)列.
而
24．（2013年高考課標(biāo)Ⅱ卷（文））已知等差數(shù)列 的公 差不為零,a1=25,且a1,a11,a1 3成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求 .
【答案】
25．（2013年高考江西卷（文））正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足 .
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)令 ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
【答案】解:
由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列,則 .
(2)由(1)知 ,故
26．（2013年高考陜西卷（文））
設(shè)Sn表示數(shù)列 的前n項(xiàng)和.
(Ⅰ) 若 為等差數(shù)列, 推導(dǎo)Sn的計(jì)算公式;
(Ⅱ) 若 , 且對(duì)所有正整數(shù)n, 有 . 判斷 是否為等比數(shù)列.
【答案】解:(Ⅰ) 設(shè)公差為d,則
.
(Ⅱ) .
.
所以, 是首項(xiàng) ,公比 的等比數(shù)列.
27．（2013年上海高考數(shù)學(xué)試題（文科））本題共有3個(gè)小題.第1小題滿分3分,第2小題滿分5分,第3小題滿分8分.
已知函數(shù) .無窮數(shù)列 滿足 .
(1)若 ,求 , , ;
(2)若 ,且 , , 成等比數(shù)列,求 的值;
(3)是否存在 ,使得 , , ,, 成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的 ;若不存在,說明理由.
【答案】
28．（2013年高考課標(biāo)Ⅰ卷（文））已知等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和 滿足 , .
(Ⅰ)求 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列 的前 項(xiàng)和.
【答案】(1)設(shè){a }的公差為d,則S = .
由已知可得
(2)由(I)知
從而數(shù)列 . 文
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