2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 5-2 平面向量基本定理及向量的坐但因?yàn)闇y試 新人教B版

1.()(2011•合肥二模)設(shè)平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，則a－2b＝(　　)
A．(7,3)　　　 　　　　B．(7,7)
C．(1 ,7) D．(1,3)
[答案]　A
[解析]　依題意得a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)，選A.
(理)(2011•寧波十校聯(lián)考)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，)，且a∥b，則2a＋3b＝(　　)
A．(－2，－4)　　　　 　B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
[答案]　C
[解析]　由a＝(1,2)，b＝(－2，)，且a∥b，得1×＝2×(－2)⇒＝－4，從而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．
2．(2011•蚌埠二中質(zhì)檢)已知點(diǎn)A(－1,0)，B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若AB→⊥a，則實(shí)數(shù)k的值為(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案]　B
[解析]　AB→＝(2,3)， ∵AB→⊥a，
∴2(2k－1)＋3×2＝0，
∴k＝－1，∴選B.
3．(2011•嘉興模擬)已知a，b是不共線的向量，AB→＝λa＋b，AC→＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件為(　　)
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
[答案]　D
[解析]　∵AB→與AC→共線，a與b不共線，
∴λμ－1＝0，故選D.
4．(2011•西安質(zhì)檢)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝(　　)
A．(79，73) B．(－73，－79)
C．(73，79) D．(－79，－73)
[答案]　D
[解析]　不妨設(shè)c＝(，n)，則a＋c＝(1＋,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，因?yàn)?c＋a)∥b，則有－3×(1＋)＝2×(2＋n)．又c⊥(a＋b)，則有3－n＝0，解得＝－79，n＝－73.
5．(2011•東高考調(diào)研)已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)P為四邊形內(nèi)部或者邊界上任意一點(diǎn)，向量AP→＝xAB→＋yAD→，則“0≤x≤12，0≤y≤23”的概率是(　　)
A.13 B.23
C.14 D.12
[答案]　A
[解析]　

根據(jù)平面向量基本定理，點(diǎn)P只要在如圖所示的區(qū)域AB1C1D1內(nèi)即可，這個區(qū)域的面積是整個四邊形面積的12×23＝13，故所求的概率是13.
6．()(2010•合肥市質(zhì)檢)如圖，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD與BE交于F，設(shè)AB→＝a，AC→＝b，AF→＝xa＋yb，則(x，y)為(　　)

A.12，12 B.23，23
C.13，13 D.23，12
[答案]　C
[解析]　設(shè)CF→＝λCD→，∵E、D分別為AC、AB的中點(diǎn)，
∴BE→＝BA→＋AE→＝－a＋12b，
BF→＝BC→＋CF→＝(b－a)＋λ(12a－b)
＝12λ－1a＋(1－λ)b，
∵BE→與BF→共線，∴12λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23，
∴AF→＝AC→＋CF→＝b＋23CD→＝b＋2312a－b
＝13a＋13b，故x＝13，y＝13.
(理)在平行四邊形ABCD中，AE→＝13AB→，AF→＝14AD→，CE與BF相交于G點(diǎn)．若AB→＝a，AD→＝b，則AG→＝(　　)
A.27a＋17b B.27a＋37b
C.37a＋17b D.47a＋27b
[答案]　C
[解析]　∵B、G、F三點(diǎn)共線，
∴AG→＝λAF→＋(1－λ)AB→＝14λb＋(1－λ)a.
∵E、G、C三點(diǎn)共線，
∴AG→＝μAE→＋(1－μ)AC→＝13μa＋(1－μ)(a＋b)．
由平面向量基本定理得，λ4＝1－μ1－λ＝1－23μ，
∴λ＝47μ＝67，∴AG→＝37a＋17b.
7． ()(2011•杭州模擬)已知向量a＝(sinx,1)，b＝(cosx，－3)，且a∥b，則tanx＝________.
[答案]　－13
[解析]　∵a∥b，∴sinxcosx＝1－3，
∴tanx＝－13.
(理)已知a＝(2，－3)，b＝(sinα，cos2α)，α∈－π2，π2，若a∥b，則tanα＝________.
[答案]　－33
[解析]　∵a∥b，∴sinα2＝cos2α－3，∴2cos2α＝－3sinα，
∴2sin2α－3sinα－2＝0，
∵sinα≤1，∴sinα＝－12，
∵α∈－π2，π2，∴cosα＝32，∴tanα＝－33.
8．(2011•海南質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC.已知點(diǎn)A(－2,0)，B(6,8)，C(8，6)，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為________．
[答案]　(0，－2)
[解析]　由條件中的四邊形ABCD的對邊分別平行，可以判斷該四邊形ABCD是平行四邊形．設(shè)D(x，y)，則有AB→＝DC→，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)．
9．()(2011•北京朝陽區(qū)模擬)如圖，在△ABC中，D、E 分別是BC、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且AB→＝4AF→，若AD→＝xAF→＋yAE→，則x＝________，y＝________.

[答案]　2　1
[解析]　

(如圖)因?yàn)锳D→＝AE→＋ED→
＝AE→＋12AB→＝AE→＋12×4AF→
＝AE→＋2AF→.
所以x＝2 ，y＝1.
(理)(2011•江蘇徐州市質(zhì)檢)在△ABC中，過中線AD的中點(diǎn)E任作一條直線分別交AB，AC于，N兩點(diǎn)，若A→＝xAB→，AN→＝y(tǒng)AC→，則4x＋y的最小值為________．
[答案]　94
[解析]　

如圖所示，由題意知AD→＝12(AB→＋AC→)，AE→＝12AD→，
又，E，N三點(diǎn)共線，
所以AE→＝λA→＋(1－λ)AN→(其中0<λ<1)，
又A→＝xAB→，AN→＝y(tǒng)AC→，
所以14(AB→＋AC→)＝λxAB→＋(1－λ)yAC→，
因此有4λx＝1，41－λy＝1，解得x＝14λ，y＝141－λ，
令1λ＝t，∴t>1，
則4x＋y＝1λ＋141－λ＝t＋t4t－1
＝(t－1)＋14t－1＋54≥94，
當(dāng)且僅當(dāng)t＝32，即λ＝23時取得等號．
10．()已知O(0,0)、A(2，－1)、B(1,3)、OP→＝OA→＋tOB→，求
(1)t為何值時，點(diǎn)P在x軸上？點(diǎn)P在y軸上？點(diǎn)P在第四象限？
(2)四點(diǎn)O、A、B、P能否成為平行四邊形的四個頂點(diǎn)，說明你的理由．
[解析]　(1)OP→＝OA→＋tOB→＝(t＋2,3t－1)．
若點(diǎn)P在x軸上，則3t－1＝0，∴t＝13；
若點(diǎn)P在y軸上，則t＋2＝0，∴t＝－2；
若點(diǎn)P在第四象限，則t＋2>03t－1<0，∴－2<t<13.
(2)OA→ ＝(2，－1)，PB→＝(－t－1，－3t＋4)．
若四邊形OABP為平行四邊形，則OA→＝PB→.
∴－t－1＝2－3t＋4＝－1無解．
∴ 四邊形OABP不可能為平行四邊形．
同理可知，當(dāng)t＝1時，四邊形OAPB為平行四邊形，當(dāng)t＝－1時，四邊形OPAB為平行四邊形．
(理)(2011•杭州市質(zhì)檢)已知向量a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)，設(shè)＝a＋tb(t為實(shí)數(shù))．
(1)若α＝π4，求當(dāng)取最小值時實(shí)數(shù)t的值；
(2)若a⊥b，問：是否存在實(shí)數(shù)t，使得向量a－b和向量的夾角為π4，若存在，請求出t；若不存在，請說明理由．
[解析]　(1)∵α＝π4，∴b＝(22，22)，a•b＝322，
∴＝a＋tb2＝5＋t2＋2ta•b
＝t2＋32t＋5＝t＋3222＋12，
∴當(dāng)t＝－322時，取到最小值，最小值為22.
(2)由條件得cosπ4＝a－b•a＋tba－ba＋tb，
∵a－b＝a－b2＝6，a＋tb＝a＋tb2＝5＋t2，(a－b)•(a＋tb)＝5－t，
∴5－t65＋t2＝22，且t<5，
∴t2＋5t－5＝0，∴存在t＝－5±352滿足條件.

11.()(2011•遼寧，3)已知向量a＝ (2,1)，b＝(－1，k)，a•(2a－b)＝0，則k＝(　　)
A．－ 12 B．－6
C．6 D．12
[答案]　D
[解析]　∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)
∴a•(2a－b)＝(2,1)•(5,2－k)＝10＋2－k＝0
∴k＝12.
(理)(2011•湖南十二校第二次聯(lián)考)平面上有四個互異的點(diǎn)A、B、C、D，滿足(AB→－BC→)•(AD→－CD→)＝0，則三角形ABC是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
[答案]　B
[解析]　(AB→－BC→)•(AD→－CD→)
＝(AB→－BC→)•(AD→＋DC→)
＝(AB→－BC→)•AC→＝(AB→－BC→)•(AB→＋BC→)
＝AB→2－BC→2＝0，
故AB→＝BC→，即△ABC是等腰三角形．
12．(2011•青島模擬)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，記向量AB→＝a，AC→＝b，則AD→＝(　　)

A.2a－(1＋22)b
B．－2a＋(1＋22)b
C．－2a＋(1－22)b
D.2a＋(1－22)b
[答案 ]　B
[解析]　

根據(jù)題意可得△ABC為等腰直角三角形，由∠BCD＝13 0°，得∠ACD＝135°－45°＝90°，以B為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，BC所在直線為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，并作DE⊥y軸于點(diǎn)E，則△CDE也為等腰直角三角形，由CD＝1，得CE＝ED＝22，則A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D(22，1＋22)，∴AB→＝(－1,0)，AC→＝(－1,1)，AD→＝(22－1,1＋22)，令A(yù)D→＝λAB→＋μAC→，
則有－λ－μ＝22－1μ＝1＋22，得λ＝－2μ＝1＋22，
∴AD→＝－2a＋(1＋22)b.
13.如圖所示，設(shè)P、Q為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且AP→＝25AB→＋15AC→，AQ→＝23AB→＋14AC→，則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為________．
[答案]　45
[分析]　因三角形的面積與底和高有關(guān)，所以可利用“同底三角形面積比等于高之比”的結(jié)論計(jì)算待求三角形的面積比．題設(shè)條件中用AB→和AC→給出了點(diǎn)P和點(diǎn)Q，故可利用AP→和AQ→構(gòu)造平行四邊形將面積比轉(zhuǎn)化為向量長度的比解決．
[解析]　根據(jù)題意，設(shè)A→＝25AB→，AN→＝15AC→，則由平行四邊形法則，得AP→＝A→＋AN→，且APN為平行四邊形，于是NP∥AB，所以S△ABPS△ABC＝AN→AC→＝15，同理，可得S△ABQS△ABC＝14.故S△ABPS△ABQ＝ 45.
14．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知c＝2b，向量＝sinA，32，n＝(1，sinA＋3cosA)，且與n共線．
(1)求角A的大��；
(2)求ac的值．
[解析]　(1)∵∥n，∴sinA(sinA＋3cosA)－32＝0，即sin2A－π6＝1.
∵A∈(0，π)，∴2A－π6∈－π6，11π6.
∴2A－π6＝π2.∴A＝π3.
( 2)由余弦定理及c＝2b、A＝π3得，
a2＝c22＋c2－2•c2•ccosπ3，
a2＝34c2，∴ac＝32.
15．()已知圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及定點(diǎn)A(1,1)，為圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段A上，且A→＝2AN→，求動點(diǎn)N的軌跡方程．
[解析]　設(shè)N(x，y)，(x0，y0)，則由A→＝2AN→得
(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，
∴1－x0＝2x－21－y0＝2y－2，即x0＝3－2xy0＝3－2y，
代入(x－3)2＋(y－3)2＝4，得x2＋y2＝1.
(理)已知⊙C：(x＋2)2＋(y－1)2＝9及定點(diǎn)A(－1,1)，是⊙C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在射線A上，且A＝2N，動點(diǎn)N的軌跡為C，求曲線C的方程．
[解析]　設(shè)N(x，y)，(x0，y0)，∵N在射線A上，且A＝2N，∴A→＝2N→或A→＝－2N→，
A→＝(x0＋1，y0－1)，N→＝(x－x0，y－y0)，
∴x0＋1＝2x－x0y0－1＝2y－y0或x0＋1＝－2x－x0y0－1＝－2y－y0，
∴x0＝132x－1y0＝132y＋1或x0＝2x＋1y0＝2y－1，
代入圓方程中得(2x＋5)2＋(2y－2)2＝81或
(2x＋3)2＋(2y－2)2＝9.
16．設(shè)a、b是不共線的兩個非零向量，
(1)若OA→＝2 a－b，OB→＝3a＋b，OC→＝a－3b，求證：A、B、C三點(diǎn)共線；
(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實(shí)數(shù)k的值；
(3)設(shè)O→＝a，ON→＝nb，OP→＝αa＋βb，其中、n、α、β均為實(shí)數(shù)，≠0，n≠0，若、P、N三點(diǎn)共線，求證：α＋βn＝1.
[證明]　(1)∵AB→＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b. 而BC→＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2AB→，
∴AB→與BC→共線，且有公共端點(diǎn)B，∴A、B、C三點(diǎn)共線．
(2)∵8a＋kb與ka＋2b共線，∴存在實(shí)數(shù)λ使得
(8a＋kb)＝λ(ka＋2b)⇒(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，
∵a與b不共線，∴8－λk＝0，k－2λ＝0⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，
∴k＝2λ＝±4.
(3)解法1：∵、P、N三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得P→＝λPN→，∴OP→＝O→＋λON→1＋λ＝1＋λa＋λn1＋λb
∵a、b不共線，
∴α＝1＋λ，β＝λn1＋λ∴α＋βn＝11＋λ＋λ1＋λ＝1.
解法2：∵、P、N三點(diǎn)共線，∴OP→＝xO→＋yON→且x＋y＝1，
由已知可得：xa＋ynb＝αa＋βb，
∴x＝α，y＝βn，∴α＋βn＝1.

1．(2011•長沙二檢)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，則c＝(　　)
A．3a＋b B．3a－b
C．－a＋3b D．a(chǎn)＋3b
[答案]　B
[解析]　由已知可設(shè)c＝xa＋yb⇒4＝x－y2＝x＋y⇒x＝3y＝－1，故選B.
2．(2010•河南許昌調(diào)研，2011•深圳模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，設(shè)向量OA→＝a，OB→＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若OC→＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，C點(diǎn)的所有可能位置區(qū)域用陰影表示正確的是(　　)

[答案]　A
[解析]　OC→＝λa＋μb＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，
令OC→＝(x，y)，則x－y＝(3λ＋μ)－(λ＋3μ)
＝2(λ－μ)≤0，
∴點(diǎn)C對應(yīng)區(qū)域在直線y＝x的上方，故選A.
3．已知G是△ABC的重心，直線EF過點(diǎn)G且與邊AB、AC分別交于點(diǎn)E、F，AE→＝αAB→，AF→＝βAC→，則1α＋1β＝________.
[答案]　3
[解析]　連結(jié)AG并延長交BC于D，∵G是△ABC的重心，∴AG→＝23AD→＝13(AB→＋AC→)，設(shè)EG→＝λGF→，
∴AG→－AE→＝λ(AF→－AG→)，∴AG→＝11＋λAE→＋λ1＋λAF→，
∴13AB→＋13AC→＝α1＋λAB→＋λβ1＋λAC→，
∴α1＋λ＝13λβ1＋λ＝13，∴1α＝31＋λ1β＝3λ1＋λ，∴1α＋1β＝3.
4．已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，、N是AB、AC的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，N與AD交于點(diǎn)F，求DF→.
[解析]　因?yàn)锳(7,8)，B(3,5)，C(4,3)
所以AB→＝(－4，－3)，AC＝(－3，－5)．
又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，有AD→＝12(AB→＋AC→)＝(－3.5，－4)，而、N分別為AB、AC的中點(diǎn)，所以F為AD的中點(diǎn)，故有DF→＝12DA→＝－12AD→＝(1.75,2)．
[點(diǎn)評]　注意向量表示的中點(diǎn)公式，是A、B的中點(diǎn)，O是任一點(diǎn)，則O→＝12(OA→＋OB→)．
5.如圖所示，△ABC中，點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN＝2NC，A與BN相交于點(diǎn)P，求AP?P的值．
[解析]　設(shè)B→＝e1，CN→＝e2，則A→＝AC→＋C→＝－3e2－e1，BN→＝2e1＋e2，∵A、P、和B、P、N分別共線，
∴存在λ、μ∈R，使AP→＝λA→＝－λe1－3λe2，
BP→＝μBN→＝2μe1＋μe2.
故BA→＝BP→－AP→＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，
而BA→＝BC→＋CA→＝2e1＋3e2，
∴由平面向量基本定理得λ＋2μ＝23λ＋μ＝3，∴λ＝45μ＝35，
∴AP→＝45A→，即AP?P＝4?1.
6．(2011•衡陽期末)平面內(nèi)給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，請解答下列問題：
(1)求滿足a＝b＋nc的實(shí)數(shù)，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k；
(3)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且d－c＝5，求d.
[解析]　(1)由題意得(3,2)＝(－1,2)＋n(4,1)，
所以－＋4n＝32＋n＝2，得＝59n＝89.
(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∵(a＋kc)∥(2b－a)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
∴k＝－1613.
(3)設(shè)d＝(x，y) ，則d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，
由題意得4x－4－2y－1＝0x－42＋y－12＝5，
解得x＝3y＝－1或x＝5y＝3，∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/34721.html

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