山
18．（2015年高考湖南卷（理））已知 ,函數(shù) .
(I)記 求 的表達式;
(II)是否存在 ,使函數(shù) 在區(qū)間 內的圖像上存在兩點,在該兩點處的切線相互垂直?若存在,求 的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】解:
(Ⅰ)
(II)由前知,y=f(x)的圖像是由兩段反比例函數(shù)的圖像組成的.因此,若在圖像上存在兩點 滿足題目要求,則P,Q分別在兩個圖像上,且 .
不妨設
所以,當 時,函數(shù) 在區(qū)間 內的圖像上存在兩點,在該兩點處的切線相互垂直.
19．（2015年普通高等學校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學（理）試題（純WORD版））已知函數(shù)
(1)當 時,求曲線 在點 處的切線方程;
(2)求函數(shù) 的極值.
【答案】解:函數(shù) 的定義域為 , .
(Ⅰ)當 時, , ,
,
在點 處的切線方程為 ,
即 .
(Ⅱ)由 可知:
①當 時, ,函數(shù) 為 上的增函數(shù),函數(shù) 無極值;
②當 時,由 ,解得 ;
時, , 時,
在 處取得極小值,且極小值為 ,無極大值.
綜上:當 時,函數(shù) 無極值
當 時,函數(shù) 在 處取得極小值 ,無極大值.
20．（2015年高考新課標1（理））(本小題滿分共12分)已知函數(shù) = , = ,若曲線 和曲線 都過點P(0,2),且在點P處有 相同的切線
(Ⅰ)求 , , , 的值;(Ⅱ)若 ≥-2時, ≤ ,求 的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)由已知得 ,
而 = , = ,∴ =4, =2, =2, =2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, , ,
設函數(shù) = = ( ),
= = ,
有題設可得 ≥0,即 ,
令 =0得, = , =-2,
(1)若 ,則-2< ≤0,∴當 時, <0,當 時, >0,即 在 單調遞減,在 單調遞增,故 在 = 取最小值 ,而 = = ≥0,
∴當 ≥-2時, ≥0,即 ≤ 恒成立,
(2)若 ,則 = ,
∴當 ≥-2時, ≥0,∴ 在(-2,+∞)單調遞增,而 =0,
∴當 ≥-2時, ≥0,即 ≤ 恒成立,
(3)若 ,則 = = <0,
∴當 ≥-2時, ≤ 不可能恒成立,
綜上所述, 的取值范圍為[1, ].
21．（2015年高考湖北卷（理））設 是正整數(shù), 為正有理數(shù).
(I)求函數(shù) 的最小值;
(II)證明: ;
(III)設 ,記 為不小于 的最小整數(shù),例如 , , .令 ,求 的值.
(參考數(shù)據(jù): , , , )
【答案】證明:(I)
在 上單減,在 上單增.
(II)由(I)知:當 時, (就是伯努利不等式了)
所證不等式即為:
若 ,則
①
,
,故①式成立.
若 , 顯然成立.
②
,
,故②式成立.
綜上可得原不等式成立.
(III)由(II)可知:當 時,
22．（2015年高考陜西卷（理））已知函數(shù) .
(Ⅰ) 若直線y=kx+1與f (x)的反函數(shù)的圖像相切, 求實數(shù)k的值;
(Ⅱ) 設x>0, 討論曲線y=f (x) 與曲線 公共點的個數(shù).
(Ⅲ) 設a<b, 比較 與 的大小, 并說明理由.
【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函數(shù) . 設直線y=kx+1與 相切與點 .所以
(Ⅱ) 當 x > 0, > 0 時, 曲線y=f (x) 與曲線 的公共點個數(shù)即方程 根的個數(shù).
由 ,
則 h(x)在
h(x) .
所以對曲線y=f (x) 與曲線 公共點的個數(shù),討論如下:
當 時,有0個公共點;當= ,有1個公共點;當 有2個公共點;
(Ⅲ) 設
令 .
,且
.
所以
23．（2015年普通高等學校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學（理）試題（含答案））設函數(shù) ( =2.71828是自然對數(shù)的底數(shù), ).
(Ⅰ)求 的單調區(qū)間、最大值; (Ⅱ)討論關于 的方程 根的個數(shù).
【答案】解:(Ⅰ) ,
由 ,解得 ,
當 時, , 單調遞減
所以,函數(shù) 的單調遞增區(qū)間是 ,單調遞減區(qū)間是 ,
最大值為
(Ⅱ)令
(1)當 時, ,則 ,
所以,
因為 , 所以
因此 在 上單調遞增.
(2)當 時,當時, ,則 ,
所以,
因為 , ,又
所以 所以
因此 在 上單調遞減.
綜合(1)(2)可知 當 時, ,
當 ,即 時, 沒有零點,
故關于 的方程 根的個數(shù)為0;
當 ,即 時, 只有一個零點,
故關于 的方程 根的個數(shù)為1;
當 ,即 時,
①當 時,由(Ⅰ)知
要使 ,只需使 ,即 ;
②當 時,由(Ⅰ)知
;
要使 ,只需使 ,即 ;
所以當 時, 有兩個零點,故關于 的方程 根的個數(shù)為2;
綜上所述:
當 時,關于 的方程 根的個數(shù)為0;
當 時,關于 的方程 根的個數(shù)為1;
當 時,關于 的方程 根的個數(shù)為2.
24．（2015年普通高等學校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學（理）試題（純WORD版））已知 ,函數(shù)
(1)求曲線 在點 處的切線方程;(2)當 時,求 的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)由已知得: ,且 ,所以所求切線方程為: ,即為: ;
(Ⅱ)由已知得到: ,其中 ,當 時, ,
(1)當 時, ,所以 在 上遞減,所以 ,因為 ;
(2)當 ,即 時, 恒成立,所以 在 上遞增,所以 ,因為
;
(3)當 ,即 時,
,且 ,即
2
+0-0+
遞增極大值遞減極小值遞增
所以 ,且
所以 ,
所以 ;
由 ,所以
(?)當 時, ,所以 時, 遞增, 時, 遞減,所以 ,因為
,又因為 ,所以 ,所以 ,所以
(?)當 時, ,所以 ,因為 ,此時 ,當 時, 是大于零還是小于零不確定,所以
①當 時, ,所以 ,所以此時 ;
②當 時, ,所以 ,所以此時
綜上所述: .
25．（2015年普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學（理）WORD版含答案（已校對））已知函數(shù)
(I)若 時, ,求 的最小值;
(II)設數(shù)列
【答案】
26．（2015年普通高等學校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學（理）試題（含答案））已知函數(shù) .
(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ) 證明: 對任意的t>0, 存在唯一的s, 使 .
(Ⅲ) 設(Ⅱ)中所確定的s關于t的函數(shù)為 , 證明: 當 時, 有 .
【答案】
27．（2015年高考北京卷（理））設L為曲線C: 在點(1,0)處的切線.
(I)求L的方程;
(II)證明:除切點(1,0)之外,曲線C在直線L的下方.
【答案】解: (I)設 ,則 .所以 .所以L的方程為 .
(II)令 ,則除切點之外,曲線C在直線 的下方等價于 . 滿足 ,且 .
當 時, , ,所以 ,故 單調遞減;
當 時, , ,所以 ,故 單調遞增.
所以, ( ).
所以除切點之外,曲線C在直線L的下方.
又解: 即 變形為 ,記 ,則 ,
所以當 時, , 在(0,1)上單調遞減;
當 時, , 在(1,+∞)上單調遞增.
所以 .)
山
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