屆高三年級(jí)第五次月考
數(shù) 學(xué) 試 卷（理）
第Ⅰ卷
一、：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
一.（每小題5分，共60分）
1．設(shè)集合 =（ ）
A．{1，3}B．{2}C．{2，3}D．{3}
2. 設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足 ，則 =（ ）
A． B． C．1 D．2
3．設(shè) 為兩個(gè)不同平面，、 n為兩條不同的直線，且 有兩個(gè)命題：
P：若∥n,則 ∥β；q：若⊥β, 則α⊥β. 那么（ ）
A．“p或q”是假命題 B．“p且q”是真命題
C．“非p或q”是假命題 D．“非p且q”是真命題
4. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量 若 ，則x=( )
A．-2 B．-4 C．-3 D．-1
5．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S9=-18，S13=-52，{bn}為等比數(shù)列，且b5 =a5，b7=a7，則b15的值為（ ）
A．64 B．128 C．-64 D．-128
6．設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x-4(x>0),則不等式f(x-2)>0的解集為（ ）
A．{xx<-2或x>4} B．{xx<0或x>4} C．{xx<0或x>6} D．{xx<-2或x>2}
7．若將函數(shù)y＝tanωx＋π4(ω>0)的圖象向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)y＝tanωx＋π6的圖象重合，則ω的最小值為（ ）
A．16 B．14 C．13 D．12
8．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，正視圖和側(cè)視圖
均為矩形，俯視圖中曲線部分為半圓，尺寸如
圖，則該幾何體的全面積為（ ）
A．2+3 B．2+2
C．8+5 D．6+3
9．已知命題p：函數(shù) 在（0，1）
內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)；命題q：函數(shù) 在 上是
減函數(shù)，若p且 為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．a(chǎn)≤2 C． 1<a≤2 D．a(chǎn)≤l或a>2
10．三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA= ，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．5 B． C．20 D．4
11．設(shè)方程lnx=-x與方程ex=-x(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的所有根之和為,則（ ）
A．<0 B. =0 C.0<<1 D.>1
12. 函數(shù) 對(duì)任意 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)，則 （ ）
A. B. C. D.0
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答．第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答．
二、題：本大題共4小題，每小題5分．
13．已知關(guān)于x, y的二元一次不等式組 ，則3x-y的最大值為_(kāi)_________
14. 曲線 和曲線 圍成的圖形面積是____________.
15. 如圖, 在 中, , 是 邊上一點(diǎn),
,則 的長(zhǎng)為 .
16．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)為an=(-1)n 前n項(xiàng)和為Sn, 則S100=_________.
三、解答題:本大題共5小題，共計(jì)70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明．證明過(guò)程或演算步驟
17．(本小題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)= .
（1）當(dāng) 時(shí)，求 的值域；
（2）若 的內(nèi)角 的對(duì)邊分別為 ，且滿足 ，
，求 的值.
18.（本小題滿分12分）
已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且 是 和 的等差中項(xiàng)，等差數(shù)列 滿足 ， .
（1）求數(shù)列 、 的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè) ，數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，求 的取值范圍.
19．（本小題滿分12分）
在四棱錐 中， 平面 ， 是正三角形，
與 的交點(diǎn) 恰好是 中點(diǎn)，又 ， ，
點(diǎn) 在線段 上，且 ．
（1）求證： ；
（2）求證： 平面 ;
（3）求二面角 的余弦值．
20. （本小題滿分12分）
“地溝油”嚴(yán)重危害了人民群眾的身體健康，某企業(yè)在政府部門(mén)的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，新上了一種從“食品殘?jiān)敝刑釤挸錾锊裼偷捻?xiàng)目，經(jīng)測(cè)算，該項(xiàng)目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可以近似的表示為：
且每處理一噸“食品殘?jiān)�，可得到能利用的生物柴油價(jià)值為200元，若該項(xiàng)目不獲利，政府將補(bǔ)貼.
(1)當(dāng)x∈[200,300]時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則政府每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損.
(2)該項(xiàng)目每月處理量為多少?lài)崟r(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？
21．（本小題滿分12分）
已知函數(shù) ，h（x）=2alnx， 。
（1）當(dāng)a∈R時(shí)，討論函數(shù) 的單調(diào)性．
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的 ，且 ，都有
恒成立，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。
請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑.
22.（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講
如圖，直線 經(jīng)過(guò)⊙ 上的點(diǎn) ，并且 ⊙ 交直線 于 ， ，連接 ．
（1）求證：直線 是⊙ 的切線；
（2）若 ⊙ 的半徑為3，求 的長(zhǎng)．
23．（本小題滿分10分）選修4－4：極坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線 的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為
（ 為參數(shù)）。
（1）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為 ，判斷點(diǎn)P與直線 的位置關(guān)系；
（2）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q到直線 的距離的最小值與最大值。
24．（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講
（1）解關(guān)于 的不等式 ；
（2）若關(guān)于 的不等式 有解，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
屆高三第四次月考數(shù)學(xué)（理）參考答案
1—5.ACDDC， 6—10.BDACA 11.B 12.D
13．5 14. 15. , 16. 150
三．解答題：
17．（本小題滿分12分）（1）
， ，
……………6分
（2）由條件得
化簡(jiǎn)得 由余弦定理得
……………12分
18、（本小題滿分12分） （1）∵ 是 和 的等差中項(xiàng)，∴
當(dāng) 時(shí)， ，∴
當(dāng) 時(shí)， ，
∴ ，即 3分
∴數(shù)列 是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，
∴ ， 5分
設(shè) 的公差為 ， ， ，∴
∴ ……………6分
（2）
∴
∵ ,∴
∴數(shù)列 是一個(gè)遞增數(shù)列 ∴ .
綜上所述， ……………12分
19. （本小題滿分12分）證明：(I) 因?yàn)?是正三角形， 是 中點(diǎn)，
所以 ,即 ……………1分
又因?yàn)?， 平面 ，
又 ，所以 平面
又 平面 ，所以 ……………4分
（Ⅱ）在正三角形 中，
在 中，因?yàn)?為 中點(diǎn)， ，所以
，所以 ，所以 ……………6分
在等腰直角三角形 中， ， ，
所以 ， ，所以 分
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ……………8分
（Ⅲ）因?yàn)?，
所以 ，分別以 為 軸, 軸, 軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，
所以
由（Ⅱ）可知，
為平面 的法向量 ………………9分
，
設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ,
則 ，即 ，
令 則平面 的一個(gè)法向量為 ……………11分
設(shè)二面角 的大小為 ， 則
所以二面角 余弦值為 ……………12分
20．（本小題滿分12分）
(1)當(dāng)x∈[200,300]時(shí)，設(shè)該項(xiàng)目獲利為S，則
S＝200x－(12x2－200x＋80 000)＝－12x2＋400x－80 000＝－12(x－400)2，
所以當(dāng)x∈[200,300]時(shí)，S<0.因此，該項(xiàng)目不會(huì)獲利.當(dāng)x＝300時(shí)，S取得最大值－5 000，
∴政府每月至少需要補(bǔ)貼5 000元才能使該項(xiàng)目不虧損. ……………6分
(2)由題意可知，食品殘?jiān)拿繃嵠骄幚沓杀緸椋?
①當(dāng)x∈[120,144)時(shí)，yx＝13x2－80x＋5 040＝13(x－120)2＋240，∴當(dāng)x＝120時(shí)，yx取得最小值240；
②當(dāng)x∈[144,500)時(shí)，yx＝12x＋80 000x－200≥212x•80 000x－200＝200.
當(dāng)且僅當(dāng)12x＝80 000x，即x＝400時(shí)，yx取得最小值200.∵200<240，
∴當(dāng)每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低。 ……………12分
21． (1) , f（x）的定義域?yàn)椋?，+ ……………2分
①當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，2）上是減函數(shù)，在在 上是增函數(shù)。
②當(dāng)-2＜a≤0時(shí)，f（x）在（0，-a）上是增函數(shù)；在（-a，2）是是減函數(shù)；在 上是增函數(shù)。
③當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）在（0，+ 上是增函數(shù)。
④當(dāng)a＜-2時(shí)，f（x）在（0，2）上是增函數(shù)；在（2，-a）上是減函數(shù)；在 上是增函數(shù)。 ………… 6分
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的 ，且 ，都有 恒成立，不妨設(shè)0＜x1＜x2，要使 ，即f（x2）+ax2＞f（x1）+ax1。
令g（x）=f（x）+ax= ，只要g（x）在（0，+ 為增函數(shù)。
又
由題意 在（0，+ 上恒成立，得a不存在�！�12分
22證明：（Ⅰ）如圖，連接OC, OA =OB,CA=CB,
是圓的半徑， 是圓的切線． （3分）
（Ⅱ） 是直徑，
又
2 （5分）
∽ （7分）
設(shè) ，則 ， …（9分）
（10）分
23．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
解：（Ⅰ）將點(diǎn) 化為直角坐標(biāo)，得 ，…………………………（2分）
直線 的普通方程為 ，顯然點(diǎn) 不滿足直線 的方程，
所以點(diǎn) 不在直線 上．…………………………………………………（5分）
（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn) 在曲線 上，故可設(shè)點(diǎn) ，…………………（6分）
點(diǎn) 到直線 ： 的距離為
，…………………（8分）
所以當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)， ．
故點(diǎn) 到直線 的距離的最小值為 ，最大值為 ．……………（10分）
24．選修4－5：不等式選講
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/859928.html
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