全國高考理科數(shù)學試題分類匯編4：數(shù)列
一、
1 ．（高考上海卷（理））在數(shù)列 中, ,若一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素 ,( )則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個數(shù)為( )
(A)18 (B)28 (C)48 (D)63
【答案】A.
2 ．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學（理）WORD版含答案（已校 對））已知數(shù)列 滿足 ,則 的前10項和等于
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
3 ．（高考新課標1（理））設 的三邊長分別為 , 的面積為 , ,若 , ,則()
A.{S n}為遞減數(shù)列 B.{Sn}為遞增數(shù)列
C.{S2n-1}為遞增數(shù)列,{S2n}為遞減數(shù)列D.{S2n-1}為遞減數(shù)列,{S2n}為遞增數(shù)列
【答案】B
4 ．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學（理）試題（純WORD版））函數(shù) 的圖像如圖所示,在區(qū)間 上可找到 個不同的數(shù) 使得 則 的取值范圍是
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
5 ．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學（理）試題（純WORD版））已知等比數(shù)列 的公比為q,記
則以下結(jié)論一定正確的是( )[:12999數(shù)學網(wǎng)]
A.數(shù)列 為等差數(shù)列,公差為 B.數(shù)列 為等比數(shù)列,公比為
C.數(shù)列 為等比數(shù)列,公比為 D.數(shù)列 為等比數(shù)列,公比為
【答案】C
6 ．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試新課標Ⅱ卷數(shù)學（理）（純WORD版含答案））等比數(shù)列 的前 項和為 ,已知 , ,則 (A) (B) (C) (D)
【答案】C
7 ．（高考新課標1（理））設等差數(shù)列 的前 項和為 ,則 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
8 ．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學（理）試題（WORD版））下面是關于公差 的等差數(shù)列 的四個命題:
其中的真命題為
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
9 ．（高考江西卷（理））等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,..的第四項等于
A.-24 B.0 C.12 D.24
【答案】A
二、題
10．（高考四川卷（理））在等差數(shù)列 中, ,且 為 和 的等比中項,求數(shù)列 的首項、公差及前 項和.
【答案】解:設該數(shù)列公差為 ,前 項和為 .由已知,可得 . 所以 , 解得 ,或 ,即數(shù)列 的首相為4,公差為0,或首相為1,公差為3. 所以數(shù)列的前 項和 或
11．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試新課標Ⅱ卷數(shù)學（理）（純WORD版含答案））等差數(shù)列 的前 項和為 ,已知 ,則 的最小值為________.
【答案】
12．（高考湖北卷（理））古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,3,6,10,,第 個三角形數(shù)為 .記第 個 邊形數(shù)為 ,以下列出了部分 邊形數(shù)中第 個數(shù)的表達式:
三角形數(shù)
正方形數(shù)
五邊形數(shù)
六邊形數(shù)
可以推測 的表達式,由此計算 ___________.
選考題
【答案】1000
13．（普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學）（已校對純WORD版含附加題））在正項等比數(shù)列 中, , ,則滿足 的最大正整數(shù) 的值為_____________.
【答案】12
14．（高考湖南卷（理））設 為數(shù)列 的前n項和, 則
(1) _____; (2) ___________.
【答案】 ;
15．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學（理）試題（純WORD版））當 時,有如下表達式:
兩邊同時積分得:
從而得到如下等式:
請根據(jù)以下材料所蘊含的數(shù)學思想方法,計算:
【答案】
16．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學（理）試題（含答案））已知 是等差數(shù)列, ,公差 , 為其前 項和,若 成等比數(shù)列,則
【答案】
17．（上海市春季高考數(shù)學試卷(含答案)）若等差數(shù)列的前6項和為23,前9項和為57,則數(shù)列的前 項和 __________.
【答案】
18．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學（理）卷（純WORD版））在等差數(shù)列 中,已知 ,則 _____.
【答案】
19．（高考陜西卷（理））觀察下列等式:
照此規(guī)律, 第n個等式可為___ ____.
【答案】
20．（ 高考新課標1（理））若數(shù)列{ }的前n項和為Sn= ,則數(shù)列{ }的通項公式是 =______.
【答案】 = .
21．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學（理）試題（純WORD版））如圖,互不-相同的點 和 分別在角O的兩條邊上,所有 相互平行,且所有梯形 的面積均相等.設 若 則數(shù)列 的通項公式是_________.
【答案】
22．（高考北京卷（理））若等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20,a3+a5=40,則公比q=_______;前n項和Sn=___________.
【答案】2,
23．（普通 高等學校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學（理）試題（WORD版））已知等比數(shù)列 是遞增數(shù)列, 是 的前 項和,若 是方程 的兩個根,則 ____________.
【答案】63
三、解答題
24．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學（理）試題（純WORD版））設函數(shù) ,證明:
(Ⅰ)對每個 ,存在唯一的 ,滿足 ;
(Ⅱ)對任意 ,由(Ⅰ)中 構成的數(shù)列 滿足 .
【答案】解: (Ⅰ) 是x的單調(diào)遞增函數(shù),也是n的單 調(diào)遞增函數(shù). . 綜上,對每個 ,存在唯一的 ,滿足 ;(證畢) (Ⅱ) 由題知 上式相減: . 法二:
25．（高考上海卷（理））(3 分+6分+9分)給 定常數(shù) ,定義函數(shù) ,數(shù)列 滿足 .
(1)若 ,求 及 ;(2)求證:對任意 ,;
(3)是否存在 ,使得 成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的 ,若不存在,說明理由.
【答案】:(1)因為 , ,故 , (2)要證明原命題,只需證明 對任意 都成立, 即只需證明 若 ,顯然有 成立; 若 ,則 顯然成立 綜上, 恒成立,即對任意的 , (3)由(2)知,若 為等差數(shù)列,則公差 ,故n無限增大時,總有 此時, 即 故 , 即 , 當 時,等式成立,且 時, ,此時 為等差數(shù)列,滿足題意; 若 ,則 , 此時, 也滿足題意; 綜上,滿足題意的 的取值范圍是 .
26．（普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學）（已校對純WORD版含附加題））本小題滿分10分.
設數(shù)列 ,即當 時, ,記 ,對于 ,定義集合
(1)求集合 中元素的個數(shù); (2)求集合 中元素的個數(shù).
【答案】本題主要考察集合.數(shù)列的概念與運算.計數(shù)原理等基礎知識,考察探究能力及運用數(shù)學歸納法分析解決問題能力及推理論證能力. (1)解:由數(shù)列 的定義得: , , , , , , , , , , ∴ , , , , , , , , , , ∴ , , , , ∴集合 中元素的個數(shù)為5 (2)證明:用數(shù)學歸納法先證 事實上, ①當 時, 故原式成立 ②假設當 時,等式成立,即 故原式成立 則: ,時, 綜合①②得: 于是 由上可知: 是 的倍數(shù) 而 ,所以 是 的倍數(shù) 又 不是 的倍數(shù), 而 所以 不是 的倍數(shù) 故當 時,集合 中元素的個數(shù)為 于是當 時,集合 中元素的個數(shù)為 又 故集合 中元素的個數(shù)為
27．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試浙 江數(shù)學（理）試題（純WORD版））在公差為 的等差數(shù)列 中,已知 ,且 成等比數(shù)列.
(1)求 ; (2)若 ,求
【答案】解:(Ⅰ)由已知得到: ; (Ⅱ)由(1)知,當 時, , ①當 時, ②當 時, 所以,綜上所述: ;
28．（高考湖北卷（理））已知等比數(shù)列 滿足: , .
(I)求數(shù)列 的通項公式 ;
(II)是否存在正整數(shù) ,使得 ?若存在,求 的最小值;若不存在,說明理由.
【答案】解:(I)由已知條件得: ,又 , , 所以數(shù)列 的通項或 (II)若 , ,不存在這樣的正整數(shù) ; 若 , ,不存在這樣的正整數(shù) .
29．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學（理）試題（含答案））設等差數(shù)列 的前n項和為 ,且 , .
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項公式;
(Ⅱ)設數(shù)列 前n項和為 ,且 ( 為常數(shù)).令 .求數(shù)列 的前n項和 .
[:12999.Co]
【答案】解:(Ⅰ)設等差數(shù)列 的首項為 ,公差為 , 由 , 得 , 解得, , 因此 (Ⅱ)由題意知: 所以 時, 故, 所以 , 則 兩式相減得 整理得 所以數(shù)列數(shù)列 的前n項和
30．（普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學）（已校對純WORD版含附加題））本小題滿分16分.設 是首項為 ,公差為 的等差數(shù)列 , 是其前 項和.記 , ,其中 為實數(shù).
(1)若 ,且 成等比數(shù)列,證明: ( );
(2)若 是等差數(shù)列,證明: .
【答案】證明:∵ 是首項為 ,公差為 的等差數(shù)列 , 是其前 項和 ∴ (1)∵ ∴ ∵ 成等比數(shù)列 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴左邊 = 右邊= ∴左邊=右邊∴原式成立 (2)∵ 是等差數(shù)列∴設公差為 ,∴ 帶入 得: ∴ 對 恒成立 ∴ 由①式得: ∵ ∴ 由③式得: 法二:證:(1)若 ,則 , , . 當 成等比數(shù)列, , 即: ,得: ,又 ,故 . 由此: , , . 故: ( ). (2) , . (※) 若 是等差數(shù)列,則 型. 觀察(※)式后一項,分子冪低于分母冪, 故有: ,即 ,而 ≠0, 故 . 經(jīng)檢驗,當 時 是等差數(shù)列.
31．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學（理）WORD版含答案（已校對））等差數(shù) 列 的前 項和為 ,已知 ,且 成等比數(shù)列,求 的通項式.
【答案】
32．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學（理）試題（含答案））已知首項為 的等比數(shù)列 不是遞減數(shù)列, 其前n項和為 , 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差數(shù)列.
(Ⅰ) 求數(shù)列 的通項公式;
(Ⅱ) 設 , 求數(shù)列 的最大項的值與最小項的值.
【答案】
33．（高考江西卷（理））正項數(shù)列{an}的前項和{an}滿足:
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)令 ,數(shù)列{bn}的前 項和為 .證明:對于任意的 ,都有
【答案】(1)解:由 ,得 . 由于 是正項數(shù)列,所以 . 于是 時, . 綜上,數(shù)列 的通項 . (2)證明:由于 . 則 . .
34．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學（理）卷（純WORD版））設數(shù)列 的前 項和為 .已知 , , .
(Ⅰ) 求 的值;
(Ⅱ) 求數(shù)列 的通項公式;
(Ⅲ) 證明:對一切正整數(shù) ,有 .
【答案】.(1) 解: , . 當 時, 又 , (2)解: , . ① 當 時, ② 由① — ②,得 數(shù)列 是以首項為 ,公差為1的等差數(shù)列. 當 時,上式顯然成立. (3)證明:由(2)知, ①當 時, , 原不等式成立. ②當 時, , 原不等式亦成立. ③當 時, 當 時,, 原不等式亦成立. 綜上,對一切正整數(shù) ,有 .
35．（高考北京卷（理））已知{an}是由非負整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前n項的最大值記為An,第n項之后各項 , ,的最小值記為Bn,dn=An-Bn .
(I)若{an}為2,1,4,3,2,1,4,3,,是一個 周期為4的數(shù)列(即對任意n∈N*, ),寫出d1,d2,d3,d4的值;
(II)設d為非負整數(shù),證明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要條件為{an}為公差為d的等差數(shù)列;
(III)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),則{an}的項只能是1或者2,且有無窮多項為1.
【答案】(I) (II)(充分性)因為 是公差為 的等差數(shù)列,且 ,所以 因此 , , . (必要性)因為 ,所以 . 又因為 , ,所以 . 于是 , . 因此 ,即 是公差為 的等差數(shù)列. (III)因為 ,所以 , .故對任意 . 假設 中存在大于2的項. 設 為滿足 的最小正整數(shù),則 ,并且對任意 ,. 又因為 ,所以 ,且 . 于是 , . 故 ,與 矛盾. 所以對于任意 ,有 ,即非負整數(shù)列 的各項只能為1或2. 因此對任意 , ,所以 . 故 . 因此對于任意正整數(shù) ,存在 滿足 ,且 ,即數(shù)列 有無窮多項為1. 36．（高考陜西卷（理））
設 是公比為q的等比數(shù)列. (Ⅰ) 導 的前n項和公式; (Ⅱ) 設q≠1, 證明數(shù)列 不是 等比數(shù)列.
【答案】解:(Ⅰ) 分兩種情況討論. ① ② . 上面兩式錯位相減: . ③綜上, (Ⅱ) 使用反證法. 設 是公比q≠1的等比數(shù)列, 假設數(shù)列 是等比數(shù)列.則 ①當 =0成立,則 不是等比數(shù)列. ②當 成立,則 .這與題目條件q≠1矛盾. ③綜上兩種情況,假設數(shù)列 是等比數(shù)列均不成立,所以當q≠1時, 數(shù)列 不是等比數(shù)列.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/895185.html
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