命題：新田一中 廖信亮第I卷（選擇題 共0分）本大題有小題，每小題分，共分.每小題都有四個(gè)選項(xiàng)，．1．，，則集合中共有 ( ) 個(gè)真子集 原創(chuàng)A. 7 B .4 C. 3 D. 82．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ） 原創(chuàng)A. B. C. D. 3. “”是“或”成立的( ) 原創(chuàng)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 4. 定積分的值為 ( ) 原創(chuàng) A．． ．．的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是 ( ). 原創(chuàng)A. B. C. D. 6．已知變量滿足約束條件，則的取值范圍是（　�。�　 A． B．　 C． D． 原創(chuàng)7．已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若使得滿足是直角三角形的動(dòng)點(diǎn)恰好有6個(gè)，則該橢圓的離心率為( ) 原創(chuàng)A . B. C. D. 8. 已知定義在上的函數(shù)，如果存在函數(shù)（為常數(shù)），使得對一切實(shí)數(shù)都成立，則稱為函數(shù)的一個(gè)“承托函數(shù)”現(xiàn)有如下命題：①對給定的函數(shù)，其承托函數(shù)可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)；②為函數(shù)的一個(gè)承托函數(shù)；③定義域和值域都是的函數(shù)不存在承托函數(shù), 其中正確的命題是( ) A. ①② B. ② C. ①③ D. ②③改編自2015-2013金考卷45套16的8題第Ⅱ卷（非選擇題 共110分）二、填空題:（本大題有7小題，每小題5分，共35分）（一）選做題（請考生在9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分）9．，則該圓的圓心到直線的距離是 . 原創(chuàng) 10. 若，則的最小值為________. 原創(chuàng)11. 已知的兩條直角邊、的長分別為，以為直徑的圓與交于點(diǎn)，則 . 原創(chuàng)（二）必做題12.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則 _____.原創(chuàng)13.設(shè)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，若，則 . 原創(chuàng) 14．在2015年高三第二次調(diào)研考試中，某學(xué)校有550名高三學(xué)生參加了考試，其數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，已知,則可估計(jì)該學(xué)校數(shù)學(xué)成績及格（成績不低于90分為及格）的學(xué)生有 人. 原創(chuàng) 15.平行四邊形的兩條對角線相交于點(diǎn),點(diǎn)是對角線上任意一點(diǎn)。若且。則的取值范圍是 . 原創(chuàng)16 如果正整數(shù)各位數(shù)字之和等于6，那么稱為“吉祥數(shù)”，將所有的“吉祥數(shù)”從小到大排成一列若，則 .原創(chuàng)三、解答題:（本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17,18,19題每題12分，20,21,22每題13分）17.已知中，角的對邊分別為, 原創(chuàng) (1)求角的值； (2)求 的值.18．中，底面是矩形， ,, ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（1）證明：直線；（2）求二面角的平面角的余弦值. 原創(chuàng)19. 2015年某省實(shí)施通過競選選拔高校校長，省委組織部擬選拔4名校長，相關(guān)單位通過組織提名、領(lǐng)導(dǎo)干部個(gè)人提名、群眾聯(lián)合提名、自薦提名四種方式，確定初步人選為5名男競選者和4名女競選者，每名競選者當(dāng)選校長的機(jī)會(huì)是相等的. 選用2015-2013金考卷45套16的16題（1）記為男競選者當(dāng)選的人數(shù)，寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)至少有名女競選者當(dāng)選的概率為，試求滿足時(shí)的最大值.20．?dāng)?shù)列中， 原創(chuàng) （1）若，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)；（2）若，問是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列成等比數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.21. 已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)在橢圓上，且，的面積為3 （1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），探索直線的交點(diǎn)能否在一條垂直于軸的定直線上，若能，求出這條定直線的方程；若不能，請說明理由 選用2015-2013金考卷45套23的22題22.已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù) （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)對定義域內(nèi)的任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明： ,對于任意的正整數(shù)成立.選用2015-2015金考卷45套7的22題新田一中2015屆高三下期期中考試數(shù)學(xué)試題（理科）答案解析命題：新田一中 廖信亮3.選.本小題主要考查充分條件、必要條件以及命題真假的判斷轉(zhuǎn)化方法.解析：考慮命題：若且,則.顯然該命題為真命題，其逆命題為假命題。那么它的逆否命題是：若,則或，一定為真。4.選B. 本小題主要考查定積分的幾何意義.解析：定積分表示直線軸以及函數(shù)所圍成的圖形的面積。由于所圍的圖形是一個(gè)半圓，所以面積為.5.選B. 本小題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)，零點(diǎn)存在性定理的正確使用.解析：因?yàn)橛闪泓c(diǎn)存在性定理知選B.8.選A.本小題主要考查新情景下新概念的閱讀理解接受能力，函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用.解析：對于①，若，則就是函數(shù)的一個(gè)“承托函數(shù)”且有無數(shù)個(gè)；若，則沒有一個(gè)“承托函數(shù)”，所以①對;對于②，記令得，易知是的最（極）小值點(diǎn)，所以，所以②對；對于③，若則是函數(shù)的一個(gè)“承托函數(shù)”，所以③錯(cuò).9．.本小題主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，點(diǎn)到直線的距離公式.解析：分別把極坐標(biāo)方程，化為直角坐標(biāo)方程所以圓心到直線的距離.13 .4. 本小題主要考查二項(xiàng)式定理及其通項(xiàng).解析：所以解得，-15（舍去）所以.14.462 .本小題主要考查正態(tài)分布的概念.解析：這里,即從而所以.故.15.. 本小題主要考查解析法，數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解三角形的相關(guān)知識.解析：由余弦定理知,以直線為軸，直線為軸建立直角坐標(biāo)系，則設(shè)那么所以故的取值范圍是.18. 本小題主要考查空間中平行問題的證明，二面角的探求，空間想象能力.解析（1）證明：取的中點(diǎn),連接因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn),所以又,所以所以四邊形是平行四邊形所以,又面，面所以直線. （6分）（2）取的中點(diǎn),過作交于,連接，則面所以，所以是二面角的平面角在中，求得于是，即二面角的平面角的余弦值為.（12分）19. 本小題主要考查等可能事件的概率，概率的分布列，數(shù)學(xué)期望的求法.解析（1）依題意知的所有可能值為0,1,2,3,4，則 ， ， 故的分布列為0 1234所以. （8分）（2）由（1）知，至少有4名女競選者當(dāng)選的概率為至少有3名女競選者當(dāng)選的概率為至少有2名女競選者當(dāng)選的概率為因此要使， 的最大值為2 . （12分）20. 本小題主要考查等差、等比數(shù)列的判斷方法，待定系數(shù)法以及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。解析（1）證明：，因?yàn)樗�以�?shù)列是等差數(shù)列，該等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為所以， （6分）（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件則 化簡得，那么必有，故存在實(shí)數(shù)，滿足條件.（13分）（2）由（1）知，，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)直線的方程為，直線的方程為，將直線與直線的方程聯(lián)立，消去得，，如果直線，的交點(diǎn)在一條垂直于軸的定直線上，則這條定直線的方程一定是， （7分）②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為代入橢圓的方程，整理得設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，則， （8分）直線的方程為，它與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，同理可求得直線與直線的交點(diǎn)為， （10分）下面證明兩點(diǎn)重合，即證明兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等因?yàn)椋?所以所以結(jié)論成立，即直線與直線的交點(diǎn)在直線上。綜上可知，直線的交點(diǎn)能在一條垂直于軸的定直線上，這條定直線的方程是. (13分)22. 本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，分類討論的數(shù)學(xué)思想，不等式的證明方法.解析(1)因?yàn)橛懻撊缦拢寒?dāng)時(shí)，令得；得此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是當(dāng)時(shí)，令得或；得此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是當(dāng)時(shí)，對任意恒成立，此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是，無減區(qū)間當(dāng)時(shí)，令得或；得此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是 （4分）（3）當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）則，當(dāng)時(shí)，此不等式可以變形為，分別令，則所以 . （13分）湖南省新田一中2015屆高三上學(xué)期期中檢測（教師命題比賽）數(shù)學(xué)（理）試題
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