上學期期中考試高三數(shù)學理試卷滿分 150分 考試時間 120分鐘一、選擇題本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．1. 已知集合，，則=(　 )A．B． C．，或 D．，或. 已知為常數(shù)，則使得成立的一個充分而不必要條件是(　 )A．B．C． D．已知拋物線的準線過雙曲線的一個焦點，則雙曲線的離心率為(　 )A. B. C. D. 4．的三個內角對應的邊分別，且成等差數(shù)列，則角等于（ ）A . B. C. D. 5．函數(shù)（其中A＞0，）的圖象如圖所示，為了得到g(x)=sin2x的圖象，則只需將的圖象（ ）A.向右平移個長度單位B.向右平移個長度單位C.向左平移個長度單位D.向左平移個長度單位6．已知為坐標原點，直線與圓分別交于兩點．若，則實數(shù)的值為A．1B．C．D．的焦點的直線交拋物線于兩點，點是坐標原點，若，則△的面積為（ ）A．B．C．D．8．三個學校分別有1名、2名、3名學生獲獎，這6名學生要排成一排合影，則同校學生排在一起的概率是 A．B．C．D．設向量，，定義一運算：,已知，。點Q在的圖像上運動，且滿足 （其中O為坐標原點），則的最大值及最小正周期分別是A． B． C． D．對于函數(shù)與和區(qū)間D，如果存在，使，則稱函數(shù)與在區(qū)間D上“友好點”．現(xiàn)給出兩個函數(shù)：①，；②，；③，；④，， 則在區(qū)間上的存在唯一“友好點”的是 A．①② B．③④ C． ②③ D．①④二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．11． 的展開式中常數(shù)項為 ．12．已知隨機變量，若，則 ．1． 已知變量的最大值是 ．，，若偶函數(shù)滿足（其中m,n為常數(shù)），且最小值為1，則 ． 15．對于定義域為[0,1]的函數(shù)，如果同時滿足以下三個條件： ①對任意的，總有 ② ③若，，都有 成立； 則稱函數(shù)為函數(shù)。 下面有三個命題：（1）若函數(shù)為函數(shù)，則； （2）函數(shù)是函數(shù)；（3）若函數(shù)是函數(shù)，假定存在，使得，且， 則； 其中真命題是________．（填上所有真命題的序號）三、解答題：本大題共6小題，共80分．應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．（本小題滿分1分）已知函數(shù)的最小正周期為．（I）求值及的單調遞增區(qū)間；（II）在△中，分別是三個內角所對邊，若，，，求的大�。�17．（本小題滿分1分）已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋ax＋b在x＝－1處的切線與x軸平行．(1)求a的值和函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象與拋物線y＝x2－15x＋3恰有三個不同交點，求b的取值范圍．1.（本小題滿分13分） 某市為了了解今年高中畢業(yè)生的體能狀況，從本市某校高中畢業(yè)班中抽取一個班進行鉛球測試，成績在8.0米(精確到0.1米)以上的為合格.把所得數(shù)據(jù)進行整理后，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分(如圖)，已知從左到右前5個小組的頻率分別為0.04，0.10，0.14，0.28，0.30第6小組的頻數(shù)是7(I) 求這次鉛球測試成績合格的人數(shù)；(II) 用此次測試結果估計全市畢業(yè)生的情況.若從今年的高中畢業(yè)生中隨機抽取兩名，記表示兩人中成績不合格的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；(III) 經(jīng)過多次測試后，甲成績在8～10米之間，乙成績在9.5～10.5米之間，現(xiàn)甲、乙各投擲一次，求甲比乙投擲遠的概率.：的左、右焦點和短軸的兩個端點構成邊長為2的正方形．（Ⅰ）求橢圓的方程；m]（Ⅱ）過點的直線與橢圓相交于，兩點．點，記直線的斜率分別為，當最大時，求直線的方程．20．（本小題滿分1分），（）（1）若函數(shù)存在極值點，求實數(shù)b的取值范圍；（2）求函數(shù)的單調區(qū)間；（3）當且時，令，()，()為曲線y=上的兩動點，O為坐標原點，能否使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上？請說明理由21．（本小題滿分1分）（本小題滿分分）在矩陣的變換作用下得到曲線． （Ⅰ）求矩陣；（Ⅱ）求矩陣的特征值及對應的一個特征向量．（2）（本小題滿分分）中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)）．在極坐標系（與直角坐標取相同的長度單位，且以原點為極點，軸的非負半軸為極軸）中，曲線的方程為．（Ⅰ）求曲線直角坐標方程；（Ⅱ）若曲線、交于A、B兩點，定點，求的值．（3）（本小題滿分分）若，（1）求的最大值；的最大值．三、解答題17、解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，…………（分）由f′(－1)＝0，解得a＝－9.…………（分）則f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，故f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(3，＋∞)；f(x)的單調遞減區(qū)間為(－1,3)．…………（分）(2)令g(x)＝f(x)－＝x3－x2＋6x＋b－3，…………（分）則原題意等價于g(x)＝0有三個不同的根．∵g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，…………（分）∴g(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上遞增，在(1,2)上遞減．…………（分）則g(x)的極小值為g(2)＝b－10，解得
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