32．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別是 ,離心率為 ,過(guò) 且垂直于 軸的直線(xiàn)被橢圓 截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為1.
(Ⅰ)求橢圓 的方程;
(Ⅱ)點(diǎn) 是橢圓 上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),連接 ,設(shè) 的角平分線(xiàn) 交 的長(zhǎng)軸于點(diǎn) ,求 的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,過(guò) 點(diǎn)作斜率為 的直線(xiàn) ,使得 與橢圓 有且只有一個(gè)公共點(diǎn),設(shè)直線(xiàn) 的斜率分別為 ,若 ,試證明 為定值,并求出這個(gè)定值.
【答案】解:(Ⅰ)由于 ,將 代入橢圓方程 得
由題意知 ,即 又
所以 , 所以橢圓方程為
(Ⅱ)由題意可知: = , = ,設(shè) 其中 ,將向量坐標(biāo)代入并化簡(jiǎn)得:( ,因?yàn)?,
所以 ,而 ,所以
(3)由題意可知,l為橢圓的在p點(diǎn)處的切線(xiàn),由導(dǎo)數(shù)法可求得,切線(xiàn)方程為:
,所以 ,而 ,代入 中得
為定值.
33．（高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如圖,已知曲線(xiàn) ,曲線(xiàn) ,P是平面上一點(diǎn),若存在過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與 都有公共點(diǎn),則稱(chēng)P為“C1—C2型點(diǎn)”.
(1)在正確證明 的左焦點(diǎn)是“C1—C2型點(diǎn)”時(shí),要使用一條過(guò)該焦點(diǎn)的直線(xiàn),試寫(xiě)出一條這樣的直線(xiàn)的方程(不要求驗(yàn)證);
(2)設(shè)直線(xiàn) 與 有公共點(diǎn),求證 ,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1—C2型點(diǎn)”;
(3)求證:圓 內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1—C2型點(diǎn)”.
【答案】:(1)C1的左焦點(diǎn)為 ,過(guò)F的直線(xiàn) 與C1交于 ,與C2交 于 ,故C1的左焦點(diǎn)為“C1-C2型點(diǎn)”,且直線(xiàn)可以為 ;
(2)直線(xiàn) 與C2有交點(diǎn),則
,若方程組有解,則必須 ;
直線(xiàn) 與C2有交點(diǎn),則
,若方程組有解,則必須
故直線(xiàn) 至多與曲線(xiàn)C1和C2中的一條有交點(diǎn),即原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”.
(3)顯然過(guò)圓 內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn) 若與曲線(xiàn)C1有交點(diǎn),則斜率必存在;
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,不妨設(shè)直線(xiàn) 斜率存 在且與曲線(xiàn)C2交于點(diǎn) ,則
直線(xiàn) 與圓 內(nèi)部有交點(diǎn),故
化 簡(jiǎn)得, ............①
若直線(xiàn) 與曲線(xiàn)C1有交點(diǎn),則
化簡(jiǎn)得, .....②
由①②得,
但此時(shí),因?yàn)?,即①式不成立;
當(dāng) 時(shí),①式也不成立
綜上, 直線(xiàn) 若與圓 內(nèi)有交點(diǎn),則不可能同時(shí)與曲線(xiàn)C1和C2有交點(diǎn),
即圓 內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)” .
34．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））如圖,在正方形 中, 為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ,點(diǎn) 的坐標(biāo)為 .分別將線(xiàn)段 和 十等分,分點(diǎn)分別記為 和 ,連結(jié) ,過(guò) 做 軸的垂線(xiàn)與 交于點(diǎn) .
(1)求證:點(diǎn) 都在同一條拋物線(xiàn)上,并求該拋物線(xiàn) 的方程;
(2)過(guò)點(diǎn) 做直線(xiàn)與拋物線(xiàn) 交于不同的兩點(diǎn) ,若 與 的面積比為 ,求直線(xiàn)的方程.
【答案】解:(Ⅰ)依題意,過(guò) 且與x軸垂直的直線(xiàn)方程為
, 直線(xiàn) 的方程為
設(shè) 坐標(biāo)為 ,由 得: ,即 ,
都在同一條拋物線(xiàn)上,且拋物線(xiàn) 方程為
(Ⅱ)依題意:直線(xiàn)的斜率存在,設(shè)直線(xiàn)的方程為
由 得
此時(shí) ,直線(xiàn)與拋物線(xiàn) 恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
設(shè): ,則
又 ,
分別帶入 ,解得
直線(xiàn)的方程為 ,即 或
35．（高考湖南卷（理））過(guò)拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)F作斜 率分別為 的兩條不同的直線(xiàn) ,且 , 相交于點(diǎn)A,B, 相交于點(diǎn)C,D.以AB,CD為直徑的圓,圓N(,N為圓心)的公共弦所在的直線(xiàn)記為 .
(I)若 ,證明; ;
(II)若點(diǎn)到直線(xiàn) 的距離的最小值為 ,求拋物線(xiàn)E的方程.
36．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））如圖,點(diǎn) 是橢圓 的一個(gè)頂點(diǎn), 的長(zhǎng)軸是圓 的直徑. 是過(guò)點(diǎn) 且互相垂直的兩條直線(xiàn),其中 交圓 于兩點(diǎn), 交橢圓 于另一點(diǎn)
(1)求橢圓 的方程; (2)求 面積取最大值時(shí)直線(xiàn) 的方程.
【答案】解:(Ⅰ)由已知得到 ,且 ,所以橢圓的方程是 ;
(Ⅱ)因?yàn)橹本�(xiàn) ,且都過(guò)點(diǎn) ,所以設(shè)直線(xiàn) ,直線(xiàn) ,所以圓心 到直線(xiàn) 的距離為 ,所以直線(xiàn) 被圓 所截的弦 ;
由 ,所以
,所以
,
當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)直線(xiàn)
37．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））如題(21)圖,橢圓的中心為原點(diǎn) ,長(zhǎng)軸在 軸上,離心率 ,過(guò)左焦點(diǎn) 作 軸的垂線(xiàn)交橢圓于 兩點(diǎn), .
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)取垂直于 軸的直線(xiàn)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) ,過(guò) 作圓心為 的圓,使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓 外.若 ,求圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程.
38．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））設(shè)橢圓 的焦點(diǎn)在 軸上
(Ⅰ)若橢圓 的焦距為1,求橢圓 的方程;
(Ⅱ)設(shè) 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn), 為橢圓 上的第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線(xiàn) 交 軸與點(diǎn) ,并且 ,證明:當(dāng) 變化時(shí),點(diǎn) 在某定直線(xiàn)上.
【答案】解: (Ⅰ) .
(Ⅱ) .
由 .
所以動(dòng)點(diǎn)P過(guò)定直線(xiàn) .
39．（高考新課標(biāo)1（理））已知圓 : ,圓 : ,動(dòng)圓 與 外切并且與圓 內(nèi)切,圓心 的軌跡為曲線(xiàn) C.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ) 是與圓 ,圓 都相切的一條直線(xiàn), 與曲線(xiàn)C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng) 圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí),求AB.
【答案】由已知得圓 的圓心為 (-1,0),半徑 =1,圓 的圓心為 (1,0),半徑 =3.
設(shè)動(dòng)圓 的圓心為 ( , ),半徑為R. [:ww5ykj.Co]
(Ⅰ)∵圓 與圓 外切且與圓 內(nèi)切,∴P+PN= = =4,
由橢圓的定義可知,曲線(xiàn)C是以,N為左右焦點(diǎn),場(chǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為 的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為 .
(Ⅱ)對(duì)于曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn) ( , ),由于P-PN= ≤2,∴R≤2,
當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí),R=2.
∴當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí),其方程為 ,
當(dāng) 的傾斜角為 時(shí),則 與 軸重合,可得AB= .
當(dāng) 的傾斜角不為 時(shí),由 ≠R知 不平行 軸,設(shè) 與 軸的交點(diǎn)為Q,則 = ,可求得Q(-4,0),∴設(shè) : ,由 于圓相切得 ,解得 .
當(dāng) = 時(shí),將 代入 并整理得 ,解得 = ,∴AB= = .
當(dāng) =- 時(shí),由圖形的對(duì)稱(chēng)性可知AB= ,
綜上,AB= 或AB= .
40．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））設(shè)橢圓 的左焦點(diǎn)為F, 離心率為 , 過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線(xiàn)被橢圓截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為 .
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ) 設(shè)A, B分別為橢圓的左右頂點(diǎn), 過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線(xiàn)與橢圓交于C, D兩點(diǎn). 若 , 求k的值.
【答案】
41．（高考江西卷（理））如圖,橢圓 經(jīng)過(guò)點(diǎn) 離心率 ,直線(xiàn) 的方程為 .
(1)求橢圓 的方程;
(2) 是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn) 的任一弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn) ),設(shè)直線(xiàn) 與直線(xiàn) 相交于點(diǎn) ,記 的斜率分別為 問(wèn):是否存在常數(shù) ,使得 ?若存在求 的值;若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】解:(1)由 在橢圓上得, ①
依題設(shè)知 ,則 ②
②代入①解得 .
故橢圓 的方程為 .
(2)方法一:由題意可設(shè) 的斜率為 ,
則直線(xiàn) 的方程為 ③
代入橢圓方程 并整理,得 ,
設(shè) ,則有
④
在方程③中令 得, 的坐標(biāo)為 .
從而 .
注意到 共線(xiàn),則有 ,即有 .
所以
⑤
④代入⑤得 ,
又 ,所以 .故存在常數(shù) 符合題意.
方法二:設(shè) ,則直線(xiàn) 的方程為: ,
令 ,求得 ,
從而直線(xiàn) 的斜率為 ,
聯(lián)立 ,得 ,
則直線(xiàn) 的斜率為: ,直線(xiàn) 的斜率為: ,
所以 ,
故存在常數(shù) 符合題意.
42．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））已知拋物線(xiàn) 的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn) 到直線(xiàn) : 的距離為 .設(shè) 為直線(xiàn) 上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn) 作拋物線(xiàn) 的兩條切線(xiàn) ,其中 為切點(diǎn).
(Ⅰ) 求拋物線(xiàn) 的方程;
(Ⅱ) 當(dāng)點(diǎn) 為直線(xiàn) 上的定點(diǎn)時(shí),求直線(xiàn) 的方程;
(Ⅲ) 當(dāng)點(diǎn) 在直線(xiàn) 上移動(dòng)時(shí),求 的最小值.
【答案】(Ⅰ) 依題意,設(shè)拋物線(xiàn) 的方程為 ,由 結(jié)合 ,解得 .
所以?huà)佄锞�(xiàn) 的方程為 .
(Ⅱ) 拋物線(xiàn) 的方程為 ,即 ,求導(dǎo)得
設(shè) , (其中 ),則切線(xiàn) 的斜率分別為 , ,
所以切線(xiàn) 的方程為 ,即 ,即
同理可得切線(xiàn) 的方程為
因?yàn)榍芯�(xiàn) 均過(guò)點(diǎn) ,所以 ,
所以 為方程 的兩組解.
所以直線(xiàn) 的方程為 .
(Ⅲ) 由拋物線(xiàn)定義可知 , ,
所以
聯(lián)立方程 ,消去 整理得
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得 ,
所以
又點(diǎn) 在直線(xiàn) 上,所以 ,
所以
所以當(dāng) 時(shí), 取得最小值,且最小值為 .
43．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））平面直角坐標(biāo)系 中,過(guò)橢圓 的右焦點(diǎn) 作直 交 于 兩點(diǎn), 為 的中點(diǎn),且 的斜率為 .
(Ⅰ)求 的方程;
(Ⅱ) 為 上的兩點(diǎn),若四邊形 的對(duì)角線(xiàn) ,求四邊形 面積的最大值.
【答案】
44．（高考湖北卷（理））如圖,已知橢圓 與 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) ,長(zhǎng)軸均為 且在 軸上,短軸長(zhǎng)分別為 , ,過(guò)原點(diǎn)且不與 軸重合的直線(xiàn) 與 , 的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為 , , , .記 , 和 的面積分別為 和 .
(I)當(dāng)直線(xiàn) 與 軸重合時(shí),若 ,求 的值;
(II)當(dāng) 變化時(shí),是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線(xiàn) ,使得 ?并說(shuō)明理由.
【答案】解:(I) ,
解得: (舍去小于1的根)
(II)設(shè)橢圓 , ,直線(xiàn) :
同理可得,
又 和 的的高相等
如果存在非零實(shí)數(shù) 使得 ,則有 ,
即: ,解得
當(dāng) 時(shí), ,存在這樣的直線(xiàn) ;當(dāng) 時(shí), ,不存在這樣的直線(xiàn) .
45．（高考北京卷（理））已知A、B、C是橢圓W: 上的三個(gè)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(I)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時(shí),求此菱形的面積;
(II)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說(shuō)明理由.
【答案】解:(I)橢圓W: 的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0).因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分. 所以可設(shè)A(1, ),代入橢圓方程得 ,即 . 所以菱形OABC的面積是 .
(II)假設(shè)四邊形OABC為菱形. 因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn),且直線(xiàn)AC不過(guò)原點(diǎn),所以可設(shè)AC的方程為 .
由 消去 并整理得 .
設(shè)A ,C ,則 , .
所以AC的中點(diǎn)為( , ).
因?yàn)闉锳C和OB的交點(diǎn),所以直線(xiàn)OB的斜率為 .
因?yàn)?,所以AC與OB不垂直. 所以O(shè)ABC不是菱形,與假設(shè)矛盾.
所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),四邊形OABC不可能是菱形.
46．（高考陜西卷（理））已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0), 且在y軸上截得的弦N的長(zhǎng)為8.
(Ⅰ) 求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;
(Ⅱ) 已知點(diǎn)B(-1,0), 設(shè)不垂直于x軸的直線(xiàn) 與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P, Q, 若x軸是 的角平分線(xiàn), 證明直線(xiàn) 過(guò)定點(diǎn).
【答案】解:(Ⅰ) A(4,0),設(shè)圓心C
(Ⅱ) 點(diǎn)B(-1,0), .
直線(xiàn)PQ方程為:
所以,直線(xiàn)PQ過(guò)定點(diǎn)(1,0)
47．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù) 學(xué)（理）試題（WORD版））如圖,拋物線(xiàn) ,點(diǎn) 在拋物線(xiàn) 上,過(guò) 作 的切線(xiàn),切點(diǎn)為 ( 為原點(diǎn) 時(shí), 重合于 ) ,切線(xiàn) 的斜率為 .
(I)求 的值;
(II)當(dāng) 在 上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線(xiàn)段 中點(diǎn) 的軌跡方程.
【答案】
48．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對(duì)））已知雙曲線(xiàn) 的左、右焦點(diǎn)分別為 ,離心率為 直線(xiàn) 與 的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為 .
(I)求 ;
(II)設(shè)過(guò) 的直線(xiàn) 與 的左、右兩支分別相交于 兩點(diǎn),且 ,證明: 成等比數(shù)列.
【答案】
49．（上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）本題共有2個(gè)小題,第1小題滿(mǎn)分6分,第2小題滿(mǎn)分6分.
已知拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)為 .
(1)點(diǎn) 滿(mǎn)足 .當(dāng)點(diǎn) 在拋物線(xiàn) 上運(yùn)動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程;
(2)在 軸上是否存在點(diǎn) ,使得點(diǎn) 關(guān)于直線(xiàn) 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在拋物線(xiàn) 上?如果存在,求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn) 的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ,點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ,則 ,
因?yàn)?的坐標(biāo)為 ,所以 ,
由 得 .
即 解得
代入 ,得到動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程為 .
(2)設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 .點(diǎn) 關(guān)于直線(xiàn) 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 ,
則 解得
若 在 上,將 的坐標(biāo)代入 ,得 ,即 或 .
所以存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn) ,其坐標(biāo)為 和 .
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