我們?nèi)祟惿畹氖澜缡且粋�極其復(fù)雜的世界，例如，喧鬧的都市生活、變幻莫測的股市變化、復(fù)雜的生命現(xiàn)象、蜿蜒曲折的海岸線、坑坑洼洼的地面等等，都表現(xiàn)了客觀世界特別豐富的現(xiàn)象。基于傳統(tǒng)歐幾里得幾何學(xué)的各門自然科學(xué)總是把研究對象想象成一個個規(guī)則的形體，而我們生活的世界竟如此不規(guī)則和支離破碎，與歐幾里得幾何圖形相比，擁有完全不同層次的復(fù)雜性。分形幾何則提供了一種描述這種不規(guī)則復(fù)雜現(xiàn)象中的秩序和結(jié)構(gòu)的新方法。
一、分形幾何與分形藝術(shù)
什么是分形幾何？通俗一點說就是研究無限復(fù)雜但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)。什么是自相似呢？例如一棵蒼天大樹與它自身上的樹枝及樹枝上的枝杈，在形狀上沒什么大的區(qū)別，大樹與樹枝這種關(guān)系在幾何形狀上稱之為自相似關(guān)系；我們再拿來一片樹葉，仔細觀察一下葉脈，它們也具備這種性質(zhì)；動物也不例外，一頭牛身體中的一個細胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長信息；還有高山的表面，您無論怎樣放大其局部，它都如此粗糙不平等等。這些例子在我們的身邊到處可見。分形幾何揭示了世界的本質(zhì)，分形幾何是真正描述大自然的幾何學(xué)。
"分形"一詞譯于英文Fractal，系分形幾何的創(chuàng)始人曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁語Frangere一詞創(chuàng)造而成，詞本身具有"破碎"、"不規(guī)則"等含義。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他發(fā)現(xiàn)的并以他的名字命名的集合，他發(fā)現(xiàn)整個宇宙以一種出人意料的方式構(gòu)成自相似的結(jié)構(gòu)（見圖1）。Mandelbrot 集合圖形的邊界處，具有無限復(fù)雜和精細的結(jié)構(gòu)。如果計算機的精度是不受限制的話，您可以無限地放大她的邊界。圖2、圖3 就是將圖1中兩個矩形框區(qū)域放大后的圖形。當你放大某個區(qū)域，它的結(jié)構(gòu)就在變化，展現(xiàn)出新的結(jié)構(gòu)元素。這正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸線"，無論您怎樣放大它的局部，它總是曲折而不光滑，即連續(xù)不可微。微積分中抽象出來的光滑曲線在我們的生活中是不存在的。所以說，Mandelbrot集合是向傳統(tǒng)幾何學(xué)的挑戰(zhàn)。
圖 1 Mandelbrot集合
圖 2 Mandelbrot集合局部放大
圖 3 Mandelbrot集合局部放大
用數(shù)學(xué)方法對放大區(qū)域進行著色處理，這些區(qū)域就變成一幅幅精美的藝術(shù)圖案，這些藝術(shù)圖案人們稱之為"分形藝術(shù)"。"分形藝術(shù)"以一種全新的藝術(shù)風(fēng)格展示給人們，使人們認識到該藝術(shù)和傳統(tǒng)藝術(shù)一樣具有和諧、對稱等特征的美學(xué)標準。這里值得一提的是對稱特征，分形的對稱性即表現(xiàn)了傳統(tǒng)幾何的上下、左右及中心對稱。同時她的自相似性又揭示了一種新的對稱性，即畫面的局部與更大范圍的局部的對稱，或說局部與整體的對稱。這種對稱不同于歐幾里德幾何的對稱，而是大小比例的對稱，即系統(tǒng)中的每一元素都反映和含有整個系統(tǒng)的性質(zhì)和信息。這一點與上面所講的例子："一頭牛身體中的一個細胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長信息"，完全吻合。不管你是從科學(xué)的觀點看還是從美學(xué)的觀點看，她都是那么富有哲理，她是科學(xué)上的美和美學(xué)上的美的有機結(jié)合。
二、復(fù)平面中的神奇迭代
Mandelbrot集合是Mandelbrot在復(fù)平面中對簡單的式子 Z <- Z^2 + C 進行迭代產(chǎn)生的圖形。雖然式子和迭代運算都很簡單，但是產(chǎn)生的圖形出現(xiàn)那么豐富多樣的形態(tài)及精細結(jié)構(gòu)簡直令人難以置信以至于不可思議。在傳統(tǒng)幾何學(xué)中難以找到如此簡單的規(guī)律隱藏著如此復(fù)雜而生動的例子。Mandelbrot集合告訴我們自然界中簡單的行為可以導(dǎo)致復(fù)雜的結(jié)果。例如，大型團體操中每個人穿的衣服只有幾種顏色中的一種，每個人的動作也只是導(dǎo)演規(guī)定的幾種之一。但是整體上可以顯示出多種多樣的復(fù)雜形態(tài)。
Julia 集合
在復(fù)平面上，水平的軸線代表實數(shù)，垂直的軸線代表虛數(shù)。每個Julia集合（有無限多個點）都決定一個常數(shù)C，它是一個復(fù)數(shù)�，F(xiàn)在您在復(fù)平面上任意取一個點，其值是復(fù)數(shù)Z。將其代入下面方程中進行反復(fù)迭代運算：
就是說，用舊的Z自乘再加上C后的結(jié)果作為新的Z。再把新的Z作為舊的Z，重復(fù)運算。 當你不停地做，你將最后得到的Z值有3種可能性：
1、Z值沒有界限增加（趨向無窮）；
2、Z值衰減（趨向于零）；
3、Z值是變化的，即非1或非2；
趨向無窮和趨向于零的點叫定常吸引子，很多點在定常吸引子處結(jié)束，被定常吸引子所吸引。非趨向無窮和趨向于零的點是"Julia集合"部分，也叫混沌吸引子。
問題是我們怎樣才能讓計算機知道哪一個點是定常吸引子還是"Julia集合"。一般按下述算法近似計算：
n=0;
while ((n++ < Nmax) && (( Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) < Rmax))
{
Z=Z*Z+C;
}
其中：Nmax為最大迭代次數(shù)，Rmax為逃離界限。
退出while循環(huán)有兩種情況，第一種情況是：
(Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) >= Rmax
屬于這種情況的點相當于"1、Z值沒有界限增加（趨向無窮）"，為定常吸引子,我們把這些區(qū)域著成白色。第二種情況是：
n >= Nmax
屬于這種情況的點相當于"2、Z 值衰減（趨向于零）"或"3、Z 值是變化的"，我們把這些區(qū)域著成黑色。黑色區(qū)域圖形的邊界處即為"Julia集合"。"Julia集合"有著極其復(fù)雜的形態(tài)和精細的結(jié)構(gòu)。
黑白兩色的圖形藝術(shù)感染力不強。要想得到彩色圖形，最簡單的方法是用迭代返回值n來著顏色。要想獲得較好的藝術(shù)效果，一般對n做如下處理：
Red = n*Ar+Br;
Grn = n*Ag+Bg;
Blu = n*Ab+Bb;
if ((Red & 0x1FF) > 0xFF) Red = Red ^ 0xFF;
if ((Grn & 0x1FF) > 0xFF) Grn = Grn ^ 0xFF;
if ((Blu & 0x1FF) > 0xFF) Blu = Blu ^ 0xFF;
其中：Ar、Ag、Ab及Br、Bg、Bb為修正量
獲得的Red、Grn、Blu為RGB三基色，著色效果為周期變化，具有較強的藝術(shù)感染力，而且等位線也蘊藏在周期變化的色彩之中。
你可以想象得出，在屏幕上順序的試用每個像素點來反復(fù)迭代方程要花費很長的時間。一幅 1024x768 屏幕尺寸的畫面有786432個點。其中一些點在計算機上要反復(fù)迭代方程次數(shù)達1000次（取決于Nmax的取值）或更多次才放棄運算。運算產(chǎn)生一幅Julia集合需要花費很長的時間，有時需要產(chǎn)生一幅做海報用的大圖像時，如 10240x7680，要花幾天的時間。當然，你使用高速計算機會縮短這個時間。圖 4、5、6是三幅Julia集合：
圖 4 象塵埃一樣的結(jié)構(gòu)
圖 5 穩(wěn)定的固態(tài)型
圖 6 象樹枝狀
Mandelbrot 集合
將Mandelbrot集合和Julia集合聯(lián)系在一起，Julia集合有若干類型，都包含在Mandelbrot集合之中。Julia集合中的C是一個常量，而Mandelbrot集合的C是由進入迭代前的Z值而定。迭代結(jié)果，Z值同樣有3種可能性，即：
1、Z值沒有界限增加（趨向無窮）；
2、Z值衰減（趨向于零）；
3、Z值是變化的，即非1或非2 ；
Mandelbrot集合是所有的朱莉婭集合的合并，Mandelbrot集合的某個區(qū)域放大后就是這個點的Julia集合。 Mandelbrot集合有著一些很異國情調(diào)并且古怪的形狀（見圖1）。你能不停地永遠放大Mandelbrot集合，但是受到計算機精度的限制。
Newton/Nova 分形
Newton奠定了經(jīng)典力學(xué)、光學(xué)和微積分學(xué)的基礎(chǔ)。但是除了創(chuàng)造這些自然科學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科外，他還建立了一些方法，這些方法雖然比不上整個學(xué)科那么有名，但已被證明直到今天還是非常有價值的。例如，牛頓建議用一個逼近方法求解一個方程的根。你猜測一個初始點，然后使用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，用切線逐漸逼近方程的根。如方程 Z^6 + 1 = 0有六個根，用牛頓的方法"猜測"復(fù)平面上各點最后趨向方程的那一個根，你就可以得到一個怪異的分形圖形。和平常的Julia分形一樣，你能永遠放大下去，并有自相似性。牛頓分形圖形中的顏色顯示每個答案的種類及性質(zhì)，即迭代到目的地花費的時間，如圖7所示：
圖7 Newton分形
Paul Derbyshire研究牛頓分形圖形時，他把Julia集合的常值C加入進去改變了一下算法，并用同樣的方法去估算Z，逼近答案，產(chǎn)生奇特的并稱之為"Nova"的分形圖形。"Nova"類型分形圖形如圖8所示：
圖 8 Nova分形
三、關(guān)于分形藝術(shù)的爭論
把計算機產(chǎn)生的圖形看成是藝術(shù)，有人可能要提出一些疑問。這些圖形可以利用高品質(zhì)的打印機產(chǎn)生任意多幅同樣質(zhì)量的"原作"，從而在商業(yè)化的藝術(shù)市場上造成混亂，因此她沒有收藏價值，沒有收藏價值的作品還能算得上是藝術(shù)嗎？
這是一個十分敏感的問題。早在六十年代初有些數(shù)學(xué)家和程序設(shè)計人員就開始利用計算機及繪圖設(shè)備從事這方面的工作。但他們大部分人避免將自己的工作與"藝術(shù)"一詞掛起鉤來，以免與藝術(shù)界的人們發(fā)生沖突。但是有一些人還是挺著腰桿去面對批評，承認計算機是視覺藝術(shù)的一種新工具，稱他們自己的方法為"計算機藝術(shù)"。在批評面前，他們沒有受到影響。他們不顧理論界的反對而繼續(xù)自己的探索。他們積累了大量令人難忘的成果。正因為他們的努力才出現(xiàn)了今天的PhotoShop、Corel DRAW等等著名的軟件，以及各種計算機藝術(shù)團體組織。PhotoShop也成了某些美術(shù)專業(yè)學(xué)生的必修課。
當今時代出現(xiàn)的充滿科技含量的"分形藝術(shù)"又不同于運用PhotoShop從事的計算機藝術(shù)創(chuàng)作。 "分形藝術(shù)"是純數(shù)學(xué)產(chǎn)物，是否能算得上藝術(shù)必然會引起新的爭論。爭論最活躍的問題是：分形圖形是純數(shù)學(xué)產(chǎn)物能算得上藝術(shù)嗎？既然學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和程序設(shè)計就可以從事藝術(shù)創(chuàng)作了，學(xué)習(xí)美術(shù)專業(yè)還有什么用處呢？
這個問題提的好。從事分形藝術(shù)創(chuàng)作的人要研究產(chǎn)生這些圖形的數(shù)學(xué)算法，這些算法產(chǎn)生的圖形是無限的。他們沒有結(jié)束，你永遠不能看見它的全部。你不斷放大她們的局部，也許你可能正在發(fā)現(xiàn)前人沒曾見到過的圖案。這些圖案可能是非常精彩的。她們與現(xiàn)實世界相符合，從浩瀚廣闊的宇宙空間到極精致的細節(jié)，是完全可以用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來描述的。另一個的問題是顏色，好的顏色選擇，就可以得到一幅奇妙的圖形。糟糕的選擇，你得到的就是垃圾。所以說，創(chuàng)造分形藝術(shù)，最好再學(xué)一點繪畫基礎(chǔ)、色彩學(xué)等，那將是大有益處。
分形幾何沖擊著不同的學(xué)術(shù)領(lǐng)域，她在藝術(shù)領(lǐng)域顯示出非凡的作用。創(chuàng)作精美的分形藝術(shù)是國內(nèi)外分形藝術(shù)家們的人生追求，總有一天分形藝術(shù)會登上大雅藝術(shù)殿堂。
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaozhong/210601.html
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