有一種只研究圖形各部分位置的相對(duì)次序，而不考慮他們尺寸大小的新幾何學(xué)，叫做拓?fù)鋵W(xué)。有時(shí)人們也稱它是橡皮膜上的幾何學(xué)。因?yàn)橄鹌つど系膱D形，隨著橡皮膜的拉動(dòng)，其長(zhǎng)度、曲直、面積等等都將發(fā)生變化，但也有一些圖形的性質(zhì)保持不變。例如點(diǎn)變化后還是點(diǎn)，線變化后依舊是線；相交的圖形決不因橡皮的拉伸和彎曲而變得不相交！拓?fù)鋵W(xué)正是研究諸如此類，使圖形在橡皮膜上保持不變的性質(zhì)。在這種幾何中，扭曲和拉長(zhǎng)（但不包括撕開(kāi)和接合）稱為拓?fù)渥儞Q。圖形在拓?fù)渥儞Q下保持不變的性質(zhì)，稱為圖形的拓?fù)湫再|(zhì)。
三角形和圓使兩種截然不同的圖形，但他們都是簡(jiǎn)單的封閉曲線。在拓?fù)渥儞Q下，三角形能變成圓，三角形的內(nèi)部變成了圓的內(nèi)部，三角形的外部變成了圓的外部。這就是說(shuō)，簡(jiǎn)單封閉曲線的內(nèi)部和外部具有拓?fù)湫再|(zhì)。
圖１顯出了畫(huà)在一塊矩形橡皮膜上的三角形，被拉成了圓的情形。
從圖２的三個(gè)圖形可以想象出他們各自表示什么東西。在拓?fù)渥儞Q下，他們中的每一個(gè)圖形都能變成另一個(gè)圖形。 高二
傳說(shuō)古代有位國(guó)王，為了挑女婿曾經(jīng)給絡(luò)繹不絕的求婚者出過(guò)這樣一個(gè)題目：請(qǐng)用線把圖３中寫(xiě)有相同數(shù)字的小圓圈連接起來(lái)，但所連的線不許相交。
這個(gè)問(wèn)題似乎很簡(jiǎn)單，但實(shí)際上沒(méi)有一個(gè)求婚者能夠如愿以償。事實(shí)上，如圖4，我們很容易把①-①、②-②連起來(lái)，從而得到一條簡(jiǎn)單的封閉曲線，這條曲線把整個(gè)平面分為內(nèi)部(陰影部分)和外部這兩個(gè)區(qū)域。其中一個(gè)③在內(nèi)部區(qū)域，而另一個(gè)③卻在外部區(qū)域。要想從閉曲線內(nèi)部的③，畫(huà)一條線與外部的③相連，而與已畫(huà)的閉曲線不相交，這是不可能的！
用一個(gè)正方體做游戲：如圖5，假設(shè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)表示均勻分布在地球上的八個(gè)城市，而每個(gè)城市都有三條路線與毗鄰城市相連。某學(xué)者從A城出發(fā)，要到C′城去考察，途中順便到其他的六個(gè)城市旅游。要求這六個(gè)城市都只經(jīng)過(guò)一次而最后到達(dá)C′城。請(qǐng)畫(huà)出他的旅行路線。
要找出這條路線，最好是把它化為平面上的圖形來(lái)考慮。為此，我們不妨設(shè)想這正方體是由有彈性的橡皮薄膜制成，再用剪刀沿著棱剪掉它的一個(gè)面，然后扯著這個(gè)缺口把它拉開(kāi)鋪平，就成為一個(gè)平面圖形。這個(gè)圖形叫做正方體的拓?fù)淦矫鎴D（如圖6）。圖中的粗線和箭頭方向就表示它的一種解答。
如果這個(gè)旅行者最后要到達(dá)的城市不是C′而是D′，那么他的旅行路線又該是怎樣的呢？要畫(huà)出這條路線的任何嘗試總是不會(huì)成功。為什么呢？
把這八個(gè)城市按圖7用兩種不同的顏色區(qū)分開(kāi)，這樣，用一條棱連接的兩個(gè)頂點(diǎn)顏色都不同，那么以A點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)的第1號(hào)城市，以后到達(dá)的各城市依次編為2，3，…，8，可以知道：編為奇數(shù)的城市都應(yīng)該是白色的；編為偶數(shù)的城市都應(yīng)該是黑色的，作為最后到達(dá)的第8號(hào)城市當(dāng)然是黑色的�？梢�(jiàn)，從A城出發(fā)，以B′、D′、C為終點(diǎn)，中途又要不重復(fù)地經(jīng)過(guò)其他六個(gè)城市的路線都是不存在的。
下面是一道涉及拓?fù)鋵W(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題。
圖8是從一個(gè)8×10格的矩形紙上剪去兩個(gè)1×1的小方格后得到的。能不能把它全部剪成1×2格大小的矩形小紙片呢？為什么？
這是不可能的，由它上面剪下來(lái)的每一個(gè)小矩形都由兩個(gè)相鄰的小方格組成，這兩個(gè)小方格上染有不同的顏色。假設(shè)它能全部剪成這樣的小矩形紙片，那么它上面兩種顏色的格子數(shù)目應(yīng)當(dāng)相等。但它的灰色小方格比白色小方格少2個(gè)。所以它能全部剪成1×2格小矩形紙片的假設(shè)是錯(cuò)誤的。因此，不可能把它全部剪成這樣的小紙片。
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/75052.html
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