一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,通常也稱為韋達定理,這是因為該定理是由16世紀法國最杰出的數(shù)學家韋達 發(fā)現(xiàn)的.
韋達定理簡單的形式中包含了豐富的數(shù)學內(nèi)容,應(yīng)用廣泛,主要體現(xiàn)在:
運用韋達定理,求方程中參數(shù)的值;
運用韋達定理,求代數(shù)式的值;
利用韋達定理并結(jié)合根的判別式,討論根的符號特征;
利用韋達定理逆定理,構(gòu)造一元二次方程輔助解題等.
韋達定理具有對稱性,設(shè)而不求、整體代入是利用韋達定理解題的基本思路.
韋達定理,充滿 活力,它與代數(shù)、幾何中許多知識可有機結(jié)合,生成豐富多彩的數(shù)學問題,而解這類問題常用到對稱分析、構(gòu)造等數(shù)學思想方法.
【例題求解】
【例1】 已知 、 是方程 的兩個實數(shù) 根,則代數(shù)式 的值為 .
思路點撥 所求代數(shù)式為 、 的非對稱式,通過根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為(例
【例2】如果 、 都是質(zhì)數(shù),且 , ,那么 的值為( )
A. B. 或2 C. D. 或2
思路點撥 可將兩個等式相減,得到 、 的關(guān)系,由于兩個等式結(jié)構(gòu)相同,可視 、 為方程 的兩實根,這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用創(chuàng)造了條件.
注:應(yīng)用韋達定理的代數(shù)式的值,一般是關(guān)于 、 的對稱式,這類問題可通過變形用 + 、 表示求解,而非對稱式的求值常用到以下技巧:
(1)恰當組合;
(2)根據(jù)根的定義降次;
(3)構(gòu)造對稱式.
【例3 】 已知關(guān)于 的方程:
(1)求證:無論m取什么實數(shù)值,這個方程總有兩個相異實根.
(2)若這個方程的兩個實根 、 滿足 ,求m的值及 相應(yīng)的 、 .
思路點撥 對于(2),先判定 、 的符號特征,并從分類討論入手.
【例4】 設(shè) 、 是方程 的兩個實數(shù)根,當m為何值時 , 有最小值?并求出這個最小值.
思 路點撥 利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m的代數(shù)式表示,再從配方法入手,應(yīng)注意本例是在一定約束條件下(△≥0)進行的.
注:應(yīng)用韋達定理的前提條件是一元二次方程有兩個實數(shù)根,即應(yīng)用韋達定理 解題時,須滿足判別式△≥0這一條件,轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學思想方法,但要注意轉(zhuǎn)化前后問題 的等價性.
【例5】 已知:四邊形ABCD中,AB∥CD,且AB、CD的長是關(guān)于 的方程 的兩個根.
(1)當m=2和m>2時,四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說明理由.
(2)若M、N分別是AD、BC的中點,線段MN分別交AC、BD于點P,Q,PQ=1,且AB
注:在處理以線段的長為根的一元二次方程問題時,往往通過韋達定理、幾何性質(zhì)將幾何問題從“形”向“數(shù)”(方程)轉(zhuǎn)化,既要注意通過根的判別式的檢驗,又要考慮幾何量的非負性.
學歷訓練
1.(1)已知 和 為一元二次方程 的兩個實根,并 和 滿足不等式 ,則實數(shù) 取值范圍是 .
(2)已知關(guān)于 的一元二次方程 有兩個負數(shù)根,那么實數(shù) 的取值范圍是 .
2.已知 、 是方程的兩個實數(shù)根,則代數(shù)式 的值為 .
3.CD是Rt△ABC斜邊上的高線,AD、BD是方程 的兩根,則△ABC的面積是 .
4.設(shè) 、 是關(guān)于 的方程 的兩根, +1、 +1是關(guān)于 的方程 的兩根,則 、 的值分別等于( )
A.1,-3 B.1,3 C.-1,-3 D.-1,3
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊,a、b是關(guān)于
的方程 的兩根,那么AB邊上的 中線長是( )
A. B. C.5 D.2
6.方程 恰有兩個正整數(shù)根 、 ,則 的值是( )
A.1 B.-l C. D.
7.若關(guān)于 的一元二次方程的兩個實數(shù)根滿足關(guān)系式: ,判斷 是否正確?
8.已知關(guān)于 的方程 .
(1)當 是為何值時,此方程有實數(shù)根;
(2)若此方程的兩個實數(shù)根 、 滿足: ,求 的值.
9.已知方程 的兩根均為正整數(shù),且 ,那 么這個方程兩根為 .
10.已知 、 是方程 的兩個根,則 的值為 .
11.△ABC的一邊長為5,另兩邊長恰為方程 的兩根,則m的取值范圍是 .
12.兩個質(zhì)數(shù) 、 恰好是整系數(shù)方程的兩個根,則 的值是( )
A.9413 B. C. D.
13.設(shè)方程有一個正根 ,一個負根 ,則以 、 為根的一元二次方程為( )
A. B.
C. D.
14.如果方程 的三根可以作為一個三角形的三邊之長,那么實數(shù)m的取值范圍是( )
A.0≤m≤1 B.m≥ C. D. ≤m≤1
15.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC的長為10,且AB、BC(AB>BC)的長是關(guān)于 的方程的兩個根.
(1)求rn的值;
(2)若E是AB上的一點,CF⊥DE于F,求BE為何值時,△CEF的面積是△CED的面積的 ,請說明理由.
16.設(shè)m是不小于 的實數(shù),使得關(guān)于 的方程工 有兩個不相等的實數(shù)根 、 .
(1)若 ,求m的值.
(2)求 的最大值.
17.如圖,已知在△ABC中,∠ACB=90°,過C作CD⊥AB于D,且AD=m,BD=n,AC2:BC2=2:1;又關(guān)于x的方程 兩實數(shù)根的差的平方小于192,求整數(shù)m、n的值.
18.設(shè) 、 、 為三個不同的實數(shù),使得方程和 和 有一個相同的實數(shù)根,并且使方程 和 也有一個相同的實數(shù)根,試求 的值.
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