25 對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用
一、前準(zhǔn)備:
【自主梳理】
1. , .
2. , .
3.已知 ,則 .
4.已知 ,則 .
【自我檢測】
1. 函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間為____ __.
2.直線 是曲線 的一條切線,則實(shí)數(shù)b= .
3.曲線 上的點(diǎn)到直線 的最短距離是 .
4.已知函數(shù) ,則 在區(qū)間 上的最大值和最小值分別為
和 .
5.已知函數(shù) , .若函數(shù) 與 在區(qū)間 上均為增函數(shù),則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .
二、堂活動(dòng):
【例1】題:
(1)函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 .
(2)點(diǎn) 是曲線 上任意一點(diǎn),則點(diǎn) 到直線 的距離的最小值是 .
(3)若函數(shù) 在定義域內(nèi)是增函數(shù),則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .
(4)已知函數(shù) ,則曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為__________。
【例2】已知函數(shù) .
(Ⅰ)若 ,求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程;
(Ⅱ)求 的極值;
(Ⅲ)若函數(shù) 的圖象與函數(shù) 的圖象在區(qū)間 上有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
【例3】已知函數(shù) .
(Ⅰ)若曲線 在 和 處的切線互相平行,求 的值;
(Ⅱ)求 的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè) ,若對任意 ,均存在 ,使得 ,求 的取值范圍.
三、后作業(yè)
1.已知函數(shù) ,則函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間為 .
2.已知函數(shù) 的圖象在點(diǎn) ( 為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線斜率為3.則實(shí)數(shù) 的值為 .
3.已知函數(shù) ,則曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為 .
4.已知函數(shù)f(x)=x2-x+alnx,當(dāng) 時(shí), 恒成立,則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .
5.已知函數(shù) 且 ,其中 、 則m的值為 .
6.若f(x)= 上是減函數(shù),則b的取值范圍是 .
7.設(shè)函數(shù) 若直線l與函數(shù) 的圖象都相切,且與函數(shù) 的圖象相切于點(diǎn) ,則實(shí)數(shù)p的值 .
8.已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù) , ,其中 .設(shè)兩曲線 , 有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同,則用 可用 表示為_________.
9.已知函數(shù) .
(Ⅰ)若 ,求曲線 在 處切線的斜率;(Ⅱ)求 的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè) ,若對任意 ,均存在 ,使得 ,求 的取值范圍.
10.設(shè)函數(shù) ( ), .
(1) 若函數(shù) 圖象上的點(diǎn)到直線 距離的最小值為 ,求 的值;
(2) 關(guān)于 的不等式 的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù) 的取值范圍;
(3) 對于函數(shù) 與 定義域上的任意實(shí)數(shù) ,若存在常數(shù) ,使得 和 都成立,則稱直線 為函數(shù) 與 的“分界線”.設(shè) , ,試探究 與 是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.
四、糾錯(cuò)分析
錯(cuò)題卡題 號錯(cuò) 題 原 因 分 析
參考答案:
【自我檢測】
1. 2.ln2-1 3. 4. 和 5.
二、堂活動(dòng):
【例1】(1) (2) (3) (4)
【例2】解:(Ⅰ) ∵ ,∴ 且 .
又∵ ,∴ .
∴ 在點(diǎn) 處的切線方程為: ,即 .
(Ⅱ) 的定義域?yàn)?, , 令 得 .當(dāng) 時(shí), , 是增函數(shù);當(dāng) 時(shí), , 是減函數(shù);∴ 在 處取得極大值,即 .
(Ⅲ)(i)當(dāng) ,即 時(shí),由(Ⅱ)知 在 上是增函數(shù),在 上是減函數(shù),∴當(dāng) 時(shí), 取得最大值,即 .又當(dāng) 時(shí), ,當(dāng) 時(shí), ,當(dāng) 時(shí), ,所以, 的圖像與 的圖像在 上有公共點(diǎn),等價(jià)于 ,解得 ,又因?yàn)?,所以 .
(ii)當(dāng) ,即 時(shí), 在 上是增函數(shù),∴ 在 上的最大值為 ,∴原問題等價(jià)于 ,解得 ,又∵ ∴無解.
綜上, 的取值范圍是 .
【例3】解: .
(Ⅰ) ,解得 .
(Ⅱ) .
①當(dāng) 時(shí), , , 在區(qū)間 上, ;在區(qū)間 上 ,
故 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是 .
②當(dāng) 時(shí), , 在區(qū)間 和 上, ;在區(qū)間 上 ,
故 的單調(diào)遞增區(qū)間是 和 ,單調(diào)遞減區(qū)間是 .
③當(dāng) 時(shí), , 故 的單調(diào)遞增區(qū)間是 .
④當(dāng) 時(shí), , 在區(qū)間 和 上, ;在區(qū)間 上 ,
故 的單調(diào)遞增區(qū)間是 和 ,單調(diào)遞減區(qū)間是 .
(Ⅲ)由已知,在 上有 .
由已知, ,由(Ⅱ)可知,①當(dāng) 時(shí), 在 上單調(diào)遞增,故 ,所以, ,解得 ,故 .
②當(dāng) 時(shí), 在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減,故 .由 可知 , , ,所以, , , 綜上所述, .
三、后作業(yè)
1.(1,+∞) 2. 3. 4. 5.m=1
6.(-∞,-1) 7.p=1或p=3 8.
9.解:(Ⅰ)由已知 , .故曲線 在 處切線的斜率為 .
(Ⅱ) .
①當(dāng) 時(shí),由于 ,故 , ,所以, 的單調(diào)遞增區(qū)間為 .
②當(dāng) 時(shí),由 ,得 .在區(qū)間 上, ,在區(qū)間 上 ,
所以,函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ,單調(diào)遞減區(qū)間為 .
(Ⅲ)由已知,轉(zhuǎn)化為 . .
由(Ⅱ)知,當(dāng) 時(shí), 在 上單調(diào)遞增,值域?yàn)?,故不符合題意.
(或者舉出反例:存在 ,故不符合題意.)
當(dāng) 時(shí), 在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減,
故 的極大值即為最大值, ,
所以 ,解得 .
10.解:(1)因?yàn)?,所以 ,令 ,得: ,此時(shí) ,則點(diǎn) 到直線 的距離為 ,
即 ,解之得 .
(2)解法一:不等式 的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),
等價(jià)于 恰有三個(gè)整數(shù)解,故 ,
令 ,由 且 ,
所以函數(shù) 的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間 ,
則另一個(gè)零點(diǎn)一定在區(qū)間 ,故 解之得 .
解法二: 恰有三個(gè)整數(shù)解,故 ,即 ,
,所以 ,又因?yàn)?, 所以 ,解之得 .
(3)設(shè) ,則 .
所以當(dāng) 時(shí), ;當(dāng) 時(shí), .因此 時(shí), 取得最小值 ,則 與 的圖象在 處有公共點(diǎn) .
設(shè) 與 存在 “分界線”,方程為 ,
即 ,由 在 恒成立,則 在 恒成立 .所以 成立,因此 .
下面證明 恒成立.
設(shè) ,則 .
所以當(dāng) 時(shí), ;當(dāng) 時(shí), .
因此 時(shí) 取得最大值 ,則 成立.
故所求“分界線”方程為: .
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