3.2 簡單的三角恒等變換
【教學目標】
會用已學公式進行三角函數式的化簡、求值和證明,引導學生推導半角公式,積化和差、
和差化積公式(公式不要求記憶),使學生進一步提高運用轉化、換元、方程等數學思想解決問題的能力。
【教學重點、難點】
教學重點:引導學生以已有公式為依據,以推導半角公式,積化和差、和差化積公式作為基本訓練,學習三角變換的內容、思路和方法,三角變換的特點,提高推理、運算能力。
教學難點:認識三角變換的特點,并能運用數學思想方法指導變換過程的設計,不斷提高從整體上把握變換過程的能力。
【教學過程】
復習引入:復習倍角公式 、 、
先讓學生默寫三個倍角公式,注意等號兩邊角的關系,特別注意 。既然能用單角
表示倍角,那么能否用倍角表示單角呢?
半角公式的推導及理解 :
例1、試以 表示 .
解析:我們可以通過二倍角 和 做此題.(二倍角公式中以代2, 代)
解:因為 ,可以得到 ;
因為 ,可以得到 .
兩式相除可以得到 .
點評:⑴以上結果還可以表示為:
并稱之為半角公式(不要求記憶),符號由 角的象限決定。
⑵降倍升冪公式和降冪升倍公式被廣泛用于三角函數式的化簡、求值、證明。
⑶代數式變換往往著眼于式子結構形式的變換,三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯系,并以此為依據選擇可以聯系他們的適當公式,這是三角式恒等變換的重要特點。
變式訓練1:求證
積化和差、和差化積公式的推導(公式不要求記憶):
例2:求證:
(1) ;
(2) .
解析:回憶并寫出兩角和與兩角差的正余弦公式,觀察公式與所證式子的聯系。
證明:(1)因為 和 是我們所學習過的知識,因此我們從等式右邊著手.
; .
兩式相加得 ;
即 ;
(2)由(1)得 ①;設 ,
那么 .
把 的值代入①式中得 .
點評:在例2證明中用到了換元思想,(1)式是積化和差的形式,(2)式是和差化積的形式,在后面的練習當中還有六個關于積化和差、和差化積的公式.
變式訓練2:本p142 2(2)、3(3)
例3、求函數 的周期,最大值和最小值.
解析:利用三角恒等變換,先把函數式化簡,再求相應的值。
解: ,
所以,所求的周期 ,最大值為2,最小值為 .
點評:例3是三角恒等變換在數學中應用的舉例,它使三角函數中對函數 的性質研究得到延伸,體現了三角變換在化簡三角函數式中的作用.
變式訓練3:本p142 4、(1)(2)(3)
探究:求y=asinx+bcosx的周期,最大值和最小值.
小結:我們要對三角恒等變換過程中體現的換元、逆向使用公式等數學思想方法加深認識,學會靈活運用.
作業(yè)布置:本p143 習題3.2 A組1、(1)(5) 3 、5
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