2015年全國(guó)各地高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編9：圓錐曲線

一、
1 ．（2015年高考湖北卷（文））已知 ,則雙曲線 : 與 : 的（　�。�
A．實(shí)軸長(zhǎng)相等B．虛軸長(zhǎng)相等C．離心率相等D．焦距相等
【答案】D
2 ．（2015年高考四川卷（文））從橢圓 上一點(diǎn) 向 軸作垂線,垂足恰為左焦點(diǎn) , 是橢圓與 軸正半軸的交點(diǎn), 是橢圓與 軸正半軸的交點(diǎn),且 ( 是坐標(biāo)原點(diǎn)),則該橢圓的離心率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C

3 ．（2015年高考課標(biāo)Ⅱ卷（文））設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線L過F且與C交于A, B兩點(diǎn).若AF=3BF,則L的方程為（　�。�
A．y=x-1或y=-x+1B．y= (X-1)或y=- (x-1)
C．y= (x-1)或y=- (x-1)D．y= (x-1)或y=- (x-1)
【答案】C
4 ．（2015年高考課標(biāo)Ⅰ卷（文）） 為坐標(biāo)原點(diǎn), 為拋物線 的焦點(diǎn), 為 上一點(diǎn),若 ,則 的面積為（　�。�
A． B． C． D．
【答案】C
5 ．（2015年高考課標(biāo)Ⅰ卷（文））已知雙曲線 的離心率為 ,則 的漸近線方程為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
6 ．（ 2015年高考福建卷（文））雙曲線 的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于（　�。�
A． B． C．1D．
【答案】B
7 ．（2015年高考廣東卷（文））已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為 ,離心率等于 ,則C的方程是（　�。�
A． B． C． D．
【答案】D

8 ．（2015年高考四川卷（文））拋物線 的焦點(diǎn)到直線 的距離是（　�。�
A． B． C． D．
【答案】D
9 ．（2015年高考課標(biāo)Ⅱ卷（文））設(shè)橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 是 上的點(diǎn) ,則 的離心率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
10．（2015年高考大綱卷（文））已知 且 則 的方程為（　�。�
A． B． C． D．
【答案】C
11．（2015年高考遼寧卷（文））已知橢圓 的左焦點(diǎn)為F 兩點(diǎn),連接了 ,若 ,則 的離心率為（　�。�
A． B． C． D．
【答案】B
12．（2015年高考重慶卷（文））設(shè)雙曲線 的中心為點(diǎn) ,若有且只有一對(duì)相較于點(diǎn) 、所成的角為 的直線 和 ,使 ,其中 、 和 、 分別是這對(duì)直線與雙曲線 的交點(diǎn),則該雙曲線的離心率的取值范圍是zhangwlx（　�。�
A． B． C． D．
【答案】A
13．（2015年高考大綱卷（文））已知拋物線 與點(diǎn) ,過 的焦點(diǎn)且斜率為 的直線與 交于 兩點(diǎn),若 ,則 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
14．（2015年高考北京卷（文））雙曲線 的離心率大于 的充分必要條件是（　�。�
A． B． C． D．
【答案】C
15．（2015年上海高考數(shù)學(xué)試題（文科））記橢圓 圍成的區(qū)域(含邊界)為 ,當(dāng)點(diǎn) 分別在 上時(shí), 的最大值分別是 ,則 （　�。�
A．0B． C．2D．
【答案】D
16．（2015年高考安徽（文））直線 被圓 截得的弦長(zhǎng)為（　　）
A．1B．2C ．4D．
【答案】C
17．（2015年高考江西卷（文））已知點(diǎn)A(2,0),拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,射線FA與拋物線C相交于點(diǎn),與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,則F:N=（　�。�
A．2: B．1:2C．1: D．1:3
【答案】C

18．（2015年高考山東卷（文））拋物線 的焦點(diǎn)與雙曲線 的右焦點(diǎn)的連線交 于第一象限的點(diǎn),若 在點(diǎn)處的切線平行于 的一條漸近線,則 =（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
19．（2015年高考浙江卷（文））如圖F1.F2是橢圓C1:x24+y2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)（　�。�
A．B分別是C1.C2在第二.四象限的公共點(diǎn),若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是
（　�。�
A． 2B． 3C．32D． 62
【答案】D．

二、題
20．（2015年高考湖南（文））設(shè)F1,F2是雙曲線C, (a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn).若在C上存在一點(diǎn)P.使
PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,則C的離心率為____ _______.
【答案】
21．（2015年高考陜西卷（文））雙曲線 的離心率為________.
【答案】
22．（2015年高考遼寧卷（文））已知 為雙曲線 的左焦點(diǎn), 為 上的點(diǎn),若 的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍,點(diǎn) 在線段 上,則 的周長(zhǎng)為____________.
【答案】44
23．（2015年上海高考數(shù)學(xué)試題（文科））設(shè) 是橢圓 的長(zhǎng)軸,點(diǎn) 在 上,且 .若 , ,則 的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為_______.
【答案】
24．（2015年高考北京卷（文））若拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)則 =____;準(zhǔn)線方程為_____.
【答案】2,
25．（2015年高考福建卷（文））橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 ,焦距為 .若直線 與
橢圓 的一個(gè)交點(diǎn) 滿足 ,則該橢圓的離心率等于__________
【答案】
26．（2015年高考天津卷（文））已知拋物線 的準(zhǔn)線過雙曲線 的一個(gè)焦點(diǎn), 且雙曲線的離心率為2, 則該雙曲線的方程為______.
【答案】
三、解答題
27．（2015年高考浙江卷（文））已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0),焦點(diǎn)F(0,1)
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ) 過點(diǎn)F作直線交拋物線C于A.B兩點(diǎn).若直線AO.BO分別交直線l:y=x-2于.N兩點(diǎn),
求N的最小值.

【答案】解:(Ⅰ)由已知可得拋物線的方程為: ,且 ,所以拋物線方程是: ;
(Ⅱ)設(shè) ,所以 所以 的方程是: ,
由 ,同理由
所以 ①
設(shè) ,由 ,
且 ,代入①得到:
,
設(shè) ,
①當(dāng) 時(shí)
,所以此時(shí) 的最小值是 ;
②當(dāng) 時(shí),
,所以此時(shí) 的最小值是 ,此時(shí) , ;
綜上所述: 的最小值是 ;

28．（2015年高考山東卷（文））在平面直角坐標(biāo)系 中,已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在 軸上,短軸長(zhǎng)為2,離心率為
(I)求橢圓C的方程
(II)A,B為橢圓C上滿足 的面積為 的任意兩點(diǎn),E為線段AB的中點(diǎn),射線OE交橢圓C與點(diǎn)P,設(shè) ,求實(shí)數(shù) 的值.
【答案】

將 代入橢圓方程 ,得

29．（2015年高考廣東卷（文））已知拋物線 的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn) 到直線 的距離為 .設(shè) 為直線 上的點(diǎn),過點(diǎn) 作拋物線 的兩條切線 ,其中 為切點(diǎn).
(1) 求拋物線 的方程;
(2) 當(dāng)點(diǎn) 為直線 上的定點(diǎn)時(shí),求直線 的方程;
(3) 當(dāng)點(diǎn) 在直線 上移動(dòng)時(shí),求 的最小值.

【答案】(1)依題意 ,解得 (負(fù)根舍去)
拋物線 的方程為 ;
(2)設(shè)點(diǎn) , , ,
由 ,即 得 .
∴拋物線 在點(diǎn) 處的切線 的方程為 ,
即 .
∵ , ∴ .
∵點(diǎn) 在切線 上, ∴ . ①
同理, . ②
綜合①、②得,點(diǎn) 的坐標(biāo)都滿足方程 .
∵經(jīng)過 兩點(diǎn)的直線是唯一的,
∴直線 的方程為 ,即 ;
(3)由拋物線的定義可知 ,
所以
聯(lián)立 ,消去 得 ,

當(dāng) 時(shí), 取得最小值為
30．（2015年上海高考數(shù)學(xué)試題（文科））本題共有3個(gè)小題.第1小題滿分3分,第2小題滿分6分,第3小題滿分9分.
如圖,已知雙曲線 : ,曲線 : . 是平面內(nèi)一點(diǎn),若存在過點(diǎn) 的直線與 、 都有公共點(diǎn) ,則稱 為“ 型點(diǎn)”.
(1)在正確證明 的左焦點(diǎn)是“ 型點(diǎn)”時(shí),要使用一條過該焦點(diǎn)的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗(yàn)證);
(2)設(shè)直線 與 有公共點(diǎn),求證 ,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“ 型點(diǎn);
(3)求證:圓 內(nèi)的點(diǎn)都不是“ 型點(diǎn)”.

【答案】

31．（2015年高考福建卷（文））如圖,在拋物線 的焦點(diǎn)為 ,準(zhǔn)線 與 軸的交點(diǎn)為 .點(diǎn) 在拋物線 上,以 為圓心 為半徑作圓,設(shè)圓 與準(zhǔn)線 的交于不同的兩點(diǎn) .
(1)若點(diǎn) 的縱坐標(biāo)為2,求 ;
(2)若 ,求圓 的半徑.

【答案】解:(Ⅰ)拋物線 的準(zhǔn)線 的方程為 ,
由點(diǎn) 的縱坐標(biāo)為 ,得點(diǎn) 的坐標(biāo)為
所以點(diǎn) 到準(zhǔn)線 的距離 ,又 .
所以 .
(Ⅱ)設(shè) ,則圓 的方程為 ,
即 .
由 ,得
設(shè) , ,則:

由 ,得
所以 ,解得 ,此時(shí)
所以圓心 的坐標(biāo)為 或
從而 , ,即圓 的半徑為
32．（2015年高考北京卷（文））直線 ( ) : 相交于 , 兩點(diǎn), 是坐標(biāo)原點(diǎn)
(1)當(dāng)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ,且四邊形 為菱形時(shí),求 的長(zhǎng).
(2)當(dāng)點(diǎn) 在 上且不是 的頂點(diǎn)時(shí),證明四邊形 不可能為菱形.
【答案】解:(I)因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分.
所以可設(shè) ,代入橢圓方程得 ,即 . 所以AC= .
(II)假設(shè)四邊形OABC為菱形.
因?yàn)辄c(diǎn)B不是 的頂點(diǎn),且AC⊥OB,所以 .
由 ,消去 并整理得 .
設(shè)A ,C ,則 , .
所以AC的中點(diǎn)為( , ).
因?yàn)闉锳C和OB的交點(diǎn),且 , ,所以直線OB的斜率為 .
因?yàn)?,所以AC與OB不垂直. 所以O(shè)ABC不是菱形, 與假設(shè)矛盾.
所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn) 時(shí),四邊形OABC不可能是菱形.
33．（2015年高考課標(biāo)Ⅰ卷（文））已知圓 ,圓 ,動(dòng)圓 與圓 外切并且與圓 內(nèi)切,圓心 的軌跡為曲線 .
(Ⅰ)求 的方程;
(Ⅱ) 是與圓 ,圓 都相切的一條直線, 與曲線 交于 , 兩點(diǎn),當(dāng)圓 的半徑最長(zhǎng)是,求 .

請(qǐng)考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答.注意:只能做所選定的題目.如果多做,則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分,作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的 方框涂黑.
【答案】解:由已知得圓的圓心為(-1,0),半徑 ;圓N的圓心為N(1,0),半徑 .
設(shè)知P的圓心為P(x,y),半徑為R.
(I)因?yàn)閳AP與圓外切并且與圓N內(nèi)切,所以
.
有橢圓的定義可知,曲線C是以,N為左.右焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為 的橢圓(左定點(diǎn)除外),其方程為 .
(II)對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn) ,由于 ,所以R 2,當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí),R=2,所以當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí),其方程為 ;
若l的傾斜角為90°,則l與y軸重合,可得 .
若l的傾斜角不為90°,則 知l不平行于x軸,設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q,
則 ,可求得Q(-4,0),所以可設(shè)l:y=k(x+4).由l于圓相切得 ,
解得k=± .
當(dāng)k= 時(shí),將y= x+ 代入 ,并整理得 ,
解得 .
當(dāng)k= .
綜上, .
34．（2015年高考陜西卷（文））已知?jiǎng)狱c(diǎn)(x,y)到直線l:x = 4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍.
(Ⅰ) 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡C的方程;
(Ⅱ) 過點(diǎn)P(0,3)的直線與軌跡C交于A, B兩點(diǎn). 若A是PB的中點(diǎn), 求直線的斜率.
【答案】解: (Ⅰ) 點(diǎn)(x,y)到直線x=4的距離,是到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍,則
.
所以,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為 橢圓,方程為
(Ⅱ) P(0, 3), 設(shè)
橢圓 經(jīng)檢驗(yàn)直線不經(jīng)過這2點(diǎn),即直線斜率k存在. .聯(lián)立橢圓和直線方程,整理得:


所以,直線的斜率
35．（2015年高考大綱卷（文））已知雙曲線 離心率為 直線
(I)求 ;
(II) 證明: 成等比數(shù)列
【答案】(Ⅰ)由題設(shè)知 ,即 ,故 .
所以C的方程為 .
將y=2代入上式,求得, .
由題設(shè)知, ,解得, .
所以 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, , ,C的方程為 . ①
由題意可設(shè) 的方程為 , ,代入①并化簡(jiǎn)得,
.
設(shè) , ,則
, , , .
于是
,

由 得, ,即 .
故 ,解得 ,從而 .
由于 ,
,
故 ,
.
因而 ,所以 、 、 成等比數(shù)列.

36．（2015年高考天津卷（文））設(shè)橢圓 的左焦點(diǎn)為F, 離心率為 , 過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為 .
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ) 設(shè)A, B分別為橢圓的左右頂點(diǎn), 過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點(diǎn). 若 , 求k的值.
【答案】

37．（2015年高考遼寧卷（文））如圖,拋物線 ,點(diǎn) 在拋物線 上,過 作 的切線,切點(diǎn)為 ( 為原點(diǎn) 時(shí), 重合于 ) ,切線 的斜率為 .
(I)求 的值;
(II)當(dāng) 在 上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段 中點(diǎn) 的軌跡方程.

【答案】


38．（2015年高考課標(biāo)Ⅱ卷（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中,己知圓P在x軸上截得線段長(zhǎng)為2 ,在Y軸上截得線
段長(zhǎng)為2 .
(Ⅰ)求圓心P的軌跡方程;
(Ⅱ)若P點(diǎn)到直線y=x的距離為 ,求圓P的方程.
【答案】


39．（2015年高考湖北卷（文））如圖,已知橢圓 與 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) ,長(zhǎng)軸均為 且在 軸上,短軸長(zhǎng)分別
為 , ,過原點(diǎn)且不與 軸重合的直線 與 , 的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從
大到小依次為A,B,C,D.記 ,△ 和△ 的面積分別為 和 .
(Ⅰ)當(dāng)直線 與 軸重合時(shí),若 ,求 的值;
(Ⅱ)當(dāng) 變化時(shí),是否存在與坐標(biāo)軸不重合 的直線l,使得 ?并說(shuō)明理由.

2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(湖北卷
【答案】依題意可設(shè)橢圓 和 的方程 分別為
: , : . 其中 ,
(Ⅰ)解法1:如圖1,若直線 與 軸重合,即直線 的方程為 ,則
, ,所以 .
在C1和C2的方程中分別令 ,可得 , , ,
于是 .
若 ,則 ,化簡(jiǎn)得 . 由 ,可解得 .
故當(dāng)直線 與 軸重合時(shí),若 ,則 .
解法2:如圖1,若直線 與 軸重合 ,則
, ;
, .
所以 .
若 ,則 ,化簡(jiǎn)得 . 由 ,可解得 .
故當(dāng)直線 與 軸重合時(shí),若 ,則 .

(Ⅱ)解法1:如圖2,若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得 . 根據(jù)對(duì)稱性,
不妨設(shè)直線 : ,
點(diǎn) , 到直線 的距離分別為 , ,則
因?yàn)?, ,所以 .
又 , ,所以 ,即 .
由對(duì)稱性可知 ,所以 ,
,于是
. ①
將 的方程分別與C1,C2的方程聯(lián)立,可求得
, .
根據(jù)對(duì)稱性可知 , ,于是
. ②
從而由①和②式可得
. ③
令 ,則由 ,可得 ,于是由③可解得 .
因?yàn)?,所以 . 于是③式關(guān)于 有解,當(dāng)且僅當(dāng) ,
等價(jià)于 . 由 ,可解得 ,
即 ,由 ,解得 ,所以
當(dāng) 時(shí),不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得 ;
當(dāng) 時(shí),存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l使得 .
解法2:如圖2,若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得 . 根據(jù)對(duì)稱性,
不妨設(shè)直線 : ,
點(diǎn) , 到直線 的距離分別為 , ,則
因?yàn)?, ,所以 .
又 , ,所以 .
因?yàn)?,所以 .
由點(diǎn) , 分別在C1,C2上,可得
, ,兩式相減可得 ,
依題意 ,所以 . 所以由上式解得 .
因?yàn)?,所以由 ,可解得 .
從而 ,解得 ,所以
當(dāng) 時(shí),不存在與坐標(biāo) 軸不重合的直線l,使得 ;
當(dāng) 時(shí),存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l使得 .

40．（2015年高考重慶卷（文））(本小題滿分12分,(Ⅰ)小問4分,(Ⅱ)小問8分)
如題(21)圖,橢圓的中心為原點(diǎn) ,長(zhǎng)軸在 軸上,離心率 ,過左焦點(diǎn) 作 軸的垂線交橢圓于 、 兩點(diǎn), .
(Ⅰ)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)取平行于 軸的直線與橢圓相較于不同的兩點(diǎn) 、 ,過 、 作圓心為 的圓,使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓 外.求 的面積 的最大值,并寫出對(duì)應(yīng)的圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】

41．（2015年高考湖南（文））已知 , 分別是橢圓 的左、右焦點(diǎn) , 關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)是圓 的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn).
(Ⅰ)求圓 的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn) 的直線 被橢圓 和圓 所截得的弦長(zhǎng)分別為 , .當(dāng) 最大時(shí),求直線 的方程.
【答案】解: (Ⅰ) 先求圓C關(guān)于直線x + y ? 2 = 0對(duì)稱的圓D,由題知圓D的直徑為 直線 對(duì)稱 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 (2,0), ,據(jù)題可設(shè)直線 方程為: x = y +2,∈R. 這時(shí)直線 可被 圓和橢圓截得2條弦,符合題意.
圓C: 到直線 的距離 .

由橢圓的焦半徑公式得:
.

所以當(dāng)
42．（2015年高考安徽（文））已知橢圓 的焦距為4,且過點(diǎn) .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè) 為橢圓 上一點(diǎn),過點(diǎn) 作 軸的垂線,垂足為 .取點(diǎn) ,連接 ,過點(diǎn) 作 的垂線交 軸于點(diǎn) .點(diǎn) 是點(diǎn) 關(guān)于 軸的對(duì)稱點(diǎn),作直線 ,問這樣作出的直線 是否與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)?并說(shuō)明理由
【答案】解: (1)因?yàn)闄E圓過點(diǎn)
且
橢圓C的方程是
(2)

由題意,各點(diǎn)的坐標(biāo)如上圖所示,
則 的直線方程:
化簡(jiǎn)得
又 ,
所以 帶入
求得最后
所以直線 與橢圓只 有一個(gè)公共點(diǎn).

43．（2015年高考江西卷（文））橢圓C: =1(a>b>0)的離心率 ,a+b=3
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,A,B,D是橢圓C的頂點(diǎn),P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn),直線DP交x軸于點(diǎn)N直線AD交BP于點(diǎn),設(shè)BP的斜率為k,N的斜率為,證明2-k為定值.

【答案】解: 所以 再由a+b=3得a=2,b=1,

①
將①代入 ,解得
又直線AD的方程為 ②
①與②聯(lián)立解得
由 三點(diǎn)共線可角得
所以N的分斜率為= ,則 (定值)

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