數(shù)學(xué)因運動而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈。動態(tài)題是近年來中考的的一個熱點問題，以運動的觀點探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動態(tài)幾何問題，隨之產(chǎn)生的動態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性的試題，就其運動對象而言，有點動、線動、面動三大類，就其運動形式而言，有軸對稱（翻折）、平移、旋轉(zhuǎn)（中心對稱、滾動）等，就問題類型而言，有函數(shù)關(guān)系和圖象問題、面積問題、最值問題、和差問題、定值問題和存在性問題等。解這類題目要“以靜制動”，即把動態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解，而靜態(tài)問題又是動態(tài)問題的特殊情況。以動態(tài)幾何問題為基架而精心設(shè)計的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射。
   動態(tài)幾何形成的存在性問題是動態(tài)幾何中的基本類型，包括等腰（邊）三角形存在問題；直角三角形存在問題；平行四邊形存在問題；矩形、菱形、正方形存在問題；梯形存在問題；全等三角形存在問題；相似三角形存在問題；其它存在問題等。本專題原創(chuàng)編寫線動形成的等腰三角形存在性問題模擬題。
在中考壓軸題中，線動形成的等腰三角形存在性問題的重點和難點在于應(yīng)用分類思想和數(shù)形結(jié)合的思想準確地進行分類。
原創(chuàng)模擬預(yù)測題1.在平面直角坐標系中，已知拋物線 （a，c為常數(shù)）的頂點為P，等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0，?1），C的坐標為（?4，3），直角頂點B在第二象限。
（1）如圖，若該拋物線過A，B兩點，求該拋物線的函數(shù)表達式；
（2）平移（1）中的拋物線，使頂點P在直線AC上滑動，且與AC交于另一點Q，若點M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點，當以M、P、Q三點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求出所有符合條件的點M的坐標。
 
【答案】解：（1）由題意，得點B的坐標為（?4，?1），
∵拋物線 過A（0，?1），B（?4，?1）兩點，
∴ ，解得 。
∴拋物線的函數(shù)表達式為： 。
（2）∵A（0，?1），C（?4，3），∴直線AC的解析式為： 。
設(shè)平移前拋物線的頂點為P0，則由（1）可得P0的坐標為（?2，1），且P0在直線AC上。
 
過點P作PE∥x軸，過點Q作QE∥y軸，則
 
PE= ，QE= ，
∴PQ= =AP0。
若△MPQ為等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：
①當PQ為直角邊時：點M到PQ的距離為 （即為PQ的長），
由A（0，? 1），B（?4，?1），P0（?2，1）可知，
△ABP0為等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0= 。
如圖，過點B作直線l1∥AC，交拋物線 于點M，則M為符合條件的點。
∴可設(shè)直線l1的解析式為： y=?x+b1。
 
過點F作直線l2∥AC，交拋物線 于點M，則M為符合條件的點。
∴可設(shè)直線l2的解析式為：y=?x+b2，
∵F（?2，?1），∴?1=2+b2，解得b2=?3�！嘀本�l2的解析式為：y=?x?3。
解方程組 ，得： ， 。
∴M3（ ， ），M4（ ， ）。
綜上所述，所有符合條件的點M的坐標為：
M1（?4，?1），M2（2，?7），M3（ ， ），M4（ ， ）。
【考點】二次函數(shù)綜合題，平移問題，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法的應(yīng)用，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的應(yīng)用（最短路線問題），平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，分類思想的應(yīng)用。
 得直線（y=?x?5）與拋物線的交點，即為所求之M點。
②當PQ為斜邊時：點M到PQ的距離為 ，此時，將直線AC向左平移2個單位后所得直線（y=?x?3）與拋物線的交點，即為所求之M點。
原創(chuàng)模擬預(yù)測題2.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，點D為AC邊上一
點，且AD=3cm，動點E從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段AB向終點B運動，運動
時間為x s．作∠DEF=45°，與邊BC相交于點F．設(shè)BF長為ycm．
（1）當x=   ▲  s時，DE⊥AB；
（2）求在點E運動過程中，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及點F運動路線的長；
（3）當△BEF為等腰三角形時，求x的值．
 
【答案】解：（1）   2分
   （2）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．
∴∠A＝∠B＝45°，AB=4 ，∴∠ADE＋∠AED＝135°；
又∵∠DEF＝45°，∴∠BEF＋∠AED＝135°，∴∠ADE＝∠BEF；
∴△ADE∽△BEF 4分
∴ ＝ ，
 
（3）這里有三種情況：
①如圖，若EF＝BF，則∠B＝∠BEF；
 
又∵△ADE∽△BEF，∴∠A＝∠ADE＝45°
∴∠AED＝90°，∴AE＝DE＝  ，

∵動點E的速度為1cm/s ，∴此時x＝  s；
②如圖，若EF＝BE，則∠B＝∠EFB
 

又∵△ADE∽△BEF，∴∠A＝∠AED＝45°
∴∠ADE＝90°，∴AE＝3 ，
∵動點E的速度為1cm/s
∴此時x＝3 s；
③如圖，若BF＝BE，則∠FEB＝∠EFB；
 

 

原創(chuàng)模擬預(yù)測題3.如圖，拋物線 與x軸交于點A，將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)1200至OB的位置.
（1）點B在拋物線上;
（2）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．
 

【答案】解：（1）如圖1，過點B作BC⊥x軸于點C，
 
 
（2）存在。
如圖2，拋物線的對稱軸是x=2，直線x=2與x軸的交點為D，設(shè)點P的坐標為（2，y）。
 
①若OB=OP，則22+|y|2=42，解得y=± ，
當y= 時，
在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD= ，
∴∠POD=60°。
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三點在同一直線上。
∴y= 不符合題意，舍去。
∴點P的坐標為（2， ）。
 
【考點】二次函數(shù)綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，分類思想的應(yīng)用。
 

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