數(shù) 學(xué)(文科)
滿分：100分(必考Ⅰ部分) 50分(必考Ⅱ部分)
時量：120分鐘
(考試范圍：選修1－1及1－2)
得分：______________
必考Ⅰ部分
一、：本大題共8個小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 若復(fù)數(shù)z＝(1＋ai)?(2＋i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為
A．2 B．－ C. D．－2
2．如圖所示是數(shù)列一章的知識結(jié)構(gòu)圖，下列說法正確的是
A．“概念”與“分類”是從屬關(guān)系
B．“等差數(shù)列”與“等比數(shù)列”是從屬關(guān)系
C．“數(shù)列”與“等差數(shù)列”是從屬關(guān)系
D．“數(shù)列”與“等比數(shù)列”是從屬關(guān)系，但“數(shù)列”與“分類”不是從屬關(guān)系
3．下列說法中錯誤的是
A．對于命題p：?x0∈R，sin x0>1，則?p：?x∈R，sin x≤1；
B．命題“若0<a<1，則函數(shù)f(x)＝ax在R上是增函數(shù)”的逆命題為假命題；
C．若p∨q為真命題，則p，q均為真命題；
D．命題“若x2－x－2＝0，則x＝2”的逆否命題是“若x≠2，則x2－x－2≠0”．
4．“1<k<7”是“方程＋＝1表示雙曲線”的
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．既不充分也不必要條件
D．充要條件
5．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)有如下幾組樣本數(shù)據(jù)：
x3456
y2.5344.5
據(jù)相關(guān)性檢驗(yàn)，這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，通過線性回歸分析，求得其回歸直線的斜率為0.7，則這組樣本數(shù)據(jù)的回歸直線方程是
A.＝0.7x＋0.35 B.＝0.7x＋1
C.＝0.7x＋2.05 D.＝0.7x＋0.45
6．三角形的面積為S＝(a＋b＋c)r，a、b、c為三角形的邊長，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理可以得出四面體的體積為
A．V＝abc
B．V＝Sh
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4為四個面的面積，r為內(nèi)切球的半徑)
D．V＝(ab＋bc＋ac)h，(h為四面體的高)
7．函數(shù)f(x)＝x5－x4－4x3＋7的極值點(diǎn)的個數(shù)是
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
8．已知橢圓＋＝1，F(xiàn)1、F2分別為其左、右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)到F1的距離是2，N是F1的中點(diǎn)，則ON(O為原點(diǎn))的長為
A．1 B．2 C．3 D．4
答題卡
題號12345678得 分
答案
二、題：本大題共5個小題，每小題5分，共25分．請把答案填在答題卷對應(yīng)題號后的橫線上．
9．已知復(fù)數(shù)z＝1＋，則＝____________．
10．讀下面的程序框圖，當(dāng)輸入的值為－5時，輸出的結(jié)果是________．
11．黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案：
則第n個圖案中的白色地面磚有______________塊．
12．曲線f(x)＝xsin x在點(diǎn)處的切線方程是______________．
13．已知雙曲線－＝1(a，b>0)的頂點(diǎn)到漸近線的距離等于，則雙曲線的離心率e是________．
三、解答題：本大題共3小題，共35分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
14．(本小題滿分11分)
在某測試中，卷面滿分為100分，60分及以上為及格，為了調(diào)查午休對本次測試前兩個月復(fù)習(xí)效果的影響，特對復(fù)習(xí)中進(jìn)行午休和不進(jìn)行午休的考生進(jìn)行了測試成績的統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下表所示：
分?jǐn)?shù)段[29～40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]
午休考生
人數(shù)23473021143114
不午休考
生人數(shù)1751671530173
參考公式及數(shù)據(jù)：K2＝
P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.005
k02.7063.8415.0246.6357.879
(1)根據(jù)上述表格完成列聯(lián)表：
及格人數(shù)不及格人數(shù)總計(jì)
午休
不午休
總計(jì)
(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為午休與考生及格有關(guān)系？對今后的復(fù)習(xí)有什么指導(dǎo)意義？
15．(本小題滿分12分)
已知：a，b，c>0.求證：a(b2＋c2)＋b(a2＋c2)＋c(a2＋b2)≥6abc.
16.(本小題滿分12分)
已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線是l，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)A，B，直線OA(O為原點(diǎn))交準(zhǔn)線l于點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1) 求證：y1y2是一個定值；
(2) 求證：直線B平行于x軸．
必考Ⅱ部分
一、題：本大題共1個小題，每小題5分，共5分．請把答案填在答題卷對應(yīng)題號后的橫線上．
1．從拋物線x2＝4y上一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，且P＝5，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則△PF的面積為________．
二、選擇題：本大題共1個小題，每小題5分，滿分5分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
2．已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)是f′(x)，若f(x)是增函數(shù)且恒有f(x)>0，則下列各式中必成立的是
A．2f(－1)<f(－2) B．3f(－2)>2f(－3)
C．2f(1)>f(2) D．3f(2)>2f(3)
三、解答題：本大題共3小題，共40分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
3．(本小題滿分13分)
已知函數(shù)f(x)＝－x3＋3x.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)當(dāng)x∈[0，a]，a>0時，設(shè)f(x)的最大值是h(a)，求h(a)的表達(dá)式．
4.(本小題滿分13分)
(1)證明：xln x≥x－1；
(2)討論函數(shù)f(x)＝ex－ax－1的零點(diǎn)個數(shù)．
5. (本小題滿分14分)
如圖，已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓＋＝1(b>0)有一個內(nèi)含圓x2＋y2＝，該圓的垂直于x軸的切線交橢圓于點(diǎn)，N，且⊥(O為原點(diǎn))．
(1)求b的值；
(2)設(shè)內(nèi)含圓的任意切線l交橢圓于點(diǎn)A、B.
求證：⊥，并求AB的取值范圍．
湖南師大附中2015屆高二第一學(xué)期期末考試試題
數(shù)學(xué)(文科)參考答案
必考Ⅰ部分(100分)
6．C 【解析】△ABC的內(nèi)心為O，連結(jié)OA、OB、OC，將△ABC分割為三個小三角形，這三個小三角形的高都是r，底邊長分別為a、b、c；類比：設(shè)四面體A－BCD的內(nèi)切球球心為O，連接OA、OB、OC、OD，將四面體分割為四個以O(shè)為頂點(diǎn)，以原面為底面的四面體， 高都為r，所以有V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.
7．B 【解析】f′(x)＝x4－4x3－12x2＝x2(x＋2)(x－6)，
所以f(x)有兩個極值點(diǎn)x＝－2及x＝6.
8．D 【解析】據(jù)橢圓的定義，由已知得F2＝8，而ON是△F1F2的中位線，故ON＝4.
二、填空題
9.
10．2 【解析】①A＝－5＜0，②A＝－5＋2＝－3＜0，③A＝－3＋2＝－1＜0，
�、蹵＝－1＋2＝1＞0，⑤A＝2×1＝2.
11．4n＋2 【解析】第1個圖案中有6塊白色地面磚，第二個圖案中有10塊，第三個圖案中有14塊，歸納為：第n個圖案中有4n＋2塊．
12．x－y＝0
13. 【解析】由題意知＝tan 30°＝?e＝＝.
∵K2≈5.7>5.024，
因此，有97.5%的把握認(rèn)為午休與考生及格有關(guān)系，即能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為午休與考生及格有關(guān)系．(10分)
對今后的復(fù)習(xí)的指導(dǎo)意義就是：在以后的復(fù)習(xí)中，考生應(yīng)盡量適當(dāng)午休，以保持最佳的學(xué)習(xí)狀態(tài)．(11分)
(2)據(jù)題意設(shè)A，(－1，y)，(8分)
由A、、O三點(diǎn)共線有＝?y1y＝－4，(10分)
又y1y2＝－4
則y2＝y(tǒng)，故直線B平行于x軸．(12分)
必考Ⅱ部分(50分)
一、填空題
1．10 【解析】設(shè)P(xP，yP)，∵P＝PF＝y(tǒng)P＋1＝5，∴yP＝4，
則xP＝4，S△PF＝PxP＝10.
二、選擇題
2．B 【解析】由選擇支分析可考查函數(shù)y＝的單調(diào)性，而f′(x)>0且f(x)>0，則當(dāng)x<0時′＝<0，
即函數(shù)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，故選B.
三、解答題
3．【解析】(1)f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)(2分)
列表如下：
x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)
f′(x)－0＋0－
f(x)遞減極小值遞增極大值遞減
所以：f(x)的遞減區(qū)間有：(－∞，－1)，(1，＋∞)，遞增區(qū)間是(－1，1)；
f極小值(x)＝f(－1)＝－2，f極大值(x)＝f(1)＝2.(7分)
(2)由(1)知，當(dāng)0<a≤1時，f(x)在[0，a]上遞增，
此時fax(x)＝f(a)＝－a3＋3a；(9分)
當(dāng)a>1時，f(x)在(0，1)上遞增，在(1，a)上遞減，
即當(dāng)x∈[0，a]時fax(x)＝f(1)＝2(12分)
綜上有h(a)＝(13分)
4．【解析】 (1)設(shè)函數(shù)φ(x)＝xln x－x＋1，則φ′(x)＝ln x(1分)
則φ(x)在(0，1)上遞減，在(1，＋∞)上遞增，(3分)
φ(x)有極小值φ(1)，也是函數(shù)φ(x)的最小值，則φ(x)≥φ(1)＝1×ln 1－1＋1＝0
故xln x≥x－1.(5分)
(2)f′(x)＝ex－a(6分)
�、賏≤0時，f′(x)>0，f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，又f(0)＝0，
所以此時函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)x＝0；(7分)
�、诋�(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在(－∞，ln a)上遞減，在(ln a，＋∞)上遞增，
函數(shù)f(x)有極小值f(ln a)＝a－aln a－1(8分)
?.當(dāng)a＝1時，函數(shù)的極小值f(ln a)＝f(0)＝a－aln a－1＝0
則函數(shù)f(x)僅有一個零點(diǎn)x＝0；(10分)
?.當(dāng)0<a<1或a>1時，由(1)知極小值f(ln a)＝a－aln a－1<0，又f(0)＝0
當(dāng)0<a<1時，ln a<0，易知x?－∞時，ex?0，－ax－1?＋∞，
故此時f(x)?＋∞，則f(x)還必恰有一個小于ln a的負(fù)根；
當(dāng)a>1時，2ln a>ln a>0，計(jì)算f(2ln a)＝a2－2aln a－1
考查函數(shù)g(x)＝x2－2xln x－1(x>1) ，則g′(x)＝2(x－1－ln x)，
再設(shè)h(x)＝x－1－ln x(x>1)，h′(x)＝1－＝>0
故h(x)在(1，＋∞)遞增，則h(x)>h(1)＝1－1－ln 1＝0，
所以g′(x)>0，即g(x)在(1，＋∞)上遞增，則g(x)>g(1)＝12－2×1×ln 1－1＝0
即f(2ln a)＝a2－2aln a－1>0，
則f(x)還必恰有一個屬于(ln a，2 ln a)的正根．
故0<a<1或a>1時函數(shù)f(x)都是恰有兩個零點(diǎn)．
綜上：當(dāng)a∈(－∞，0]∪{1}時，函數(shù)f(x)恰有一個零點(diǎn)x＝0，
當(dāng)a∈(0，1)∪(1，＋∞)時函數(shù)f(x)恰有兩個不同零點(diǎn). (13分)
5．【解析】(1)當(dāng)N⊥x軸時，N的方程是x＝±，
設(shè)，N
由⊥知y1＝，
即點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程得b＝2.(3分)
(2)當(dāng)l⊥x軸時，由(1)知⊥；
當(dāng)l不與x軸垂直時，設(shè)l的方程是：y＝kx＋，即kx－y＋＝0
則＝?32＝8(1＋k2)(5分)
?(1＋2k2)x2＋4kx＋22－8＝0,
Δ＝16k22－4(1＋2k2)(22－8)＝(4k2＋1)>0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)
則，(7分)
x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋2
�。�2xkb1.co
�。剑�0，即⊥.
即橢圓的內(nèi)含圓x2＋y2＝的任意切線l交橢圓于點(diǎn)A、B時總有⊥.(9分)
(2)當(dāng)l⊥x軸時，易知AB＝2＝(10分)
當(dāng)l不與x軸垂直時，AB＝＝
�。�(12分)
設(shè)t＝1＋2k2∈[1，＋∞)，∈(0，1]
則AB＝＝
所以當(dāng)＝即k＝±時AB取最大值2，
當(dāng)＝1即k＝0時AB取最小值，
(或用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(t)＝，t∈[1，＋∞)的最大值與最小值)
綜上AB∈.(14分) 來
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaoer/263815.html
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