望江四中屆高三上學(xué)期第一次月考
數(shù)學(xué)（文）
本試卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）兩部分。答題時120分鐘，滿分150分。
第Ⅰ卷（選擇題共10小題，每小題5分，共50分）
一、選擇題（每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求．）
1.若集合 , ,則 （ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：集合A＝{ }，A＝{ }，所以，
2．設(shè) 是虛數(shù)單位，則“x=－3”是“復(fù)數(shù)z=（x2+2x－3）+（x－1）i為純虛數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
答案：C
【解析】若復(fù)數(shù)z=（x2+2x－3）+（x－1）i為純虛數(shù)，則 ，所以“x=－3”是“復(fù)數(shù)z=（x2+2x－3）+（x－1）i為純虛數(shù)”的充要條件。
3．已知 為等差數(shù)列，若 ，則 的值為（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：因為 為等差數(shù)列，若 ，所以， ，
4. 下列四個函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在定義域上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】A、D既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，排除，B只是在區(qū)間上遞增，只以C符合。
5. 已知函數(shù) 有且僅有兩個不同的零點 ， ，則（ ）
A．當 時， ， B．當 時， ，
C．當 時， ， D．當 時， ，
答案：B
解析：函數(shù)求導(dǎo)，得： ，得兩個極值點：
因為函數(shù)f（x）過定點（0，－2），有且僅有兩個不同的零點，所以，可畫出函數(shù)圖象如下圖：
因此，可知， ，只有B符合。
6. 函數(shù) 的最小正周期是（ �。�
A． B． C．2π D．4π
答案：B
【解析】函數(shù) ,所以周期為 .
7.函數(shù) 的零點所在的區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】 ＜0， ＞0，所以，在 上有零點。
8．設(shè)集合 是 的子集，如果點 滿足： ，稱 為集合 的聚點.則下列集合中以 為聚點的有： ； ② ； ③ ； ④ （ ）
A．①④B．②③C．①②D．①②④
答案：A
【解析】①中，集合 中的元素是極限為1的數(shù)列，
∴在 的時候，存在滿足0＜x－1＜a的x，
∴1是集合 的聚點
②集合 中的元素是極限為0的數(shù)列，最大值為2，即｜x－1｜≥1
對于某個a＞1，不存在0＜x－1 ，∴1不是集合 的聚點
③對于某個a＜1，比如a=0.5，此時對任意的x∈Z，都有x?1=0或者x?1≥1，也就是說不可能0＜x?1＜0.5，從而1不是整數(shù)集Z的聚點
④ ＞0，存在0＜x－1＜0.5的數(shù)x，從而1是整數(shù)集Z的聚點
故選A
9. 一個盒子里有3個分別標有號碼為1，2，3的小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標號最大值是3的取法有（ �。�
A．12種 B．15種 C．17種 D．19種
答案：D
解析：分三類：第一類，有一次取到3號球，共有 取法；第二類，有兩次取到3號球，共有 取法；第三類，三次都取到3號球，共有1種取法；共有19種取法。
10．已知函數(shù) ,定義函數(shù) 給出下列命題:
① ; ②函數(shù) 是奇函數(shù);③當 時,若 , ,總有 成立,其中所有正確命題的序號是（ ）
A．②B．①②C．③D．②③
答案：D
解析：① ，所以，錯誤；②當x＞0時，－x＜0，F(xiàn)（－x）＝－f（－x）＝－（ ）＝－f（x）＝F（x），為奇函數(shù)，同理可證當x＜0時也是奇函數(shù)，正確；
③因為n＜0，不妨設(shè)＞0，n＜0，又＋n＞0，所以，｜｜＞｜n｜，
＝ －（ ）＝ ，因為 ，所以，有 ＜0，正確。
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、題（本大題共5小題，每小題5分，共25分．）
11．函數(shù) 的定義域為 。
答案：（1,2］
解析：由 ，解得：
12.數(shù)列 的通項公式 ，其前 項和為 ，則 ．
答案：1006
解析：
所以 ，于是 。
13.連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為 和 ,若記向量 與向量 的夾角為 ,則 為銳角的概率是 .
答案：
解析： 連擲兩次骰子得到的點數(shù)記為 ，其結(jié)果有36種情況，若向量 與向量 的夾角 為銳角，則 ，滿足這個條件的有6種情況，所以 為銳角的概率是 。
14．函數(shù) 在 上恒為正，則實數(shù) 的取值范圍是 ．
答案：
解析：當 時，函數(shù) 在 上為減函數(shù)， 不合題意；當 時，由題意得 在 上恒成立，即 在 上恒成立。函數(shù) 在 上是增函數(shù)，它的最小值為 ，要使 在 上恒成立，只需 。綜上，實數(shù) 的取值范圍是
15. 定義在 上的函數(shù) ，如果對于任意給定的等比數(shù)列 ， 仍是等比數(shù)列，則稱 為“等比函數(shù)”�，F(xiàn)有定義在 上的如下函數(shù)：① ；② ；③ ；④ ，則其中是“等比函數(shù)”的 的序號為 ．
答案：③④
【解析】若① ，則 ，所以不是常數(shù)，所以①不是“等比函數(shù)”。②若 ， ，所以不是常數(shù)，所以②不是“等比函數(shù)”。③若 ， ，所以是常數(shù)，所以③是“等比函數(shù)”。④若 ，則 ， ，所以是常數(shù)，所以④是“等比函數(shù)”。所以是“等比函數(shù)”的 的序號為③④.
三、解答題（本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程）
16．（本小題共12分）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù) .
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ .
(1)從上述五個式子中選擇一個,求出常數(shù) ；
(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個三角恒等式,并證明你的結(jié)論.
17．（本小題共12分）已知函數(shù) 。
（1）當 時，求該函數(shù)的值域；
（2）若 對于 恒成立，求 有取值范圍。
18．（本小題共12分）如圖,四棱錐 的底面 是正方形,棱 底面 , , 是 的中點．
(1)證明 平面 ；
(2)證明平面 平面 .
19．（本小題共12分）
已知函數(shù)
(1)若 求 在 處的切線方程;
(2)若 在區(qū)間 上恰有兩個零點,求 的取值范圍.
20．（本小題13分）已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在 軸上，且過點 .
（1）求拋物線的標準方程；
（2）與圓 相切的直線 交拋物線于不同的兩點 若拋物線上一點 滿足 ，求 的取值范圍.
21．（本小題14分）已知函數(shù) ( ).
(1)當 時,求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;
(2)當 時, 取得極值，求函數(shù) 在 上的最小值;
解答題參考答案
三、解答題（本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程）
16．解:(1)選擇②式計算
.
(2)猜想的三角恒等式為
.
證明：
.
17．解: （1）令 時，
（2） 即 對 恒成立，
所以 對 恒成立，
易知函數(shù) 在 上的最小值為0.
故
18．證明:(1)連結(jié) ,設(shè) 與 交于 點,連結(jié) .
∵底面ABCD是正方形,∴ 為 的中點,又 為 的中點,
∴ , ∵ 平面 , 平面 ,
∴ 平面 .
(2)∵ , 是 的中點, ∴ .
∵ 底面 ,∴ .又由于 , ,故 底面 ,
所以有 .又由題意得 ,故 .
于是,由 , , 可得 底面 .
故可得平面 平面 .
19．解: (1)
在 處的切線方程為
(2)由
由 及定義域為 ,令
①若 在 上, , 在 上單調(diào)遞增,
因此, 在區(qū)間 的最小值為 .
②若 在 上, , 單調(diào)遞減;在 上, , 單調(diào)遞增,因此 在區(qū)間 上的最小值為
③若 在 上, , 在 上單調(diào)遞減,
因此, 在區(qū)間 上的最小值為 .
綜上,當 時, ;當 時, ;
當 時,
可知當 或 時, 在 上是單調(diào)遞增或遞減函數(shù),不可能存在兩個零點.
當 時,要使 在區(qū)間 上恰有兩個零點,則
∴ 即 ,此時, .
所以, 的取值范圍為
20．解: (1) 設(shè)拋物線方程為 ，
由已知得： 所以
所以拋物線的標準方程為
(2) 因為直線與圓相切，
所以
把直線方程代入拋物線方程并整理得：
由
得 或
設(shè) ，
則
由
得
因為點 在拋物線 上，
所以，
因為 或 ，
所以 或
所以 的取值范圍為
21．解： (1)
當 時,
解 得 或 , 解 得
所以 單調(diào)增區(qū)間為 和 ,單調(diào)減區(qū)間為
(2)當 時, 取得極值, 所以
解得 (經(jīng)檢驗 符合題意)
+0-0+
?
??
所以函數(shù) 在 , 遞增,在 遞減
當 時, 在 單調(diào)遞減,
當 時
在 單調(diào)遞減,在 單調(diào)遞增,
當 時, 在 單調(diào)遞增,
綜上, 在 上的最小值
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