一. 本周教學(xué)內(nèi)容：圓的方程，空間兩點(diǎn)的距離公式

教學(xué)目的：

1. 理解并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)根據(jù)不同條件求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中熟練求出它的圓心和半徑；能夠運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；探索并掌握?qǐng)A的一般方程，會(huì)用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程。

2. 能夠根據(jù)給定直線、圓的方程，會(huì)用代數(shù)討論直線與圓的三種位置關(guān)系；能夠根據(jù)給定的圓的方程，判斷圓與圓的位置關(guān)系。

3. 掌握空間直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念，會(huì)根據(jù)坐標(biāo)找相應(yīng)的點(diǎn)，會(huì)寫一些簡(jiǎn)單幾何題的有關(guān)坐標(biāo)；掌握空間兩點(diǎn)的距離公式，會(huì)應(yīng)用距離公式解決有關(guān)問題。

二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：

1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及會(huì)根據(jù)不同條件求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的一般方程和如何由圓的一般方程求圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)，理解關(guān)于二元二次方程表示圓的條件。

2. 直線和圓的位置關(guān)系的判斷和應(yīng)用；兩圓位置關(guān)系的判斷。

3. 空間直角坐標(biāo)系和點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；空間兩點(diǎn)距離公式。

難點(diǎn)：

1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的探尋過程和對(duì)圓的一般方程的認(rèn)識(shí)。

2. 通過圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系；通過兩圓方程聯(lián)立方程組的解來研究?jī)蓤A位置關(guān)系。

3. 確定點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；空間距離公式的推導(dǎo)。

分析：

（一）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1. 圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓。定點(diǎn)叫圓的圓心，定長(zhǎng)叫做圓的半徑。

2. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：已知圓心為（a，b），半徑為r，則圓的方程為 ；

若點(diǎn)M（x1，y1）在圓內(nèi)，則點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑，即

（二）圓的一般方程

任何一個(gè)圓的方程都可以寫成下面的形式：

②

當(dāng) ）為圓心，以 時(shí)，方程①只有實(shí)數(shù)解 高中生物 ）；

當(dāng) 時(shí)，方程①表示一個(gè)圓，方程①叫做圓的一般方程。

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于它明確地指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點(diǎn)：

（1）<0" > 和<1" > 的系數(shù)相同，且不等于0；

（2）沒有xy這樣的二次項(xiàng)。

以上兩點(diǎn)是二元二次方程 ；

（2）過圓 ；

（3）過圓

3. 直線與圓的位置關(guān)系中的三個(gè)基本問題

（1）判定位置關(guān)系。方法是比較d與r的大小。

（2）求切線方程。若已知切點(diǎn)M（x0，y0），則切線方程為

；

若已知切線上一點(diǎn)N（x0，y0），則可設(shè)切線方程為

（四）圓與圓的位置關(guān)系

1. 圓與圓的位置關(guān)系問題

判定兩圓的位置關(guān)系的方法有二：第一種是代數(shù)法，研究?jī)蓤A的方程所組成的方程組的解的個(gè)數(shù)；第二種是研究?jī)蓤A的圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系。第一種方法因涉及兩個(gè)二元二次方程組成的方程組，其解法一般較繁瑣，故使用較少，通常使用第二種方法，具體如下：

圓 的位置關(guān)系，其中

當(dāng) 時(shí)，兩圓外離；

當(dāng) 時(shí)，兩圓外切；

當(dāng) 時(shí)，兩圓相交；

當(dāng) 時(shí)，兩圓內(nèi)含

注意：兩圓的位置關(guān)系可表示在一條數(shù)軸上，如圖所示：

兩圓位置關(guān)系的問題同直線與圓的位置關(guān)系的問題一樣，一般要轉(zhuǎn)化為距離間題來解決。另外，我們?cè)诮鉀Q有關(guān)圓的問題時(shí)，應(yīng)特別注意，圓的平面幾何性質(zhì)的應(yīng)用。

2. 兩圓相交問題

（1）過兩已知圓

即 ，表示過兩圓的交點(diǎn)的直線（當(dāng)兩圓是同心圓時(shí)，此直線不存在），當(dāng)兩圓相交時(shí)，此直線為公共弦所在直線；當(dāng)兩圓相切時(shí)，此直線為兩圓的公切線；當(dāng)兩圓相離時(shí)，此直線為與兩圓連心線垂直的直線。

（2）過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程

設(shè)直線 相交，則方程l與圓C的兩個(gè)交點(diǎn)的圓系方程。

（五）空間直角坐標(biāo)系

1. 空間直角坐標(biāo)系

為了確定空間點(diǎn)的位置，我們?cè)诳臻g中取一點(diǎn)O作原點(diǎn)，過O點(diǎn)作三條兩兩垂直的數(shù)軸，通常用x、y、z表示．軸的方向通常這樣選擇：從z軸的正方向看，x軸的正半軸沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)90°能與y軸的正半軸重合。這時(shí)，我們?cè)诳臻g建立了一個(gè)直角坐標(biāo)系O－xyz。在這個(gè)過程中，三條坐標(biāo)軸兩兩垂直是建立空間直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)。

2. 點(diǎn)P的坐標(biāo)

過點(diǎn)P作一個(gè)平面平行于平面yOz（這樣構(gòu)造的平面同樣垂直于x軸），這個(gè)平面與x軸的交點(diǎn)記為P，它在x軸上的坐標(biāo)為x，這個(gè)數(shù)x就叫做點(diǎn)P的x坐標(biāo)。你能試述點(diǎn)P的y坐標(biāo)，點(diǎn)P的z坐標(biāo)嗎？

3. 坐標(biāo)平面

每?jī)蓷l坐標(biāo)軸分別確定的平面yOz、xOz、xOy叫做坐標(biāo)平面。

4. 特殊點(diǎn)的坐標(biāo)形式

xOy平面是坐標(biāo)形如（x，y，0）的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集，其中x、y為任意實(shí)數(shù)；

xOz平面是坐標(biāo)形如（x，0，z）的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集，其中x、z為任意實(shí)數(shù)；

yOz平面是坐標(biāo)形如（0，y，z）的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集，其中y、z為任意實(shí)數(shù)；

x軸是坐標(biāo)形如（x，0，0）的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集，其中x為任意實(shí)數(shù)；

y軸是坐標(biāo)形如（0，y，0）的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集，其中y為任意實(shí)數(shù)；

z軸是坐標(biāo)形如（0，0，z）的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集，其中z為任意實(shí)數(shù)。

5. 卦限

三個(gè)坐標(biāo)平面把空間分為八部分，每一部分稱為一個(gè)卦限。

在坐標(biāo)平面xOy上方分別對(duì)應(yīng)該坐標(biāo)平面上四個(gè)象限的卦限稱為第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限稱為第Ⅴ、第Ⅵ，第Ⅶ、第Ⅷ卦限。在每個(gè)卦限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)各分量的符號(hào)是不變的。例如在第Ⅰ卦限，三個(gè)坐標(biāo)分量x、y、z都為正數(shù)；在第Ⅱ卦限，x為負(fù)數(shù)，y、z均為正數(shù)。

（六）空間兩點(diǎn)的距離公式

空間兩點(diǎn)A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）的距離公式是

特別的，點(diǎn)A（x，y，z）到原點(diǎn)的距離為

【典型例題】

例1. 求滿足下列條件的各圓的方程：

（1）圓心在原點(diǎn)，半徑是3；

（2）圓心在點(diǎn)C（3，4），半徑是 ；

（3）

因?yàn)閳A與坐標(biāo)軸相切，故圓心滿足 ，

又圓心在直線 ，

解方程組 ，得：

所以圓心坐標(biāo)為（4，4），或（1，－1）

于是可得半徑 或 。

（5）設(shè)圓心為（a,－2a）由題意，圓與直線

解得：a＝1

所以所求圓的圓心為（1，－2），半徑為

故圓的方程為 ，則

解得

法二：因?yàn)閳A過A（5，2），B（3，－2）兩點(diǎn)，所以圓心一定在線段AB的垂直平分線上，線段AB的垂直平分線方程為

解得

所求圓的方程為

又圓C與y軸相切得 ①

又圓心在直線 上， ②

圓心C（a，b）到直線 ③

聯(lián)立①②③解方程組可得

或

將A（2，－2），B（5，3），C（3，－1）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程

得

點(diǎn)評(píng)：一般來說，由題意知道所求的圓經(jīng)過幾點(diǎn)且不易得知圓心換半徑時(shí)，常用一般式。

例5. 已知圓

由 消去y，得

即

（1）令

當(dāng) 或 ，即 時(shí)，直線與圓相交

（3）令 或 或 ，即 ， 或 時(shí)，即 即 ，即

即 時(shí)直線與圓相離

點(diǎn)評(píng)：解決直線與圓的位置關(guān)系，幾何法比代數(shù)法簡(jiǎn)單。

例6. 已知直線 ，曲線 ，它們有兩個(gè)公共點(diǎn)，求b的取值范圍。

解析：法一，曲線C中，l和C有兩個(gè)公共點(diǎn)，等價(jià)于方程組 有兩組不同解，又等價(jià)于 ，有兩組不同解，消去x得l有兩個(gè)公共點(diǎn)，等價(jià)方程有兩個(gè)不等非負(fù)實(shí)數(shù)解

于是

解得 表示單位圓位于x軸及其上方的半圓，如圖所示。當(dāng)l與C有兩交點(diǎn)，此時(shí)b＝1，記為 與半圓相切時(shí)，切線記為 ；當(dāng) 與 之間時(shí)， 。

， 解析：法一

解方程組

得交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，2）（－4，0）

設(shè)所求圓心坐標(biāo)為（a，－a）

則

解得

法二：同法一，得兩已知圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），（－4，0）

設(shè)所求的圓的方程為

解得

法三，設(shè)所求圓的方程為

因?yàn)檫@個(gè)圓的圓心在直線 上

所以

圓的方程為1、點(diǎn)（2，0，3）在空間直角坐標(biāo)系中的位置是在（ ）

A. y軸上 B. xOy平面上 C. xOz平面上 D. 第一卦限內(nèi)

2、點(diǎn)M（2，－3，1）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是（ ）

A. （－2，3，－1） B. （－2，－3，－1）

C. （2，－3，－1） D. （－2，3，1）

3、設(shè)點(diǎn)B是點(diǎn)A（2，－3，5）關(guān)于xOy面的對(duì)稱點(diǎn)，則AB等于（ ）

A. 10 B. D. 38

4、設(shè)有圓M： ，點(diǎn)P（2，1），那么（ ）

A. 點(diǎn)P在直線l上，但在圓M上

C. 點(diǎn)P在直線l上，也不在圓M上

5、設(shè)M是圓 上的點(diǎn)，則M到直線 的最小距離是（ ）

A. 9 B. 8 C. 5 D. 2

6、方程A.

C.

7、過點(diǎn)P（3，0）能有多少條直線與圓A. 0條 B. 1條 C. 2條 D. 1條或2條

8、直線 被圓A. B. 2 C. D.

9、直線 所截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）

A. D. 10、若圓 關(guān)于直線 對(duì)稱，那么直線 的方程是（ ）

A. B.

C. D.

11、與兩坐標(biāo)軸都相切，且過點(diǎn)（2，1）的圓的方程是____________________

12、過點(diǎn)（0，0），（1，0），（0，2）的圓的方程是__________________________

13、若實(shí)數(shù)x ，y滿足 ，則 ，則 的最大值為__________________

15、一圓過點(diǎn)P（－4，3），圓心在直線 相切，且和直線 ，求該圓的方程。

【答案】

1～10：C A A A D D A C A D

11、 13、 14、 ，

依題意，得：

解得：

所以所求圓的方程為

16、設(shè)此圓的方程為 ，

解得：

所以所求圓的方程是

或 或

17、設(shè)⊙P的圓心為P（a，b），半徑為r，則點(diǎn)P到x軸，y軸的距離分別為b，a，由題設(shè)知⊙P截x軸所得劣弧所對(duì)圓心角為90°，知⊙P截x軸所得的弦長(zhǎng)為 r，故2b＝ r，得：r2=2b2

又⊙P被y軸解得的弦長(zhǎng)為2，由勾股定理得：r2＝a2＋1，得：2b2－a2＝1。

又因?yàn)镻（a,b）到直線x－2y＝0的距離為 ，即有

解得： ，于是r2＝2b2＝2

本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaozhong/81971.html

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