中山市—學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試本試卷共4頁，20小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、統(tǒng)考考號(hào)、座位號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上。2、每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題上。3、不可以使用計(jì)算器。4、考試結(jié)束，將答題卡交回，試卷不用上交。一、選擇題本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)復(fù)數(shù)，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．設(shè)全集是實(shí)數(shù)集,,則（ ） A．B． C．D．3．已知向量，，若∥，則等于( )A．B．C．D．4．已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，，則A．36B．42C．45D．635．在某次測量中得到的樣本數(shù)據(jù)如下:82, 84, 84, 86, 86, 86, 88, 88, 88, 88.若樣本數(shù)據(jù)恰好是樣本數(shù)據(jù)都加2后所得數(shù)據(jù),則,兩樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是（　 ）A．眾數(shù)B．平均數(shù)C．中位數(shù)D．標(biāo)準(zhǔn)差6．如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50m，后，就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為（ ）A. B． C．D．7．如圖，定義某種運(yùn)算，運(yùn)算原理如右圖所示，則式子的值為（ ）A．11 B．13C．8D．48．若一個(gè)底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示，則該棱柱的體積為（ ）A．B．C．D．69已知函數(shù)滿足，且時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )A．B．C．D．10．對(duì)、，運(yùn)算“”、“”定義為：=，=，則下列各式其中不恒成立的是（ ）⑴⑵⑶⑷A．⑴、⑶B．⑵、⑷C．⑴、⑵、⑶ D．⑴、⑵、⑶、⑷二、填空題本大題共4小題，每小題5分，滿分20分11. .12．已知函數(shù)，則 .13．若變量滿足線性約束條件，則的最大值為________．14．已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 三、解答題 本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15．本題滿分12分設(shè)平面向量，，函數(shù)。求函數(shù)的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;當(dāng),且時(shí),求的值.16本題滿分12分某學(xué)校餐廳新推出四款套餐，某一天四款套餐銷售情況的條形圖如下為了了解同學(xué)對(duì)新推出的四款套餐的評(píng)價(jià)，對(duì)每位同學(xué)都進(jìn)行了問卷調(diào)查，然后用分層抽樣的方法從調(diào)查問卷中抽取20份進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下面表格所示：（Ⅰ）若同學(xué)甲選擇的是A款套餐，求甲的調(diào)查問卷被選中的概率；（Ⅱ）若想從調(diào)查問卷被選中且填寫不滿意的同學(xué)中再選出2人進(jìn)行面 談，求這兩人中至少有一人選擇的是D款套餐的概率. 17本題滿分14分如圖所示，圓柱的高為2，底面半徑為,AE、DF是圓柱的兩條母線，過作圓柱的截面交下底面于,四邊形ABCD是正方形，EO⊥AB.（Ⅰ）（Ⅱ）18．（本小題滿分14分） 數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，．（Ⅰ）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；19.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）若，且對(duì)于任意恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求證：20. （本小題滿分14分） 已知函數(shù)，，，其中，且.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值； （Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（III）設(shè)函數(shù)若對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)，存在非零實(shí)數(shù)（），使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.中山市—學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試本試卷共4頁，20小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分． DAAD CBBCB二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分．11. ; 12．; 13. ; 14. 三、解答題： 本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．本題滿分12分設(shè)平面向量，，函數(shù)。（Ⅰ）求函數(shù)的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;（Ⅱ）當(dāng),且時(shí),求的值.15．解： 依題意………（2分） ………………………………………………（4分）（Ⅰ） 函數(shù)的值域是；………………………………………………（5分）令，解得………………（7分）所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.……………………（8分）（Ⅱ）由得,因?yàn)樗�以�?………………………（10分）……………………………………………………………………（12分）16．（本題滿分12分某學(xué)校餐廳新推出四款套餐，某一天四款套餐銷售情況的條形圖如下為了了解同學(xué)對(duì)新推出的四款套餐的評(píng)價(jià)，對(duì)每位同學(xué)都進(jìn)行了問卷調(diào)查，然后用分層抽樣的方法從調(diào)查問卷中抽取20份進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下面表格所示：滿意一般不滿意A套餐50%25%25%B套餐80%020%C套餐50%50%0D套餐40%20%40%（Ⅰ）若同學(xué)甲選擇的是A款套餐，求甲的調(diào)查問卷被選中的概率；（Ⅱ）若想從調(diào)查問卷被選中且填寫不滿意的同學(xué)中再選出2人進(jìn)行面 談，求這兩人中至少有一人選擇的是D款套餐的概率. 解：（Ⅰ）由條形圖可得，選擇A，B，C，D四款套餐的學(xué)生共有200人， 其中選A款套餐的學(xué)生為40人， 由分層抽樣可得從A款套餐問卷中抽取了 份. …………….設(shè)事件=“同學(xué)甲被選中進(jìn)行問卷調(diào)查”， 則 . ……………………………………………………….（5分）答：若甲選擇的是A款套餐，甲被選中調(diào)查的概率是. …………….6分）（II）由圖表可知，選A，B，C，D四款套餐的學(xué)生分別接受調(diào)查的人數(shù)為4，5，6，5. 其中不滿意的人數(shù)分別為1，1，0，2個(gè) . ………………………….（7分）記對(duì)A款套餐不滿意的學(xué)生是a；對(duì)B款套餐不滿意的學(xué)生是b；對(duì)D款套餐不滿意的學(xué)生是c，d. ………………………………………………….8分）設(shè)事件N=“從填寫不滿意的學(xué)生中選出2人，至少有一人選擇的是D款套餐”從填寫不滿意的學(xué)生中選出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6個(gè)基本事件，而事件N有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5個(gè)基本事件， ………………………10分）則. ………………………………………………………（12分）17．本題滿分14分如圖所示，圓柱的高為2，底面半徑為,AE、DF是圓柱的兩條母線，過作圓柱的截面交下底面于, 四邊形ABCD是正方形.（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）AE下底面，又下底面，…………………………….3分又截面ABCD是正方形，所以⊥，又⊥面，又面，……………………………（7分）（Ⅱ）（Ⅰ）⊥面面⊥面面面面，面，即EO就是的邊長為, 則，又，為直徑，即在中，, 即，……………………………………………………………（12分）18.（本小題滿分14分）數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，．（I）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（Ⅲ）若，．求不超過的最大整數(shù)的值。1．【解析】(1) 因?yàn)�，所�?① 當(dāng)時(shí)，，則，………………………………（2分② 當(dāng)時(shí)，，…………………分所以，即，所以，而，……………………（6分所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以．………分（2）由(1)得．所以 ①，②，……………（9分②-①得：，……………（12分. ………………（14分19．（本小題滿分14分） 已知函數(shù)，.（I）若，且對(duì)于任意恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（II）設(shè)函數(shù)，求證：19. 解:（Ⅰ）由可知是偶函數(shù)．于是對(duì)任意成立等價(jià)于對(duì)任意成立．………1分由得．①當(dāng)時(shí)，．此時(shí)在上單調(diào)遞增． 故，符合題意．3分②當(dāng)時(shí)，．當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：………………………（4分單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在上，．依題意，，又．綜合①，②得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．……………………（7分（Ⅱ），又， …………………………………………………………………10分， ……………………………………………12分由此得:故成立. …………………14分20．已知函數(shù)，，，其中，且.⑴當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值； ⑵求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑶設(shè)函數(shù)若對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)，存在非零實(shí)數(shù)（），使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：⑴當(dāng)時(shí)， ∴令，則， ∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減∴ ………………………4分⑵，，（）∴當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)。綜上得，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為 ………10分 ⑶當(dāng)，在上是減函數(shù)，此時(shí)的取值集合；當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，在上是增函數(shù)，此時(shí)的取值集合；若時(shí)，在上是減函數(shù)，此時(shí)的取值集合。對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)，①當(dāng)時(shí)，∵在上是減函數(shù)，則在上不存在實(shí)數(shù)（），使得，則，要在上存在非零實(shí)數(shù)（），使得成立，必定有，∴；②當(dāng)時(shí)，在時(shí)是單調(diào)函數(shù)，則，要在上存在非零實(shí)數(shù)（），使得成立，必定有，∴。綜上得，實(shí)數(shù)的取值范圍為。 ……………14分高三數(shù)學(xué)（文科） 第4頁（共4頁）高三數(shù)學(xué)（文科）答案 第7頁（共7頁）滿意一般不滿意A套餐50%25%25%B套餐80%020%C套餐50%50%0D套餐40%20%40%廣東省中山市高三級(jí)—學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試（數(shù)學(xué)文）試題
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