一、選擇題：（本大題共有12道小題，每小題5分，共60分）
1．已知集合 , ,則 ( B )
A． B． C． D．
2. 下列函數中既是奇函數，又在 上單調遞增的是 （ C ）
A． B． C． D．
3. 給出兩個命題:命題 命題“存在 ”的否定是“任意 ”；命題 ：函數 是奇函數. 則下列命題是真命題的是( C )
A. B. C. D.
4.若函數f(x)＝x2－ax－ a在區(qū)間[0,2]上的最大值為1，則實數a等于( D )
A．－1 B．1 C．－2 D． 2
5 已知函數 是函數 的導函數，則 的圖象大致是( A )
A． B． C． D．
6．已知命題p：x2＋2x－3＞0；命題q：x＞a，且 的一個充分不必要條件是 ，則a的取值范圍是 ( B )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]
7．7. 已知函數f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點右側，則實數m的取值范圍是 ( B )
A．(0，2) B．(－∞，1] C．(－∞，1) D．(0，2]
8．若f(x)＝ax，x＞1，4－a2x＋2，x≤1是R上的單調遞增函數，則實數a的取值范圍為( C )
A．(1，＋∞) B．(4，8) C．[4，8) D．(1，8)
9. 已知函數y＝f(x)是定義在R上的偶函數，且當 時，不等式 成立，若a＝30.2 f(30.2)，b＝ (logπ2) f(logπ2)， c＝ f ，則 ， ， 間的大小關系 ( A )
A． B． C． D．
10. 已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞增．若實數a滿足f( )＋f( )≤2f(2)，則a的取值范圍是( D)
A．(－∞，4] B. (0，4] C. D．
11．(文)已知 是奇函數，則 （ A ）
A..14 B． 12 C． 10 D．-8
11. (理)若函數 的大小關系是 (C )
A． B．
C． D．不確定
12．已知函數y＝f(x)為奇函數，且 對定義域內的任意x都有f(1＋x)＝－f(1－x)．當x∈(2，3)時，f(x)＝log2(x－1)．給出以下4個結論：其中所有正確結論的為 （ A ）
①函數y＝f(x)的圖象關于點(k，0)(k∈Z)成中心對稱；
②函數y＝|f(x)|是以2為周期的周期函數；
③函數y＝f(|x|)在(k，k＋1)(k∈Z)上單調遞增；
④當x∈(－1，0)時，f(x)＝－log2(1－x)．
A．①②④ B．②③ C．①④ D．①②③④
二、填空題（本大題共有4道小題，每小題5分,共20分）
13.已知實數 滿足 則 的最大值__-4_______
14. 已知 ，則函數 在點 處的切線 與坐標軸圍成的三角形面積為 .
15. 若函數 ( )滿足 且 時， ,函數 ,則函數 在區(qū)間 內零點的個數有__12_個.
16. 存在區(qū)間 （ ），使得 ，
則稱區(qū)間 為函數 的一個“穩(wěn)定區(qū)間”.給出下列4 個函數：
① ；② ；③ ； ④
其中存在“ 穩(wěn)定區(qū)間”的函數有②__③_ .（把所有正確的序號都填上）
三、解答題(本大題共有5道小題，每小題12分,共60分)
17.（本小題滿分12分）
設向量 ， ，其中 ， ，函數
的圖象在 軸右側的第一個最高點（即函數取得最大值的點）為 ，在原點右側與 軸的第一個交點為 .
（Ⅰ）求函數 的表達式；
（Ⅱ）在 中，角A，B，C的對邊分別
別是 ，若 ，
且 ，求邊長 ．
解：解：（I）因為 ， -----------------------------1分
由題意 ， -----------------------------3分
將點 代入 ，得 ，
所以 ，又因為 -------------------5分
即函數的表達式為 ． --- ------------------6分
（II）由 ，即
又 ------------------------8分
由 ，知 ，
所以 -----------------10分
由余弦定理知
所以 ----------------------------------- -----------------12分
18.（文）（本小題滿分12分）為了解某市的交通狀況，現對其6條道路進行評估，得分分別為：5,6,7,8,9,10.規(guī)定評估的平均得分與全市的總體交通狀況等級如下表：
評估的平均得分
全市的總體交通狀況等級 不合格 合格 優(yōu)秀
（Ⅰ）求本次評估的平均得分，并參照上表估計該市的總體交通狀況等級；
（Ⅱ）用簡單隨機抽樣方法從這6條道路中抽取2條，它們的得分組成一個樣本，求該樣本的平均數與總體的平均數之差的絕對值不超過0.5的概率.
【解析】：
（Ⅰ）6條道路的平均得分為 .-----------------3分
∴該市的總體交通狀況等級為合格. -----------------5分
（Ⅱ）設 表示事件“樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過 ”. -----7分
從 條道路中抽取 條的得分組成的所有基本事件為： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 個基本事件． -----------------9分
事件 包括 ， ， ， ， ， ， 共 個基本事件，
∴ ．
答：該樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過 的概率為 .------12分
18.（理）（本小題滿分l 2分）
在2018年全國高校自主招生考試中，某高校設 計了一個面試考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立回答全部問題．規(guī)定：至少正確回答其中2題的便可通過．已知6道備選題中考生甲有4題能正確回答，2題不能回答；考生乙每題正確回答的概率都為23，且每題正確回答與否互不影響．
(I)分別寫出甲、乙兩考生正確回答題數的分布列，并計算其數學期望；
(II)試用統(tǒng)計知識分析比較兩考生的通過能力．
解析：(I)設考生甲、乙正確回答的題目個數分別為ξ、η，則ξ的可能取值為1，2，3，P(ξ＝1)＝C14C22C36＝15 ，P(ξ＝2)＝C24C12C36＝35，P(ξ＝3)＝C34C02C36＝15，
∴考生甲正確完成題數的 分布列為
ξ 1 2 3
P 15
35
15
Eξ＝1×15＋2×35＋3×15＝2. ………………………………………..4分
又η～B(3，23)，其分布列為P(η＝k)＝Ck3•(23)k•(13)3－k，k＝0，1，2，3；
∴Eη＝np＝3×23＝2. ………………………………………6分
(II)∵Dξ＝(2－1)2×15＋(2－2)2×35＋(2－3)2×15＝25，
Dη＝npq＝3×23×13＝23， ∴Dξ
從回答對題數的數學期望考查，兩人水平相當；從回答對題數的方差考查，甲較穩(wěn)定；從至少完成2題的概率考查，甲獲得通過的可能性大．因此可以判斷甲的實驗通過能力較強．………………12分
19（理）在四棱錐 中， 平面 ， 是 的中點，
, , .
（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值．
解：（Ⅰ）取 的中點 ,連接 ,
,
則 ∥ .
因為
所以 .………………………………1分
因為 平面 ， 平面
所以
又
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………3分
因為 平面 ,所以 ⊥ ；
又 ∥ ，所以 ；
又因為 , ；
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………5分
因為 平面 ，所以 …………………… ……6分
（注：也可建系用向量證明）
（Ⅱ）以 為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 .
則 , , ， , ,
， .
………………………………………………8分
設平面 的法向量為 ，則 所以
令 .所以 . ……………………9分
由（Ⅰ）知 ⊥平面 , 平面 ,所以 ⊥ .
同理 ⊥ .所以 平面
所以平面 的一個法向量 . …………………10分
所以 ， ……………………11分
由圖可知，二面角 為銳角，
所以二面角 的余弦值為 ． ……………………12分
19.(文)在四棱錐 中， 平面 ，
是 的中點， ,
， .
（Ⅰ）求證： ∥平面 ；
（Ⅱ）求證： ．
證明：（Ⅰ）取 的中點 ,連接 , .
則有 ∥ .
因為 平面 ， 平面
所以 ∥平面 ．……………………2分
由題意知 ,
所以 ∥ .
同理 ∥平面 ．…………………4分
又因為 平面 , 平面 ,
所以 平面 ∥平面 ．
因為 平面
所以 ∥平面 ． ……………………………………………………………6分
（Ⅱ）取 的中點 ,連接 , ,則 ∥ .
因為 ,所以 .………………………………… ……7分
因為 平面 ， 平面 ，所以
又
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………9分
因為 平面 所以 ⊥
又 ∥ ，所以
又因為 ,
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………11分
因為 平面
所以 ………………………………………………………………12分
20. (本小題滿分12分) 已知橢圓 的離心率為 ，以原點O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線 相切．.
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線 與橢圓C相交于A、B兩點，且 ，判斷△AOB的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．
【解析】：
(1)由題意知 ，∴ ，即 ，
又 ，∴ ，
故橢圓的方程為 4分
(II)設 ，由 得
12分
21．（文）已知函數 ，其中a∈R.
(1)當 時，求曲線 在點 處的切線的斜率；
(2)當 時，求函數 的單調區(qū)間與極值．
解：(1)當a＝0時，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.
所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為3e. …4分
(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a] ex
令f′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2， …6分
由a≠23知，－2a≠a－2.
以下分兩種情況討論：
①若a>23，則－2ax (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 極大值 極小值
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函數，在(－2a，a－2)上是減函數．
函數f(x)在x＝－2a處取得極大值為f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
函數f(x)在x＝a－2處取得極小值為f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2. …9分
②若a<23，則－2a>a－2，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 極大值
極小值
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函數，在(a－2，－2a)上是減函數．
函數f(x)在x＝a－2處取得極大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
函數f(x)在x＝－2a處取得極小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a. …12分
21. (理)已知函數 （ ）．
(1) 當 時，證明：在 上， ；
(2)求證： ．
解：(1) 根據題意知，f′(x)＝a1－xx (x>0)，
當a>0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1]，單調遞減區(qū)間為(1，＋∞)；
當a<0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(0,1]；
當a＝0時，f(x)不是 單調函數．
所以a＝－1時，f( x)＝－ln x＋x－3， 在(1，＋∞)上單調遞增，
所以f(x)>f(1 )，
即f(x)>－2，所以f(x)＋2>0. …………6分
(2) 由(1)得－ln x＋x－3＋2>0，即－ln x＋x－1> 0，
所以ln x
四、請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑．
22．（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講
直線AB經過⊙O上的點C，并且OA＝OB，CA＝CB.⊙O交直線OB于E，D，連接EC，CD.
（Ⅰ ）求證：直線AB是⊙O的切線；
（Ⅱ）若tan∠CED＝12，⊙O的半徑為3，求OA的長．
解：(1)證明：連接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥OB，又∵OC是圓的半徑，∴AB是圓的切線． ……4分
(2)∵ED是直徑，∴∠ECD＝90°，∴∠E＋∠EDC＝90°，
又∠BCD＋∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC，∴∠BCD＝∠E，又∠CBD＝∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，∴BCBE＝BDBC⇒BC2＝BD•BE，
又tan∠CED＝CDEC＝12，△BCD∽△BEC，BDBC＝CDEC＝12，
設BD＝x，則BC＝2x，∵BC2＝BD•BE，∴(2x)2＝x(x＋6)，∴BD＝2，
∴OA＝OB＝BD＋OD＝2＋3＝5. ……10分
23．（本題滿分10分）選修4-4:坐標系與參數方程
已知曲線 (t為參數)， ( 為參 數)．
（Ⅰ）化 ， 的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（Ⅱ）過曲線 的左頂點且傾斜角為 的直線 交曲線 于 兩點，求 ．
解：⑴
曲線 為圓心是 ，半徑是1的圓．
曲線 為中心是坐標原點，焦點在x軸上，長軸長是8，短軸長是6的橢圓．……4分
⑵曲線 的左頂點為 ，則直線 的參數方程為 （ 為參數）
將其代入曲線 整理可得： ，設 對應參數分別為 ，則
所以 ……………10分
24.（本小題滿分10分）選 修4—5：不等式選講
已知函數 ，且 的解集為 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，且 ，求證： .
解：（Ⅰ）因為 ，所以 等價于 ，…2分
由 有解，得 ，且其解集為 ． …4分
又 的解集為 ，故 ．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，又 ， …7分∴ ≥ =9．9分
(或展開運用基本不等式)
∴ …．10分
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