江西省贛州市四所重點(diǎn)中學(xué)(贛州一中、平川中學(xué)、瑞金中學(xué)、贛州三中)第一學(xué)期期末聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題(理科)一、選擇題(每小題5分，共50分)1、已知x, y∈R, i為虛數(shù)單位，且(x?2)i?y＝－1＋i，則(1＋i)x＋y的值為A．4B．－4C．4＋4iD．2i2、下列命題中正確的是A．若命題p為真命題，命題q為假命題，則命題“p且q”為真命題B．“sinα＝”是“α＝”的充分不必要條件C．l為直線，α,β為兩個(gè)不同的平面，若l⊥β,α⊥β, 則l∥αD．命題“(x∈R, 2x＞0”的否定是“(x0∈R,≤0”3、平面α∥平面β，點(diǎn)A, C∈α, B, D∈β，則直線AC∥直線BD的充要條件是A．AB∥CDB．AD∥CBC．AB與CD相交D．A, B, C, D四點(diǎn)共面4、已知向量a, b的夾角為60°，且a＝2, b＝1，則向量a與向量a＋2b的夾角等于A．150°B．90°C．60°D．30°5、一個(gè)空間幾何體的三視圖及其相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則這個(gè)空間幾何體的表面積是A．B．＋6C．11πD．＋36、過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。若AF＝3，則△AOB的面積為A．B．C．D．2 7、已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x2在x＝－1處取得極大值，記g(x)＝。程序框圖如圖所示，若輸出的結(jié)果S＝，則判斷框中可以填入的關(guān)于n的判斷條件是A．n≤ B．n≤C．n＞ D．n＞8、已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則分別以線段PF1，A1A2為直徑的兩個(gè)圓的位置關(guān)系為A．相交B．相切C．相離D．以上情況都有可能9、已知函數(shù)f(x)＝－1的定義域是[a, b](a, b∈Z)，值域是[0, 1]，則滿足條件的整數(shù)對(a, b)共有A．2個(gè)B．5個(gè)C．6個(gè)D．無數(shù)個(gè)10、設(shè)D＝{(x, y)(x－y)(x＋y)≤0}，記“平面區(qū)域D夾在直線y＝－1與y＝t(t∈[－1,1])之間的部分的面積”為S，則函數(shù)S＝f(t)的圖象的大致形狀為二、填空題（每小題5分，共25分）11、設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為圓(x－2)2＋y2＝3的圓心，且圓上有一點(diǎn)M(x, y)滿足?＝0，則＝ 。12、已知f(n)＝1+(n∈N*)，經(jīng)計(jì)算得f(4)＞2, f(8)＞, f(16)＞3, f(32)＞,……，觀察上述結(jié)果，則可歸納出一般結(jié)論為 。13、給出下列四個(gè)命題：①函數(shù)y＝2cos2(x＋)的圖像可由曲線y＝1＋cos2x向左平移個(gè)單位得到；②函數(shù)y＝sin(x＋)＋cos(x＋)是偶函數(shù)；③直線x＝是曲線y＝sin(2x＋)的一條對稱軸；④函數(shù)y＝2sin2(x＋)的最小正周期是2π.其中不正確命題的序號是。14、隨機(jī)地向區(qū)域內(nèi)投點(diǎn)，點(diǎn)落在區(qū)域的每個(gè)位置是等可能的，則坐標(biāo)原點(diǎn)與該點(diǎn)連線的傾斜角小于的概率為。15、(注意：請?jiān)谙旅鎯深}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分)（1）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知兩曲線參數(shù)方程分別為（0≤θ＜π）和(t∈R)，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為。（2）設(shè)函數(shù)f(x)＝x?a?2，若不等式f(x)＜1的解為x∈(－2, 0)∪(2, 4)，則實(shí)數(shù)a＝。三、解答題(12分＋12分＋12分＋12分＋13分＋14分＝75分)16、(12分)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x?sin(2x?).（1）求函數(shù)f(x)的最大值，并寫出f(x)取最大值時(shí)x的取值集合；（2）已知△ABC中，角A, B, C的對邊分別為a, b, c，若f(A)＝, b＋c＝2，求實(shí)數(shù)a的最小值。17、(12分)某足球俱樂部10月份安排4次體能測試，規(guī)定：按順序測試，一旦測試合格就不必參加以后的測試，否則4次測試都要參加。若運(yùn)動(dòng)員小李4次測試每次合格的概率組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，他第一次測試合格的概率不超過，且他直到第二次測試才合格的概率為。（1）求小李第一次參加測試就合格的概率P1；（2）求小李10月份參加測試的次數(shù)(的分布列和數(shù)學(xué)期望。18、(12分)已知函數(shù)f(x)＝logkx(k為常數(shù)，k＞0且k≠1)，且數(shù)列{f(an)}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列。（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；（2）若bn＝an?f(an)，當(dāng)k＝時(shí)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。19、(12分)如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面為正方形，O1、O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O。（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；（2）若∠A1AB＝60°，求平面BAA1與平面CAA1的夾角的余弦值。20、(13分)如圖，設(shè)F(－c, 0)是橢圓的左焦點(diǎn)，直線l：x＝－與x軸交于P點(diǎn)，MN為橢圓的長軸，已知MN＝8，且PM＝2MF。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)P的直線m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A, B。①證明：∠AFM＝∠BFN；②求△ABF面積的最大值。21、(14分)已知函數(shù)f(x)＝在x＝0，x＝處存在極值。（1）求實(shí)數(shù)a, b的值；（2）函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)A, B使得△AOB是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊AB的中點(diǎn)在y軸上，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；（3）當(dāng)c＝e時(shí)，討論關(guān)于x的方程f(x)＝kx (k∈R)的實(shí)根個(gè)數(shù)。~學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)(理科)試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題(每小題5分，共50分。)題號答案BDDDDCABBC二、填空題（每小題5分，共25分）11、±12、 13、①④14、 15、⑴ （1，） ⑵ 1三、解答題（共75分）16、（1）f(x)=2cos2x-sin(2x-)=(1+cos2x)-(sin2xcos-cos2xsin)=1+sin2x+cos2x=sin(2x+)+1 …………(3分)所以函數(shù)f(x)的最大值為2. …………(4分)此時(shí)sin(2x+)=1，即2x+=2kπ+(kz) 解得x=kπ+(kz)故x的取值集合為{x x=kπ+，kz} …………(6分)（2）由題意f(A)=sin(2A+)+1=,化簡得sin(2A+)=，∵A（0，π）, 2A+(,). A= …………(8分) 在三角形ＡＢＣ中，根據(jù)余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc?cos=（b+c)2-3bc …………(10分)由b+c=2 知bc()2=1, 即a21 當(dāng)b=c=1時(shí),實(shí)數(shù)a的最小值為1. …………(12分)17、（1）設(shè)小李四次測試合格的概率依次為：a, a＋, a＋, a＋(a≤)， …………(2分)則(1－a)(a＋)＝，即,解得(舍)， …………(5分)所以小李第一次參加測試就合格的概率為； …………(6分)（2）因?yàn)镻((＝1)＝， P((＝2)=，P((＝3)＝，P((＝4)＝1－P((＝1)－P((＝2)－P((＝3)＝， …………(8分)則(的分布列為(1234P…………(10分)所以， 即小李10月份參加測試的次數(shù)(的數(shù)學(xué)期望為. …………(12分)18、（1）證明：由題意知f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2， …………(2分)即logkan＝2n＋2，∴an＝k2n＋2， …………(3分)∴. …………(5分)∵常數(shù)k＞0且k≠1，∴k2為非零常數(shù)，∴數(shù)列{an}是以k4為首項(xiàng)，k2為公比的等比數(shù)列。 …………(6分)（2）由（1）知，bn＝anf(an)＝k2n＋2?(2n＋2)，當(dāng)k＝時(shí)，bn＝(2n＋2)?2n＋1＝(n＋1)?2n＋2. …………(8分)∴Sn＝2?23＋3?24＋4?25＋…＋(n＋1)?2n＋2， ①2Sn＝2?24＋3?25＋…＋n?2n＋2＋(n＋1)?2 n＋3， ② …………(10分)②－①，得Sn＝?2?23?24?25?…?2n＋2＋(n＋1)?2n＋3 ＝?23?(23＋24＋25＋…＋2n＋2)＋(n＋1)?2n＋3,∴Sn＝?23?＋(n＋1)?2n＋3＝n?2n＋3. …………(12分)19、（1）連結(jié)AC,BD,AC,則O為AC,BD的交點(diǎn)O1為A1C1,B1D1的交點(diǎn)。由平行六面體的性質(zhì)知：A1O1∥OC且A1O1=OC,四邊形A1OCO1為平行四邊形， ………(2分)A1O∥O1C. 又∵A1O⊥平面ABCD，O1C⊥平面ABCD, ………(4分)又∵O1C平面O1DC, 平面O1DC⊥平面ABCD。 ………(6分)（2）由題意可知RtA1OB≌RtA1OA,則A1A=A1B，又∠A1AB=600，故A1AB是等邊三角形。 …………(7分)不妨設(shè)AB=a, 則在RtA1OA中，OA=a, AA1=a, OA1=a,如圖分別以O(shè)B,OC,OA1為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則可得坐標(biāo)為A(0,-a,0), B(a,0,0), A1(0,0,,a) …………(8分)=(a,a,0)， =(-a,0,a)設(shè)平面ABA1的法向量為=(x,y,z)則由?=0得x+y=0,由?=0得x-z=0令x=1得=(1,-1,1) …………(10分)又知BD⊥平面ACC1A1，故可得平面CAA1的一個(gè)法向量為=(1,0,0)cosθ==從而平面BAA1與平面CAA1的夾角的余弦值為。 …………(12分)20、（1） ∵M(jìn)N＝8, ∴a＝4， …………(1分)又∵PM＝2MF，∴e＝， …………(2分)∴c＝2, b2＝a2－c2＝12， ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 …………(3分)（2）①證明：當(dāng)AB的斜率為0時(shí)，顯然∠AFM＝∠BFN＝0，滿足題意；…………(4分)當(dāng)AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)AB的方程為x＝my－8，代入橢圓方程整理得(3m2＋4)y2－48my＋144＝0. …………(5分)△＝576(m2－4), yA＋yB＝, yAyB＝.則,而2myAyB－6(yA＋yB)＝2m?－6?＝0， …………(7分)∴kAF＋kBF＝0，從而∠AFM＝∠BFN.綜合可知：對于任意的割線PAB，恒有∠AFM＝∠BFN. …………(8分)②方法一：S△ABF＝S△PBF－S△PAF …………(10分)即S△ABF＝，…………(12分)當(dāng)且僅當(dāng)，即m＝±時(shí)（此時(shí)適合于△＞0的條件）取到等號。∴△ABF面積的最大值是3. …………(13分)方法二：點(diǎn)F到直線AB的距離 …………(10分)， …………(12分)當(dāng)且僅當(dāng)，即m＝±時(shí)取等號。 …………(13分)21、（1）當(dāng)x＜1時(shí)，f ' (x)＝－3x2＋2ax＋b.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x＝0, x＝處存在極值，所以解得a＝1, b＝0. …………(3分)（2）由（1）得根據(jù)條件知A, B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不江西省贛州市四所重點(diǎn)中學(xué)屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含答案
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