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安徽省望江二中2015屆高三復(fù)習(xí)班上學(xué)期第一次月考
數(shù)學(xué)（文）試題
一、：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
⒈ 若復(fù)數(shù) 滿足 ，則 的虛部為（ ）
A． B． C． D．
⒉ 設(shè) ，則“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
⒊ 已知 ，函數(shù) 的定義域?yàn)榧��?，則 （ ）
A. B. C. D.
⒋ 已知向量 ， ， ．若 ，則實(shí)數(shù) 的值為（ ）
A. B. C. D.
⒌ 等差數(shù)列 中的 、 是函數(shù) 的極值點(diǎn)，則 （ ）
A. B. C. D.
⒍ 設(shè)變量 滿足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù) 的最小值為（ ）
A. B. C. D.
⒎ 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為
（ ）
A. B.
C. D.
⒏ 已知函數(shù) ，則不等式 的解集為（ ）
A. B. C. D.
⒐ 袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球.從袋中任取兩球，兩球顏色不同的概率為（ ）
A. B. C. D.
⒑ 定義在 上的偶函數(shù) ，滿足 ， ，則函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A． 個(gè) B． 個(gè) C． 個(gè) D．至少 個(gè)

第Ⅱ卷（非 共100分）
二、題：本大題共5 小題，每小題5分，共25分. 把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.
11. 求值： .
12. 程序框圖（如圖所示），若輸入 ， ， ,則輸出的數(shù)是 ．
13. 已知 ，由不等式 ， ， ，….在 條
件下，請根據(jù)上述不等式歸納出一個(gè)一般性的不等式 .
14. 已知圓 的圓心是直線 與 軸的交
點(diǎn)，且圓 與直線 相切.則圓 的方程為 .
15.已知函數(shù) ，給出下列五個(gè)說法：
① ；②若 ，則 ；③ 在區(qū)間 上單調(diào)遞增； ④將函數(shù) 的圖象向右平移 個(gè)單位可得到 的圖象；⑤ 的圖象關(guān)于點(diǎn) 成中心對稱．其中正確說法的序號是 .
三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程. 解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi).
16.（本小題滿分12分）
已知函數(shù) ， ．
（Ⅰ）求函數(shù) 的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）設(shè) 的內(nèi)角 、 、 的對邊分別為 、 、 ，滿足 ， 且 ，求 、 的值.

17.（本小題滿分12分）
如圖， 是邊長為2的正方形， ⊥平面 , , // 且 .
（Ⅰ）求證：平面 ⊥平面 ；
（Ⅱ）求幾何體 的體積.
18.（本小題滿分13分）
數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ， ．
（Ⅰ）設(shè) ，證明：數(shù)列 是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .

19.（本小題滿分12分）
某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六組[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題．
（Ⅰ）求分?jǐn)?shù)在[120,130)內(nèi)的頻率；
（Ⅱ）若在同一組數(shù)據(jù)中，將該組區(qū)間的中點(diǎn)值(如：組區(qū)間[100,110)的中點(diǎn)值為100＋1102＝105)作為這組數(shù)據(jù)的平均分，據(jù)此估計(jì)本次考試的平均分；
（Ⅲ）用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110,130)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2人，求至多有1人在分?jǐn)?shù)段[120,130)內(nèi)的概率．

20.（本小題滿分13分）
已知橢圓 ： 的離心率為 ，左焦點(diǎn)為 .
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）若直線 與曲線 交于不同的 、 兩點(diǎn)，且線段 的中點(diǎn) 在圓 上，求 的值.

21.（本小題滿分14分）
已知函數(shù) ( ).
（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的極值；
（Ⅱ）若對任意 ，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．

安徽省望江中學(xué)2015屆第一次月考
數(shù)學(xué)（文）試題答案

⒋【解析】∵ ，∴ ，即 ，∴ ，解得 ，選D.
⒌【解析】 .因?yàn)?、 是函數(shù) 的極值點(diǎn)，所以 、 是方程 的兩實(shí)數(shù)根，則 .而 為等差數(shù)列，所以 ，即 ，從而 ，選A.
⒍【解析】由已知作出可行域?yàn)橐粋�(gè)三角形區(qū)域，得到三個(gè)交點(diǎn) ，當(dāng)直線 平移通過點(diǎn) 時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值最小，此時(shí) .
【考點(diǎn)定位 】本試題考查了線性規(guī)劃的最優(yōu)解的運(yùn)用以及作圖能力.
⒎【解析】由圖知，原幾何體是兩個(gè)相同圓錐底面重合的一個(gè)組合體， ， ， ，則表面積為 ，選B.
⒏【答案】A.

⒑【解析】∵ 是定義在 上的偶函數(shù)，且周期是3， ，∴ ，即 .∴ ， ，所以方程 在 內(nèi)，至少有4個(gè)解，選D．
二、題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.
題號⒒⒓⒔⒕⒖
答案

①④
⒒【解析】 .
⒓【解析】程序框圖的功能是：輸出 中最大的數(shù)，
∵ ， ， ，所以輸出的數(shù)為 .
⒔【解析】根據(jù)題意，分析所給等式的變形過程可得，先對左式變形，再利用基本不等式化簡．消去根號，得到右式，則 .
⒕【解析】令y=0得x=-1，所以直線x-y+1=0,與x軸的交點(diǎn)為 .
因?yàn)橹本� 與圓 相切，所以圓心 到直線的距離等于半徑，即 ，所以圓 的方程為 .

⒗ （本小題滿分12分）
【解析】（Ⅰ） ，…………3分
則 的最小值是 ，最小正周期是 ；…………6分
（Ⅱ） ，則 ，…………7分
, ,所以 ，
所以 ， ，………… 9分
因?yàn)?，所以由正弦定理得 ，……①…………10分
由余弦定理得 ，即 ……②…………11分
由①②解得： ， ．…………12分

⒘ （本小題滿分12分）
【解析】（Ⅰ）∵ ED⊥平面 ，AC 平面 ，∴ ED⊥AC．…………2分
∵ 是正方形，∴ BD⊥AC， …………4分
∴ AC⊥平面BDEF． …………6分
又AC⊂平面EAC，故平面EAC⊥平面BDEF．
（Ⅱ）連結(jié)FO，∵ EF DO，∴ 四邊形EFOD是平行四邊形．
由ED⊥平面 可得ED⊥DO，
∴ 四邊形EFOD是矩形．…………8分
方法一：∴ ∥ ，
而ED⊥平面 ，∴ ⊥平面 ．
∵ 是邊長為2的正方形，∴ 。
由（Ⅰ）知，點(diǎn) 、 到平面BDEF的距離分別是 、 ，
從而 ；
方法二：∵ 平面EAC⊥平面BDEF．
∴ 點(diǎn)F到平面ACE的距離等于就是Rt△EFO斜邊EO上的高，
且高 ．…………10分
∴幾何體ABCDEF的體積
=
=2．
…………12分

⒙（本小題滿分12分）
【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，
所以 ① 當(dāng) 時(shí)， ，則 ，………………………………1分
② 當(dāng) 時(shí)， ，……………………2分
所以 ，即 ，……………………4分
所以 ，而 ，……………………5分
所以數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列，所以 ．……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．
所以 ① ，
② ，……………8分
②-①得： ，……………10分
.………………12分

⒚（本小題滿分12分）
【解析】（Ⅰ）分?jǐn)?shù)在[120,130)內(nèi)的頻率為 ；
……………………2分
（Ⅱ）估計(jì)平均分為
.…… ………5分
（Ⅲ）由題意，[110,120)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為60×0.15＝9(人)．[120,130)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為60×0.3＝18(人)． ……………………7分
∵用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110,130)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本，
∴需在[110,120)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取2人，并分別記為 、 ； ……………………8分
在[120,130) 分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取4人，并分別記為 、 、 、 ； ……………………9分
設(shè)“從樣本中任取2人，至多有1人在分?jǐn)?shù)段[120,130)內(nèi)”為事件A，則基本事件共有 ，
共15種． ………………10分
則事件A包含的基本事件有 ， 共9種． ……………………11分
∴ . ……………………12分
⒛（本小題滿分13分）
【解析】（Ⅰ）由題意得 ， ………2分
解得 ………4分
所以橢圓C的方程為： ………6分
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn) 、 的坐標(biāo)分別為 ， ，線段 的中點(diǎn)為 ，
由 ，消去y得 ………8分
∵ ，∴ ………9分
∴ ， ………10分
∵點(diǎn) 在圓 上，∴ ，即 ……13分

21.（本小題滿分14分）
【解析】（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)，
，………………………………………………2分
令 ，解得 .
當(dāng) 時(shí)，得 或 ；當(dāng) 時(shí)，得 .………………………4分
當(dāng) 變化時(shí)， ， 的變化情況如下表：



極大
極小

∴當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 有極大值， ； …………………………5分
當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 有極大值， ， …………………………………6分
（Ⅱ）∵ ，∴對 ， 恒成立，即 對 恒成立， ………………………………………………………………7分
①當(dāng) 時(shí)，有 ，即 對 恒成立，………………9分
∵ ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立，
∴ ，解得 ………………………………………………………………11分

山
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