汕頭市金山中學第一學期期中考試
高三文科數(shù)學 試題卷
本試題分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）兩部分，滿分150分，時間120分鐘.
第Ⅰ卷 （選擇題 共50分）
一、選擇題：(本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.已知 ，則 （ ）
A． B． C． D．
2.設 , 那么“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
3.設數(shù)列 的前n項和 ，則 的值為 ( )
A． 15 B． 16 C． 49 D．64
4.設 是兩條不同的直線, 是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（ ）
A．若 , , ,則 B．若 , , ,則
C．若 , , ,則 D．若 , , ,則
5.下列命題中正確的是（ ）
A. 的最小值是2B. 的最小值是2
C. 的最大值是
D. 的最小值是
6.經(jīng)過圓 的圓心 ，且與直線 垂直的直線方程是（ ） A． B． C． D．
7.已知 ,則 的大小為 ( )
A. B. C. D.
8.設函 ，則滿足 的 的取值范圍是 ( )
A． ，2] B．[0，2] C． D．
9.奇函數(shù) 在 上為減函數(shù)，且 ，則不等式 的解集為（ ）
A． B． C． D． （3， ）
10.設函數(shù) ( , 為自然對數(shù)的底數(shù)).若存在 使 成立,則 的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 （非選擇題 共100分）
二、題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)
11． 函數(shù) 的定義域為___________
12．若命題“ ”是真命題，則實數(shù) 的取值范圍為 .
13．經(jīng)過原點且與函數(shù) （ 為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象相切的直線方程為
14.定義“正對數(shù)”: ,現(xiàn)有四個命題:①若 ,則 ;②若 ,則 ③若 ,則 ④若 ,則
其中的真命題有____________ (寫出所有真命題的序號)
三、解答題：（本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
15．（本小題滿分12分）已知集合 ， .
（Ⅰ）求集合 和集合 ；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范圍。
16． （本小題滿分14分）如圖，四棱錐 的底面 是邊長為2的菱形， .已知 .
（Ⅰ）證明：
（Ⅱ）若 為 的中點，求三菱錐 的體積.
17. （本小題滿分14分）已知函數(shù) 在 、 處分別取得極大值和極小值，記點 .
⑴求 的值；
⑵證明：線段 與曲線 存在異于 、 的公共點；
18．（本小題滿分14分）
已知直線l： ( R)和橢圓C： , 橢圓C的離心率為 ，連接橢圓的四個頂點形成四邊形的面積為2 .
⑴求橢圓C的方程；
⑵直線l/與橢圓C有兩個不同的交點，求實數(shù) 的取值范圍；
⑶當 時，設直線l與y軸的交點為P，為橢圓C上的動點，求線段P長度的最大值。
19. （本小題滿分14分）某種商品的成本為5元/ 件，開始按8元/件銷售，銷售量為50件，為了獲得最大利潤，商家先后采取了提價與降價兩種措施進行試銷。經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)：銷售價每上漲1元每天銷售量就減少10件；而降價后，日銷售量Q（件）與實際銷售價x（元）滿足關系：
（1）求總利潤（利潤＝銷售額－成本）y（元）與銷售價x（件）的函數(shù)關系式；
（2）試問：當實際銷售價為多少元時，總利潤最大.
20．（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
（1）試討論函數(shù) 的單調性；
（2）若函數(shù) 在 是單調減函數(shù)，求實數(shù) 的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當 時，證明：
（其中（e≈2.718……即自然對數(shù)的底數(shù)）
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高三文科數(shù)學 參考答案
AAA DCCA CBA
11． 12． 13． 14.①③④
15．解：（Ⅰ）集合 = 2分
集合 = 4分
（Ⅱ）由 得 (6 分) 7分
或者 （9分） 10分
綜上所述， 的取值范圍為 或 12分
16．（1）證明：連接 交于 點 1分
2分
又 是菱形 3分
而 4分 ⊥面 5分
（2）由（1） ⊥面
設AC與BD交于點O
由余弦定理 AC= 7分
三角形ABD與三角形PBD全等 8分 故AO=PO= ， 9分
由勾股定理，PO AC 10分 = =3 11分
14分
17. 解法一：∵ ，依題意，
∴ ，（2分）
由 ，得 （3分）
令 ， 的單調增區(qū)間為 和 ，（5分）
，單調減區(qū)間為 （7分）
所以函數(shù) 在 處取得極值。 故 （9分）
所以直線 的方程為 （10分）
由 得 （11分）
令 ，易得 ，（13分）
而 的圖像在 內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，故 在 內(nèi)存在零點 ，這表明線段 與曲線 有異于 的公共點。（14分）
解法二：同解法一，可得直線 的方程為 （10分）
由 得 （11分）
解得 （13分）
所以線段 與曲線 有異于 的公共點 。 （14分）
18．解：⑴由離心率 ，得
又因為 ，所以 ，
即橢圓標準方程為 . ---------4分
⑵ 由 消 得： ．
所以 ， 可化為
解得 ． --------8分
⑶由l： ,設x=0, 則y=2, 所以P(0, 2). --------9分
設(x, y)滿足 ,
則P2 =x2 +(y ?2)2 =2?2y2 +(y ? 2 )2 = ?y2 ?4y +6
= ?(y +2)2 +10，
因為 ?1 y 1, 所以 --------11分
當y=-1時，P取最大值3 --------14分
19. 解：（1）據(jù)題意的
（2）由（1）得：當 時，
當 時， ， 為增函數(shù)
當 時， 為減函數(shù)
當 時，
當 時，
當 時，
當 時，
綜上知：當 時，總利潤最大，最大值為195
20．
解:(1) 定義域為 ...................................................................1分
.......................................................................2分
當 時, 遞增,
當 時, 遞減,......................................................3分
的單調增區(qū)間為 的單調減區(qū)間為 ................4分
的極大值為 無極小值.........................................5分
(2) 函數(shù) 在 是單調減函數(shù)， ...7分
.................................
................8分
..............................................................................9分
(3)
...................................................................10分
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