2．4正態(tài)分布
目標：
知識與技能：掌握正態(tài)分布在實際生活中的意義和作用 。
過程與方法：結(jié)合正態(tài)曲線，加深對正態(tài)密度函數(shù)的理理。
情感、態(tài)度與價值觀：通過正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì) 。
重點：正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、標準正態(tài)曲線N(0，1) 。
教學難點：通過正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)。
教具準備：多媒體、實物投影儀 。
教學設想：在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口，正態(tài)分布在統(tǒng)計學中是最基本、最重要的一種分布。
內(nèi)容分析：
1．在實際遇到的許多隨機現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布 在上一節(jié)我們研究了當樣本容量無限增大時，頻率分布直方圖就無限接近于一條總體密度曲線，總體密度曲線較科學地反映了總體分布 但總體密度曲線的相關(guān)知識較為抽象，學生不易理解，因此在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口 正態(tài)分布在統(tǒng)計學中是最基本、最重要的一種分布
2．正態(tài)分布是可以用函數(shù)形式表述的 其密度函數(shù)可寫成：
， （σ＞0）
由此可見，正態(tài)分布是由它的平均數(shù)μ和標準差σ唯一決定的 常把它記為
3．從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對稱呈鐘形的曲線，其對稱軸為x=μ，并在x=μ 時取最大值 從x=μ點開始，曲線向正負兩個方向遞減延伸，不斷逼近x軸，但永不與x軸相交，因此說曲線在正負兩個方向都是以x軸為漸近線的
4．通過三組正態(tài)分布的曲線，可知正態(tài)曲線具有兩頭 低、中間高、左 右對稱的基本特征
5．由于正態(tài)分布是由其平均數(shù)μ和標準差σ唯一決定的，因此從某種意義上說，正態(tài)分布就有好多好多，這給我們深入研究帶一定的困難 但我們也發(fā)現(xiàn)，許多正態(tài)分布中，重點研究N（0，1），其他的正態(tài)分布都可以通過 轉(zhuǎn)化為N（0，1），我們把N（0，1）稱為標準正態(tài)分布，其密度函數(shù)為 ，x∈（-∞，+∞），從而使正態(tài)分布的研究得以簡化
6．結(jié)合正態(tài)曲線的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì) 正態(tài)曲線的作圖較難，教科書沒做要求，授時可以借助幾何畫板作圖，學生只要了解大致的情形就行了，關(guān)鍵是能通過正態(tài)曲線，引導學生歸納其性質(zhì)
教學過程：
學生探究過程：
復習引入：
總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應 各組取值的概率．設想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線．
它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率．根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間(a，b)內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a， x=b及x軸所圍 圖形的面積．
觀察總體密度曲線的形狀，它具有“兩頭低，中間高，左右對稱”的特征，具有這種特征的總體密度曲線一般可用下面函數(shù)的圖象表示或近似表示：
式中的實數(shù) 、 是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標準差， 的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線．
講解新：
一般地，如果對于任何實數(shù) ，隨機變量X滿足
,
則稱 X 的分布為正態(tài)分布（normal distribution ) ．正態(tài)分布完全由參數(shù) 和 確定，因此正態(tài)分布常記作 ．如果隨機變量 X 服從正態(tài)分布，則記為X～ .
經(jīng)驗表明，一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布．例如，高爾頓板試驗中，小球在下落過程中要與眾多小木塊發(fā)生碰撞，每次碰撞的結(jié)果使得小球隨機地向左或向右下落，因此小球第1次與高爾頓板底部接觸時的坐標 X 是眾多隨機碰撞的結(jié)果，所以它近似服從正態(tài)分布．在現(xiàn)實生活中，很多隨機變量都服從或近似地服從正態(tài)分布．例如長度測量誤差；某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等；一定條下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量等；正常生產(chǎn)條下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標（如零的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容量、電子管的使用壽命等）；某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等；一般都服從正態(tài)分布．因此，正態(tài)分布 廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實際之中．正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要的地位．
說 明:1參數(shù) 是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本均值去佑計； 是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本標準差去估計．
2.早在 1733 年，法國數(shù)學家棣莫弗就用n！的近似公式得到了正態(tài)分布．之后，德國數(shù)學家高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它，并研究了它的性質(zhì)，因此，人們也稱正態(tài)分布為高斯分布．
2．正態(tài)分布 ）是由均值μ和標準差σ唯一決定的分布
通過固定其中一個值，討論均值與標準差對于正態(tài)曲線的影響
3．通過對三組正態(tài)曲線分析，得出正態(tài)曲線具有的基本特征是兩頭底、中間高、左右對稱 正態(tài)曲線的作圖，書中沒有做要求，教師也不必補上 講時教師可以應用幾何畫板，形象、美觀地畫出三條正態(tài)曲線的圖形，結(jié)合前面均值與標準差對圖形的影響，引導學生觀察總結(jié)正態(tài)曲線的性質(zhì)
4．正態(tài)曲線的性質(zhì)：
（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交
（2）曲線關(guān)于直線x=μ對稱
（3）當x=μ時，曲線位于最高點
（4）當x＜μ時，曲線上升（增函數(shù)）；當x＞μ時，曲線下降（減函數(shù)） 并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近
（5）μ一定時，曲線的形狀由σ確定
σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；
σ越小．曲線越“瘦高”．總體分布越集中：
五條性質(zhì)中前三條學生較易掌握，后兩條較難理解，因此在講授時應運用數(shù)形結(jié)合的原則，采用對比教學
5．標準正態(tài)曲線:當μ=0、σ=l時，正態(tài)總體稱為標準正態(tài)總體，其相應的函數(shù)表示式是 ，（-∞＜x＜+∞）
其相應的曲線稱為標準正態(tài)曲線
標準正態(tài)總體N（0，1）在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位 任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標準正態(tài)分布的概率問題
講解范例：
例1．給出下列三個正態(tài)總體的函數(shù)表達式，請找出其均值μ和標準差σ
（１）
（２）
（３）
答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5
例2求標準正態(tài)總體在（-1，2）內(nèi)取值的概率．
解：利用等式 有
= =0.9772＋0.8413－1=0.8151．
1.標準正態(tài)總體的概率問題:
對于標準正態(tài)總體N（0，1）， 是總體取值小于 的概率，
即 ，
其中 ，圖中陰影部分的面積表示為概率 只要有標準正態(tài)分布表即可查表解決.從圖中不難發(fā)現(xiàn):當 時， ；而當 時，Φ（0）=0.5
2.標準正態(tài)分布表
標準正態(tài)總體 在正態(tài)總體的研究中有非常重要的地位，為此專門制作了“標準正態(tài)分布表”．在這個表中，對應于 的值 是指總體取值小于 的概率，即 ， ．
若 ，則 ．
利用標準正態(tài)分布表，可以求出標準正態(tài)總體在任意區(qū)間 內(nèi)取值的概率，即直線 ， 與正 態(tài)曲線、x軸所圍成的曲邊梯形的面積 ．
3．非標準正態(tài)總體在某區(qū)間內(nèi)取值的概率:可以通過 轉(zhuǎn)化成標準正態(tài)總體，然后查標準正態(tài)分布表即可 在這里重點掌握如何轉(zhuǎn)化 首先要掌握正態(tài)總體的均值和標準差，然后進行相應的轉(zhuǎn)化
4.小概率事的含義
發(fā)生概率一般不超過5％的事，即事在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生
假設檢驗方法的基本思想:首先，假設總體應是或近似為正態(tài)總體，然后，依照小概率事幾乎不可能在一次試驗中發(fā)生的原理對試驗結(jié)果進行分析
假設檢驗方法的操作程序，即“三步曲”
一是提出統(tǒng)計假設，教科書中的統(tǒng)計假設總體是正態(tài)總體；
二是確定一次試驗中的a值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；
三是作出判斷
講解范例：
例1. 若x～N(0,1),求(l)P(-2.32<x<1.2)；(2)P(x>2).
解：(1)P(-2.32<x<1.2)=F(1.2)-F(-2.32)
=F(1.2)-[1-F(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.
(2)P(x>2)=1-P(x<2)=1-F(2)=l-0.9772=0.0228.
例2．利用標準正態(tài)分布表，求標準正態(tài)總體在下面區(qū)間取值的概率：
(1)在N(1,4)下，求
（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；
Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；
Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）
解：（１） ＝ ＝Φ（1）＝0.8413
（２）Ｆ（μ＋σ）＝ ＝Φ（1）＝0.8413
Ｆ（μ－σ）＝ ＝Φ（－1）＝ １－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587
Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826
Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342
Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954
Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997
對于正態(tài)總體 取值的概率：
在區(qū)間（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）內(nèi)取值的概率分別為68.3%、95.4%、99.7% 因此我們時常只在區(qū)間（μ-3σ，μ+3σ）內(nèi)研究正態(tài)總體分布情況，而忽略其中很小的一部分
例3．某正態(tài)總體函數(shù)的概率密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為 ，求總體落入?yún)^(qū)間（－1.2，0.2）之間的概率
解：正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是 ，它是偶函數(shù)，說明μ＝0， 的最大值為 ＝ ，所以σ＝1，這個正態(tài)分布就是標準正態(tài)分布
鞏固練習：書本第74頁 1,2,3
后作業(yè)： 書本第75頁 習題2. 4 A組 1 , 2 B組1 , 2
教學反思：
1．在實際遇到的許多隨機現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布 在上一節(jié)我們研究了當樣本容量無限增大時，頻率分布直方圖就無限接近于一條總體密度曲線，總體密度曲線較科學地反映了總體分布 但總體密度曲線的相關(guān)知識較為抽象，學生不易理解，因此在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口 正態(tài)分布在統(tǒng)計學中是最基本、最重要的一種分布
2．正態(tài)分布是可以用函數(shù)形式表述的 其密度函數(shù)可寫成：
， （σ＞0）
由此可見，正態(tài)分布是由它的平均數(shù)μ和標準差σ唯一決定的 常把它記為
3．從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對稱呈鐘形的曲線，其對稱軸為x=μ，并在x=μ時取最大值 從x=μ點開始，曲線向正負兩個方向遞減延伸，不斷逼近x軸，但永不與x軸相交，因 此說曲線在正負兩個方向都是以x軸為漸近線的
4．通過三組正態(tài)分布的曲線，可知正態(tài)曲線具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征。由于正態(tài)分布是由其平均數(shù)μ和標準差σ唯一決定的，因此從某種意義上說，正態(tài)分布就有好多好多，這給我們深入研究帶一定的困難 但我們也發(fā)現(xiàn)，許多正態(tài)分布中，重點研究N（0，1），其他的正態(tài)分布都可以通過 轉(zhuǎn)化為N（0，1），我們把N（0 ，1）稱為標準正態(tài)分布，其密度函數(shù)為 ，x∈（-∞，+∞），從而使正態(tài)分布的研究得以簡化。結(jié)合正態(tài)曲線的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì) 正態(tài)曲線的作圖較難，教科書沒做要求，授時可以借助幾何畫板作圖，學生只要了解大致的情形就行了，關(guān)鍵是能通過正態(tài)曲線，引導學生歸納其性質(zhì)。
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